3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
[学习目标] 1.知道匀速直线运动的位移与v-t图像中矩形面积的对应关系. 2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关匀变速直线运动问题．(重点、难点) 3.了解利用极限思想推导位移公式的方法. 4.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系．(重点) 5.会应用速度与位移的关系式分析有关问题．(难点)
一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：x＝vt.
2．v-t图像特点
(1)平行于时间轴的直线．
(2)位移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示．
二、匀变速直线运动的位移
1．位移在v-t图像中的表示
(1)微元法推导
①把物体的运动分成几个小段，如图甲所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．
②把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
③把整个过程分得非常非常细，如图丙所示，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．
甲 乙 丙
(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图像中的图线与对应的时间轴所包围的面积．
2．位移与时间的关系
?x＝v0t＋at2.
三、速度与位移的关系
1．公式：v2－v＝2ax.
2．推导
速度公式v＝v0＋at.
位移公式x＝v0t＋at2.
可得到速度和位移的关系式：v2－v＝2ax.
1．正误判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动． (×)
(2)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×)
(3)公式v2－v＝2ax只适用于匀变速直线运动． (√)
(4)初速度越大，匀变速直线运动物体的位移一定越大．(×)
(5)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、末速度三个因素有关． (√)
2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为( )
A．4 m/s 4 m B．2 m/s 4 m
C．4 m/s 2 m D．2 m/s 2 m
A [物体初速度v0＝0，a＝2 m/s2，t＝2 s，
则v＝v0＋at＝0＋2×2 m/s＝4 m/s，
x＝v0t＋at2＝0＋×2×22 m＝4 m，
故A正确．]
3．如图所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度匀加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为( )
A．8 m/s B．12 m/s
C．10 m/s D．14 m/s
C [由v2－v＝2ax和v0＝8 m/s，a＝1 m/s2，x＝18 m可求出：v＝10 m/s，故C正确．]
匀变速直线运动的位移
1.公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：
运动情况
取值
若物体做匀加速直线运动
a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动
a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值
说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值
说明位移的方向与规定的正方向相反
3.公式的两种特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．
【例1】 国歌从响起到结束的时间是48 s，国旗上升的高度是17.6 m．国歌响起同时国旗开始向上做匀加速运动4 s，然后匀速运动，最后匀减速运动4 s到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束．求：
(1)国旗匀加速运动的加速度大小；
(2)国旗匀速运动时的速度大小．
思路点拨：①国旗上升的高度是国旗匀加速运动、匀速运动、匀减速运动的位移之和．
②国旗匀速上升的时间为48 s－4 s－4 s＝40 s.
③国旗匀加速运动的末速度为国旗匀速上升的速度．
[解析] 由题意知，国旗匀加速上升时间t1＝4 s，匀减速上升时间t3＝4 s，匀速上升时间t2＝t总－t1－t3＝40 s，对于国旗加速上升阶段：x1＝a1t
对于国旗匀速上升阶段：v＝a1t1，x2＝vt2
对于国旗减速上升阶段：
x3＝vt3－a2t
根据运动的对称性，对于全过程：a1＝a2
x1＋x2＋x3＝17.6 m
由以上各式可得：a1＝0.1 m/s2
v＝0.4 m/s.
[答案] (1)0.1 m/s2 (2)0.4 m/s
对公式x＝v0t－at 2的理解
(1)表示以初速度方向为正方向的匀减速直线运动．
(2)a表示加速度的大小，即加速度的绝对值．
1．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C．3∶4 D．4∶3
C [汽车从刹车到停止用时t刹＝＝ s＝4 s，故刹车后2 s和6 s内汽车的位移分别为x1＝v0t－at2＝20×2 m－×5×22 m＝30 m，x2＝v0t刹－at＝20×4 m－×5×42 m＝40 m，x1∶x2＝3∶4，故C正确．]
匀变速直线运动的两个重要推论
1.平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝v＝(v0＋v)＝.
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.
由x＝v0t＋at2得， ①
平均速度＝＝v0＋at ②
由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，
v＝v0＋a ③
由②③得＝v ④
又v＝v＋a ⑤
联立以上各式解得v＝，所以＝v＝.
2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2 ①
在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2 ②
则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1 ③
联立①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．
【例2】 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度．
[解析] 解法一：基本公式法
如图所示，由位移公式得x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式，解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
解法二：平均速度法
连续两段相等时间T内的平均速度分别为1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s
且1＝，2＝，由于B是A、C的中间时刻，则vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
加速度为a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2.
解法三：逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T
联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
[答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
速度的四种求解方法
(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解．
(2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度．
(3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度．平均速度整个过程不变．
(4)图像法，通过画v-t图像求解．
2．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，则该质点运动过程中( )
A．初速度大小为零
B．加速度大小为4 m/s2
C．第4 s内的平均速度为8 m/s
D．5 s内的位移为50 m
B [根据题意，v2.5＝12 m/s，v4.5＝20 m/s，故a＝＝＝ m/s2＝4 m/s2，选项B正确；初速度大小v0＝v2.5－at2.5＝12 m/s－4 m/s2×2.5 s＝2 m/s，选项A错误；第4 s内的平均速度等于3.5 s时刻的瞬时速度，即为v3.5＝v2.5＋at1＝12 m/s＋4×1 m/s＝16 m/s，选项C错误；5 s内的位移为x＝v0t5＋at＝60 m，选项D错误．]
速度与位移的关系式
1.适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．
(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值．
(2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反．
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax.(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v＝0时，－v＝2ax.(末速度为零的匀减速直线运动)
【例3】 一隧道限速108 km/h.一列火车长100 m，以144 km/h的速度行驶，驶至距隧道200 m处开始做匀减速运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道．若隧道长500 m．求：
(1)火车做匀减速运动的最小加速度的大小；
(2)火车全部通过隧道的最短时间．
思路点拨：①火车匀减速运动的位移为200 m，而匀速通过隧道的位移为100 m＋500 m＝600 m.
②火车到达隧道口的速度为108 km/h时匀减速运动的加速度为最小．
[解析] (1)火车减速过程中
v0＝144 km/h＝40 m/s，x＝200 m，
v＝108 km/h＝30 m/s
当车头到达隧道口速度恰为108 km/h时加速度最小，设为a
由v2－v＝2ax
得a＝＝ m/s2＝－1.75 m/s2.
(2)火车以108 km/h的速度通过隧道，所需时间最短，火车通过隧道的位移为
100 m＋500 m＝600 m
由x＝vt得t＝＝ s＝20 s.
[答案] (1)1.75 m/s2 (2)20 s
3．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
[解析] 利用速度与位移的关系公式和速度公式求解．
由v2－v＝2ax得
a＝＝0.128 m/s2
由v＝v0＋at得t＝＝25 s.
[答案] 25 s
匀变速直线运动的几个推论
1.中间位置的速度与初末速度的关系
在匀变速直线运动中，某段位移x的初末速度分别是v0和v，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v2－v＝2a，对后一半位移v2－v2＝2a，即v2－v＝v2－v2，所以v＝.由数学知识知：v＞v＝.
2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)通过前x、前2x、前3x…位移时的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(5)通过前x、前2x、前3x…的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(6)通过连续相等的位移所用时间之比
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
【例4】 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：
(1)第6 s末的速度；
(2)前6 s内的位移；
(3)第6 s内的位移．
思路点拨：①小球做初速度为零的匀加速直线运动．
②注意区别前6 s和第6 s的确切含义．
[解析] (1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比
v1∶v2＝4∶6＝2∶3
故第6 s末的速度v2＝v1＝6 m/s.
(2)由v1＝at1得
a＝＝＝1 m/s2.
所以第1 s内的位移
x1＝a×(1 s)2＝0.5 m
第1 s内与前6 s内的位移之比
x1∶x6＝12∶62
故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m.
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比
xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m.
[答案] (1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m
有关匀变速直线运动推论的选取技巧
(1)对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用初速度为零的匀变速直线运动的常用推论．
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，然后用比例关系，可使问题简化．
4．(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( )
A．v1∶v2＝2∶1 B．v1∶v2＝∶1
C．t1∶t2＝1∶ D．t1∶t2＝(－1)∶1
BD [初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(－1)，故所求时间之比为(－1)∶1，所以C错误，D正确；由v＝at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶，则所求的速度之比为∶1，故A错误，B正确．]
课堂小结
知识脉络
1.在v-t图像中图线与t轴所围的面积表示物体的位移．
2．匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2.
3．匀变速直线运动的速度—位移关系式：v2－v＝2ax.
4．匀变速直线运动某段位移中点位置的瞬时速度v＝.
5．在匀变速直线运动中，连续相等时间内的位移差为Δx＝aT2.
1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t 2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为( )
A．4 m/s与2 m/s2 B．0与4 m/s2
C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0
C [对比x＝4t＋2t 2和位移公式x＝v0t＋at 2，可知其初速度v0＝4 m/s,2＝a，则加速度a＝4 m/s2.]
2．折线ABCD和曲线OE分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移—时间图像，如图所示，t＝2 s时，两图线相交于C点，下列说法正确的是( )
A．两个物体同时、同地、同向出发
B．第3 s内，甲、乙运动方向相反
C．2～4 s内，甲做减速运动，乙做加速运动
D．第2 s末，甲、乙未相遇
B [两物体同时、同向出发，但不是同地出发，A错误；第3 s内甲图线的斜率为负，向负方向运动，乙图线的斜率为正，向正方向运动，二者运动方向相反，B正确；2～4 s内，甲沿负方向做匀速直线运动，乙沿正方向做加速运动，C错误；第2 s末，甲、乙的位置相同，甲、乙相遇，D错误．]
3．物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为( )
A. B.
C. D.L
C [设加速度大小为a，下滑时v2＝2aL，上滑时0－2＝－2aL′，则由以上两式得：L′＝，故C正确．]
4．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h，在最初2 s内滑行114 m．问：
(1)第5 s末的速度大小是多少？
(2)飞机着陆后12 s内滑行多远？
[解析] (1)最初2 s内的位移x1＝v0t＋at 2
代入数据解得：a＝－3 m/s2
5 s末的速度v2＝v0＋at＝45 m/s
(2)着陆减速总时间t＝＝20 s
飞机着陆后12 s内的位移
x2＝v0t＋at 2＝504 m.
[答案] (1)45 m/s (2)504 m
课件64张PPT。第二章 匀变速直线运动的研究3 匀变速直线运动的位移与时间的关系时间轴vt面积 面积之和面积之和图线与对应的时间轴梯形的面积2ax v0＋at 2ax √××√×匀变速直线运动的位移匀变速直线运动的两个重要推论速度与位移的关系式匀变速直线运动的几个推论Thank you for watching !课时分层作业(六) 匀变速直线运动的位移与时间的关系
[合格基础练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．位移与时间的平方成正比
B．位移总是随着时间的增加而增加
C．加速度、速度、位移三者方向一致
D．加速度、速度、位移的方向并不一定都相同
D [根据x＝v0t＋at 2，位移与时间的平方不是正比关系，A错误；位移可能随时间的增加而增加，也可能随时间的增加而减小，如先减速后反向加速的匀变速直线运动，位移先增加后减小，B错误；加速度、速度、位移的方向可能相同，也可能不同，C错误，D正确．]
2．(多选)a、b两个物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀变速直线运动，若初速度不同，加速度相同，则在运动过程中( )
A．a、b的速度之差保持不变
B．a、b的速度之差与时间成正比
C．a、b的位移之差与时间成正比
D．a、b的位移之差与时间的平方成正比
AC [设a、b两个物体的初速度分别为v1、v2，加速度为a，由于a、t相同，则由v＝v0＋at得两物体的速度之差为Δv＝v1－v2，所以速度之差保持不变，故A正确，B错误；由公式x＝v0t＋at2可得两物体的位移之差为x＝(v1－v2)t，故C正确，D错误．]
3．某质点做直线运动的位移x和时间平方t2的关系图像如图所示，则该质点( )
A．加速度大小恒为1 m/s2
B．在0～2 s内的位移大小为1 m
C．2 s末的速度大小是4 m/s
D．第3 s内的平均速度大小为3 m/s
C [根据x＝at2可知题图线的斜率等于a，则a＝ m/s2，即a＝2 m/s2，故A错误；在0～2 s内该质点的位移大小为x＝at2＝×2×4 m＝4 m，故B错误；2 s末的速度大小v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，故C正确；质点在第3 s内的位移大小为Δx＝at－at2＝×2×(9－4) m＝5 m，则平均速度大小为＝＝5 m/s，故D错误．]
4．物体先做初速度为零的匀加速运动，加速度为a1，当速度达到v时，改为以a2做匀减速运动直至速度为零，在加速和减速过程中，物体的位移和所用时间分别为x1，t1和x2，t2.下列式子不成立的是( )
A.＝ B.＝＝
C.＝ D．v＝
C [由运动学规律得x1＝a1t，x2＝a2t，v＝a1t1＝a2t2，C错误；整理以上各式可得＝，A正确；＝＝＝，变形后可得v＝，B、D正确．综上所述，应选择C.]
5．物体从斜面顶端由静止开始滑下，经t s到达中点，则物体从斜面顶端到底端共同时间为( )
A.t s B. s
C．2t s D.t s
A [设斜面的总长度为x，有＝at2，x＝at′2，综合两式得，t′＝t.故A正确，B、C、D错误．]
6.(多选)甲、乙两车同时、同地、向同一个方向做直线运动，它们在0～4 s内运动的v ?t图像如图所示，由图像可知( )
A．在第2 s末，两车处于同一位置
B．在第2 s末，两车的速度相同
C．在0～4 s内，甲的加速度和乙的加速度的大小相等
D．在0～4 s内，甲、乙两车的平均速度相等
BD [由于质点的位移等于v ?t图线与t轴包围的面积，由图像可知，t＝2 s时，两车相距最远，故A错，B对；由图像知甲匀速运动，乙匀减速运动，故C错；在0～4 s内，甲、乙两车的位移相等，所以平均速度相等，故D对．]
二、非选择题(14分)
7．汽车由静止开始在平直的公路上行驶，在0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如图所示．
(1)画出汽车在0～60 s内的v-t图像．
(2)求在这60 s内汽车行驶的路程．
[解析] (1)设t＝10 s、40 s、60 s时汽车的速度分别为v1、v2、v3.由a-t图像知在0～10 s内汽车以大小为2 m/s2的加速度匀加速行驶，由运动学公式得v1＝2×10 m/s＝20 m/s
由a-t图像知在10～40 s内汽车匀速行驶，因此v2＝20 m/s
由a-t图像知在40～60 s内汽车以大小为1 m/s2的加速度匀减速行驶，
由运动学公式得v3＝(20－1×20) m/s＝0
则汽车在0～60 s内的v-t图像如图所示．
(2)由v-t图像可知，在这60 s内汽车行驶的路程s＝×20 m＝900 m.
[答案] (1)见解析 (2)900 m
[等级过关练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)有关部门对校车、大中型客货车、危险品运输车等重点车型驾驶人的严重交通违法行为提高了记分分值．如图是某司机在春节假期试驾中某次小轿车在平直公路上运动的0～25 s内的速度随时间变化的图像，由图像可知( )
A．小轿车在0～15 s内的位移为200 m
B．小轿车在10～15 s内加速度为零
C．小轿车在10 s末运动方向发生改变
D．小轿车在4～9 s内的加速度大小大于16～24 s内的加速度大小
ABD [小轿车在0～15 s内的位移为200 m，A正确；10～15 s内小轿车匀速运动，B正确；0～25 s内小轿车始终未改变方向，C错误；小轿车4～9 s内的加速度大小是2 m/s2，16～24 s内的加速度大小是1 m/s2，D正确．]
2．(多选)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它走完第1 m所用时间为t1，走完第2 m所用时间为t2，走完第1 m时的速度和走完第2 m时的速度分别为v1和v2，则下列关系正确的是( )
A．t1∶t2＝1∶ B．t1∶t2＝1∶(－1)
C．v1∶v2＝1∶2 D．v1∶v2＝1∶
BD [由x＝at2可得t1∶t2＝∶(－)＝1∶(－1)，B正确，A错误；由v2－v＝2ax可得v1∶v2＝1∶，D正确，C错误．]
3．一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零．已知运动中滑块加速度恒定．若设斜面全长为L，滑块通过最初L所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为( )
A.t B．(2＋)t
C．3t D．2t
B [利用“逆向思维法”把滑块的运动看成逆向的初速度为0的匀加速直线运动．
设后所需时间为t′，则＝at′2，
全过程L＝a(t＋t′)2
解得t′＝(＋1)t
所以t总＝t′＋t＝(2＋)t，故B正确．]
4．在平直的公路上A车正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，在A车的正前方7 m处B车此时正以vB＝10 m/s的初速度向右匀减速运动，加速度大小为2 m/s2，则A追上B所经历的时间是( )
A．7 s B．8 s
C．9 s D．10 s
B [B车速度减小到零所需要的时间为t0＝＝5 s，此时B车的位移大小为xB＝＝ m＝25 m，此时A车的位移大小为xA＝vAt0＝4×5 m＝20 m，因为xA二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)甲、乙两辆汽车在一条平直公路上沿直线同向行驶，某一时刻甲、乙两车相遇，从该时刻开始计时，甲车的位移随时间变化的关系式为x＝2t2＋2t，乙车的速度随时间变化的关系式为v＝2t＋10，(表达式中各物理量均采用国际单位)试求：
(1)两车速度大小相等的时刻；
(2)两车速度大小相等的时刻两车相距的距离．
[解析] (1)对甲车，根据x＝v0t＋at2＝2t2＋2t得，甲车的初速度v01＝2 m/s，加速度a1＝4 m/s2
对乙车，根据v＝v0＋at＝2t＋10得，乙车的初速度v02＝10 m/s，加速度a2＝2 m/s2
根据速度时间公式得，v01＋a1t＝v02＋a2t
解得t＝＝ s＝4 s.
(2)两车速度相等时，甲车的位移x1＝(2×42＋2×4) m＝40 m
乙车的位移x2＝10×4＋×2×42 m＝56 m
两车间距Δx＝x2－x1＝16 m.
[答案] (1)4 s (2)16 m
6．(13分)一货车严重超载后的总质量为50 t，以54 km/h的速率匀速行驶，发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2，不超载时则为5 m/s2.
(1)若前方无阻挡，从刹车到停下来，此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)在一小学附近，限速为36 km/h，若该货车不超载，仍以54 km/h的速率匀速行驶，看见正前方有一小孩后立即刹车到停止，幸运的是没有发生车祸，货车比不超速行驶至少多前进了多远？
[解析] (1)货车刹车时的初速度v＝15 m/s，末速度为0，加速度分别为2.5 m/s2和5 m/s2，根据速度位移公式得x＝，代入数据解得超载时位移为x1＝45 m，不超载时位移为x2＝22.5 m
(2)不超速行驶刹车后运动的最大距离为x3＝＝10 m
货车比不超速行驶至少前进了Δx＝x2－x3＝12.5 m
[答案] (1)超载时45 m 不超载时22.5 m
(2)12.5 m
