第一章 解三角形 单元测试卷A（解析版）

解三角形单元测试卷（A)

一、单选题
1．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
A． B． C． D．
2．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知三角形中，内角所对的边分别为，若，则角（ ）
A． B． C． D．
4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
5．在三角形中，，则三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
6．若△的三条边，，满足，则△( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
7．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8．在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．中，内角所对的边分别是，若，则（ ）
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
11．在中，内角所对的边分别是，已知,，，则（　　）
A． B． C． D．
12．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．


二、填空题
13．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为__．
14．在锐角△ABC中，，．若△ABC的面积为，则的长是____．
15．中，，则A的取值范围为______．
16．在中，分别是内角的对边，若，，，则的面积等于 _____．
17．在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；

三、解答题
18．在中，内角所对的边分别为，已知．
（1）求角C的大小
（2）若，的面积为，求的周长．

19．在中，角A，B，C所对的边分别为，已知
（1）求角的大小，
（2）若，求的值.
20．如图，在梯形中，，为上一点，，.

（1）若，求；
（2）设，若，求.
21．在中，．
（1）求的大小；
（2）若，的面积为，求.
22．如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均速度为20公里小时送快件到处，已知公里，，是等腰三角形，．
（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车的平均速度为60公里小时，问，汽车能否先到达处？




参考答案
1．B
【解析】
试题分析：由余弦定理得，又面积
，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B．
考点：余弦定理；三角形的面积公式．
2．B
【解析】
【分析】
根据余弦定理可得，再根据面积公式可得，从而可求出角．
【详解】
解：由余弦定理得，
又根据三角形面积公式得，
∴，
又角为的内角，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题．
3．A
【解析】
【分析】
根据题意，由正弦定理求出；由余弦定理求出，进而可求出结果.
【详解】
因为，由正弦定理可得：，
所以，
因为为三角形内角，所以，解得；
又，由余弦定理可得：，所以，
因此.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
4．C
【解析】
试题分析：不妨设为直角三角形，，则，设三边增加的长度为，则新三角形的三边长度分别为，则，而，所以，因此新三角形为锐角三角形.
考点：余弦定理.

5．C
【解析】
【分析】
直接代正弦定理得,所以A=B，所以三角形是等腰三角形.
【详解】
由正弦定理得,所以=0，即,
所以A=B,所以三角形是等腰三角形.
故答案为C
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
6．C
【解析】
【分析】
由题设比例式可设，等等可求得，确定最大边为，最大角为，用余弦定理求此角，可判断三角形形状．
【详解】
因为，所以可设
,，则，，所以三角形是钝角三角形，
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理，掌握余弦定理是解题基础，解题时可求出最大角．
7．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理化简已知条件，求得，由此求得角的大小.
【详解】
由已知及余弦定理，得，所以．
故选:C．
【点睛】
本小题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.
8．D
【解析】
解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D
9．B
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理即可解得的值．
【详解】
∵中，，，，
∴由正弦定理，可得：，解得：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．B
【解析】
【分析】
直接由已知结合余弦定理求解．
【详解】
解：在中，由，
可得，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．
11．D
【解析】
【分析】
由已知及余弦定理可得, 求出b的值，再由正弦定理即可求出结果.
【详解】
因为，，由余弦定理可得：，整理可得，解得或（舍），所以由正弦定理可得.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于基础题型.
12．A
【解析】
【分析】
由余弦定理算出的值，然后利用三角形的面积公式求面积即可.
【详解】
解：由余弦定理得，
整理得，解得，
所以的面积为，
故选：A.
【点睛】
本题考查余弦定理以及三角形的面积公式，是基础题.
13．
【解析】
【详解】
由已知，即得，




14．
【解析】
由题可知：，又为锐角三角形，所以，由余弦定理
15．
【解析】
【分析】
由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C 变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．
【详解】
因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，所以，即 ．
所以 ，
因为，所以．
【点睛】
在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．
16．
【解析】
【分析】
先由余弦定理结合题意求出的值，再由三角形面积公式即可求出结果.
【详解】
因为，，，所以由余弦定理可得：
，即，所以，，
因此.
故答案为
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，灵活运用余弦定理和三角形面积公式即可，属于基础题型.
17．或
【解析】
分析：根据正弦定理求解即可。
详解：由正弦定理可知，解得，故解得或
点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可。
18．（Ⅰ）．（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得值，结合范围，即可得解的值．
（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得，再利用余弦定理化简可得值，联立得从而解得周长．
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理，得
，
在中，因为，所以
故，
又因为0＜C＜，所以．
（Ⅱ）由已知，得.
又，所以.
由已知及余弦定理，得，
所以，从而.即
又，所以的周长为.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在中，，利用正弦定理，对原式进行边角互化，化简即可求出，根据三角形角的范围即可求出角B.（2）根据三角形内角和为，用A，B表示出C，得到，求出A，B的三角函数值即可求出.
【详解】
（1），则有，在中，均不为0，所以有，，所以.
（2）在中，，则，所以==，所以.
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化解三角形，考查三角函数两角和公式，考查三角函数已知值求值，考查了学生的计算能力与转化能力，属于基础题.
20．（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)先由题中条件求出，再由余弦定理即可求解；
(2)先由，表示出，进而可用表示出，，再由，即可求解.
【详解】
解：（1）由，，得.
在中，；
在中，．
在中，由余弦定理得，
，
．
（2）因为，所以，．
在中，；
在中，，
由得，，
所以，即，
整理可得．
【点睛】
本题主要考查解三角形的问题，常用余弦定理和正弦定理等来处理，属于基础题型.
21．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）结合已知和余弦定理即可求出，从而得到；
（2）由和即可计算求得.
【详解】
（1）因为，由余弦定理，，所以，
因为，所以；
（2），所以，因为，即，
因为，所以.
【点睛】
本题考查余弦定理和面积公式的应用，要求熟记公式并能熟练运用，属基础题.
22．(1)快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．
(2)汽车能先到达处．
【解析】
试题分析：（1）由题意结合图形，根据正弦定理可得，，求得的长，又，可求出快递小哥从地到地的路程，再计算小哥到达地的时间，从而问题可得解；
（2）由题意，可根据余弦定理分别算出与的长，计算汽车行驰的路程，从而求出汽车到达地所用的时间，计算其与步小哥所用时间相差是否有15分钟，从而问题可得解.
试题解析：（1）（公里），
中，由，得（公里）
于是，由知，
快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．
（2）在中，由，
得（公里），
在中，，由，
得（公里），-
由（分钟）
知，汽车能先到达处．
点睛：此题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理在实际生活中的应用，以及关于路程问题的求解运算等方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在此类问题中，总是正弦定理、余弦定理，以及相关联的三角函数的知识，所以根据题目条件、图形进行挖掘，找到与问题衔接处，从而寻找到问题的解决方案.





































试卷第1页，总3页


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