第一章 解三角形 单元测试卷B（解析版）

解三角形单元测试卷（B)
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=c，且满足.若点O是ΔABC外一点，∠AOB=θ()，OA=2，OB=4，则平面四边形OACB面积的最大值（ ）
A． B． C． D．
3．已知ABC的三边，，满足：，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设分别是的三边长，且，则的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是锐角三角形，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C． D．
8．已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．6≤abc≤12 B．12≤abc≤24 C．bc(b＋c)>8 D．ab(a＋b)>16
9．在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．设的内角、、所对的边、、满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
12．已知的三个内角所对的边分别为，的外接圆的面积为，且，则的最大边长为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，D为AC上一点，，则面积最大时，____________.
14．等腰中，三角形面积等于2，则腰上中线的最小值等于______.
15．在中，内角的对边分别为，角为锐角，且，则的取值范围为__________．
16．中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则面积的最大值是__________．
17．在中，分别是角的对边，已知，若，则的取值范围是__________．

三、解答题
18．如图，在中，是的中点，，，的面积为.

（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）判断是否为锐角三角形，并说明理由.
19．已知的三个内角，，所对的边分别为，，.
（1）若，求；
（2）若，试判断的形状.
20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若的面积，求a+c值；
（2）若2cosC（+）=c2，求角C．
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
求A和B的大小；
若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．

22．在中，，，分别为角，，所对的边，且，.
（Ⅰ）若，求的面积；
（Ⅱ）若为锐角三角形，求的取值范围.



参考答案
1．D
【解析】
【分析】
运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.
【详解】
由，
可得，即.又，所以．
因为，所以点为的重心，
所以，所以，
两边平方得．
因为，所以，
于是，所以，
的面积为.
因为的面积是面积的倍.故的面积为．
【点睛】
本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.
2．D
【解析】
【分析】
根据题意可得ΔABC为等边三角形，利用三角形的面积公式和余弦定理可以求出平面四边形OACB的面积，，再根据三角函数求最值的方法即可求出．
【详解】
因为，可得，所以又，所以ΔABC为等边三角形．在中，
，
．
，
所以，
因为，所以当时，平面四边形OACB面积的最大，最大值为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角函数恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数的最值求法应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于难题．
3．A
【解析】
【分析】
由题意∠C为三角形ABC中的最大角，只需分析∠C即可，由可得，，从而由余弦定理得变形可知∠C为锐角，即可求解.
【详解】
可知，∠C为三角形ABC中的最大角，
且，
所以，
亦即，
将两式相加得：
所以∠C为锐角，三角形ABC为锐角三角形，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，不等式的性质，放缩法，属于中档题 .
4．D
【解析】
【分析】
利用正弦定理和余弦定理解三角形，求得，由此求得的取值范围.
【详解】
由于，设是上一点，且，所以，.由，得，.设，在三角形中，.由正弦定理得，即，解得，所以.在三角形中，由余弦定理得，化简得，解得.表示平面内的点到两点的距离之差，所以，所以.
故选：D

【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查向量模的减法运算的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
5．C
【解析】
【分析】
根据即可求得，延长CB至D，使BD=AB即可求证，即可得，即可求解.
【详解】
由得，
延长CB至D，使BD=AB，

于是，
在与中，为公共角且，
，
，
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形的判定，属于中档题.
6．A
【解析】
由题意得，在中，由正弦定理可得 ，又因为 ，所以
，又因为锐角三角形，所以所以故选A．
7．A
【解析】
【分析】
根据以及面积公式可得,可得,可得,可得,再利用正弦定理可得,转化为,根据的范围可得答案.
【详解】
由,得 ,
所以,
所以,所以,
又,所以,
所以,
因为,所以,
所以,所以,
所以的取值范围为.
故选:A
【点睛】
本题考查了三角形面积公式,余弦定理,正弦定理,利用正弦定理边化角后,转化为的范围求解是解题关键,属于中档题.
8．C
【解析】
的内角满足，

，因为 ，所以可得，化为，，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，由，及正弦定理可得，即，面积满足，即，由，可得，显然选项不一定正确，对于，即正确，对于，即不一定正确，故选C.
【方法点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式以及正弦定理在解三角形中的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
9．D
【解析】
【分析】
利用面积公式、诱导公式、正弦定理将等式等价于，从而得到的关系，再根据三角形为锐角三角形，三个内角都是大于0小于，即可得到答案.
【详解】
因为，即，
所以，因为，
所以.由余弦定理，可得，
再由正弦定理得.
因为，
所以，
所以或，得或（舍去）.
因为是锐角三角形，所以得.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角形的面积公式、诱导公式、正弦定理、解不等式等知识的交会，考查转化与化归思想、函数与方程思想的灵活运用，考查运算求解能力，求解时对三角恒等变形的能力要求较高.
10．C
【解析】
【分析】
化简可得，设，由题可得，由三边关系可得出关于的不等式组，解不等式组即可.
【详解】
，
设，由，得，，，
不等式两边同时除以，得，即，解得.
又，即，不等式两边同时除以得，即，
解得.
又，即，不等式两边同时除以得，即，
该不等式恒成立.
因此，的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用三角函数与正弦定理边角互化思想来求代数式的取值范围，解题的关键就是利用三角形三边关系建立不等式组进行求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于难题.
11．D
【解析】
【分析】
先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求
【详解】
由题
即，由正弦定理及余弦定理得
即
故 整理得 ，故
故为顶角为的等腰三角形
故选D
【点睛】
本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题
12．B
【解析】
【分析】
化简得到，根据正弦定理得到
，根据余弦定理得到，再计算得到答案.
【详解】
的外接圆的面积为

则
，根据正弦定理：
根据余弦定理：
故为最长边：
故选
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
13．
【解析】
【分析】
将代入，得 ，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求出三角形的顶点的轨迹方程，根据图形得出三角形的面积何时最大，进而求出此时的长.
【详解】
将代入得：
，由正弦定理有：
,即，
则,即,所以 .

以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，设
由，即,
所以，即
如图，顶点在圆上,设圆心为

显然当时，三角形的面积最大,
由,又
所以,又因为，即点在轴上(如图)
,
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查正弦定理和和角公式，数形结合思想，本题还可以直接用余弦定理结合面积公式直接求解三角形的面积，从而得解，属于难题.
14．
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可得到，进而得到；利用余弦定理可表示出，结合辅助角公式整理可得，根据正弦型函数值域可知，解不等式求得结果.
【详解】
由三角形面积公式知：


，解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查三角形中最值问题的求解，涉及到三角形面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用；关键是能够利用三角形面积公式和余弦定理构造等量关系，从而结合正弦型函数的值域构造出不等关系.
15．
【解析】
设，则，由，得,.
由余弦定理得由角为锐角得，所以，所以，即.
故答案为
16．
【解析】
根据由正弦定理可得， ，可得 ，中，根据余弦定理，可得，化简可得，，，由此可得，当且仅当时等号成立，面积，综上所述，当且仅当时，面积最大值为，故答案为.
17．(2,4]
【解析】
因为，由正弦定理可得：，由余弦定理可得所以。
由正弦定理得
，所以。故答案：(2,4]
【点睛】
在解三角形中，对于求边或角范围的题，一般利用正弦定理或余弦定理把边转化为角的三角函数，注意求出角的范围，再求三角函数值域。
18．（Ⅰ）AB=4,AC=；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先根据三角形面积公式求，再根据余弦定理求；（Ⅱ）根据正弦定理求解；（Ⅲ）根据勾股定理及三边关系判断.
【详解】
（Ⅰ）由，得.
因为是的中点，所以.在中，
由余弦定理得.
故.
（Ⅱ）在中，由正弦定理，.
所以.
（Ⅲ）是锐角三角形.因为在中，.
所以是最大边，故是最大角.且.
所以为锐角.所以为锐角三角形.
【点睛】
本题考查正弦定理余弦定理在解三角形中的综合应用.判断三角形的形状也可用余弦定理求最大角的余弦值判断.
19．（1） （2）直角三角形
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得，再利用余弦定理求得的值，结合同角三角函数的基本关系式求得的值.
（2）结合已知条件得到，， 结合为锐角，求得，由此证得三角形是直角三角形.
【详解】
（1）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴.
（2）∵，
∴，，
∴或，，为锐角.
∴（舍去），
∴，
∴为直角三角形.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．（1）5（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用三角形面积公式可求ac=6，结合余弦定理可求a+c的值．
（2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
【详解】
解：（1）∵的面积，
∴=acsinB=ac，可得：ac=6，
∵由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-18，
解得：a+c=5．
（2）∵2cosC（+）=c2，
∴2cosC（accosB+bccosA）=c2，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c，
∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，即2cosCsinC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC=，
∵C∈（0，π），
∴C=．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21．（1），（2）
【解析】
【分析】
利用正余弦定理化简即求解A和B的大小．
利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值．
【详解】
解：，
由正弦定理得：，
，，
可得，即;
,
,
由．
由余弦定理可得：，
，
．
如图所示:

设，,
在中由正弦定理,得,
由可知,,
所以:,
同理,
由于,
故，此时．
故的面积的最小值为．
【点睛】
本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）运用正弦的和公式，计算A角大小，结合余弦定理，计算出b，结合三角形面积计算公式，即可。（II）运用正弦定理处理，即可。
【详解】
解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，
，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∵，∴.
由余弦定理得：，
，，∴（负值舍去），
∴.
法二：由余弦定理得，，
∴，
∴，∵，.
由余弦定理得：，
，，∴（负值舍去），
∴.
（Ⅱ）由正弦定理得：，

.
∵是锐角三角形，∴，
，，
∴.
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识.













试卷第1页，总3页


试卷第1页，总3页