第二章 数列单元测试卷A（含答案解析）

数列单元测试卷（A）
一、单选题
1．若函数为等差数列，为其前项和，且，则 （ ）
A． B． C． D．
2．《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)．若该女第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( )
A． B． C． D．
3．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（ ）．
A． B． C． D．
5．观察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2，4?1，…，则式子3?5是第（ ）
A．22项 B．23项 C．24项 D．25项
6．已知等差数列满足，，等比数列满足，，则( )
A．32 B．64 C．128 D．256
7．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（??? ）
A． B． C． 或 D． 或
8．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（　　）
A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51
9．数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an（n∈N*）．若b3＝－2,b10＝12，则a8＝（ ）
A．0 B．3 C．8 D．11

10．已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．
11．已知等比数列中，，，，数列的前项和为，则（ ）
A．36 B．28 C．45 D．32
12．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为( )
A． B．-2 C．1或 D．-1或


二、填空题
13．已知数列的前项和为，且，则__________．
14．在等比数列中， 若，，则____．
15．计算：__________．
16．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为______.
17．设等差数列的前项和为，已知，，则 ．

三、解答题
18．已知数列，，，.
（1）求证：是等比数列；
（2）设（），求数列的前项和.
19．已知正项等比数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,求满足的正整数的最小值.
20．已知等差数列的公差为，且方程的两个根分别为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21．在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
22．已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，设的前项和为，求证：．



参考答案
1．C
【解析】
由得，所以.
2．B
【解析】
依题意设每天多织尺,依题意得,解得.故选B.
3．A
【解析】
【分析】
由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值。
【详解】
由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，
所以或（舍），故选A
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题。
4．D
【解析】
分析：利用等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2
详解：：∵等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，
∴（a1+4）2=a1（a1+6），
∴a1=-8，
∴a2=-6．
故选D.
点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
5．C
【解析】
【分析】
根据两数的和找到相对应的规律，即可求出．
【详解】
解：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，为和为8的第3项，故是第24项.
故选：．
【点睛】
本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题．
6．B
【解析】
由，可知数列,所以,故.故选B.
7．D
【解析】
【分析】
由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.
【详解】
由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
故选：D．
【点睛】
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
8．C
【解析】
由a1+a2+a3+…+a101=0知道，,即,
由等差数列的性质可知
故选C
9．B
【解析】
设数列的公差为，则，则，；
则将上述式子相加，
得．
考点：等差数列的通项公式、累加法．

10．A
【解析】
依题意可知,所以.
11．B
【解析】
分析：根据，可以先求出公比q，然后根据等比数列通项公式得到，从而得到为等差数列，再根据等差求和公式即可.
详解：由题可得：
所以，故，
所以是以公差为1的等差数列，
故，选B.
点睛：考查等比数列和等差数列的通项和前n项和，先求出q=3得到等比数列的通项是解题关键，属于基础题.
12．C
【解析】
由题意知：


或
故答案选
13．14
【解析】
由题意得．
答案：
14．32
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质， 若，，，，且，则有计算出，结合题意求出，进而求出答案．
【详解】
解： 根据等比数列的性质， 在等比数列中， 若，，，，且，则有可得：
，所以，
所以公比，所以，
所以．
故答案为:32 ．
【点睛】
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的性质与等比数列的通项公式， 并且加以正确的运算．
15．
【解析】
分析：原式变形后，利用裂项相消法，计算即可得到结果．
详解：由裂项相消法原式=
点睛：此题考查了数列的求和，熟练掌握裂项相消法运算法则是解本题的关键．
16．8
【解析】

，则

即
，由二次函数的对称轴为可知，当时，取最小值。
故答案为
17．
【解析】
试题分析：根据等差数列的性质，可知成等差数列，即,解得.
考点：等差数列的性质.
18．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义进行证明．（2）根据（1）以及，在利用分组求和的方法即可求处数列的和．
【详解】
（1）依题意，，

所以，是首项为2、公比为2的等比数列.
（2）由（1）得：，，

数列的前项和为.
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义的应用以及利用分组求和的方法求数列的前n项和．考查学生的运算能力．
19．(1) .
(2)5.
【解析】
(1)由题意知,,∴,得,
设等比数列的公比为,
又∵,∴,化简得,解得.
∴.
(2)由(1)知,?.
∴,
∴.
令,得,解得,
∴满足的正整数的最小值是5.
20．(1);(2).
【解析】
试题分析：（1）由题意，根据根与系数关系可求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项公式，从而问题可得解决；（2）由（1）可得数列的通项，观察其特点，可采用分组求和法进行计算，即将数列分为等比数列与等差数列两种特殊数列，再根据各自前项和公式进行运算，从而问题可得解.
试题解析：（1）由题知，
解得
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则

.
21．（1）；（2）100
【解析】
试题分析：（1）根据题意，，成等比数列得得求出d即可得通项公式；（2）求项的绝对前n项和，首先分清数列有多少项正数项和负数项，然后正数项绝对值数值不变，负数项绝对值要变号，从而得，得，由，得，∴ 计算 即可得出结论
解析：（1）由题意可得，则，，
，即，
化简得，解得或（舍去）.
∴.
（2）由（1）得时，
由，得，由，得，
∴
.
∴.
点睛：对于数列第一问首先要熟悉等差和等比通项公式及其性质即可轻松解决，对于第二问前n项的绝对值的和问题，首先要找到数列由多少正数项和负数项，进而找到绝对值所影响的项，然后在求解即可得结论
22．（I）;（Ⅱ）证明过程见解析；
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用 整理得 ,进而计算可得结论；（Ⅱ）通过分母有理化可知，并项相加即得结论．.
试题解析：（I）当时，，得或（舍去）．
当时，，，两式相减得
，
所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列，．
（Ⅱ）
















试卷第1页，总3页


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