1.2.1 勾股定理及逆定理课件

(共27张PPT)
数学北师大版

八年级
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形第1课时勾股定理及逆定理
1、（性质）定理：直角三角形的两个锐角互余.
2、（判定）定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形
拓展归纳 直角三角形的两锐角互余是三角形内角和等于180°的一个推论.当一个三角形有两个角互余(即两个角的和等于90°)时,第三个角是直角,此时,这个三角形是直角三角形.
练习1如图，在△ABC中，AD=BD，AD⊥BC于点D，∠C=55°，求∠BAC的度数．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠C=55°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣55°=35°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+35°=80°．
练习2在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于F，试说明AE=AF．
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵∠BAC=90°∴∠ABE+∠AEF=90°，
∵DA⊥BC，∴∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD，
∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等），
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．
例1　在△ABC中,∠A,∠B,∠C满足条件∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3.求证:△ABC是直角三角形.
分析:由三角形内角和等于180°,列方程求得最大角的度数.若最大角的度数等于90°,就可以确定这个三角形是直角三角形.
证明:∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴∠C=∠A+∠B
又∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A+∠B=∠C=90°.
∴△ABC是直角三角形.
A的面积(单位
面积) B的面积(单位
面积) C的面积(单位
面积)
图1
图2
图3
A、B、C 面积
关系

1
1
2
4
4
8
9
9
18
SA+SB=SC
a2+b2=c2
图中直角三角形的三边分别是a,b,c,请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表格，探究规律。





图1
图2
图3

直角三角形三边数量关系
复习勾股定理的推得





图2
图1
A的面积
（单位面积） B的面积
（单位面积） C的面积
（单位面积）
图1
图2
A、B、C 面积
关系

16
9
25
4
9
13
SA+SB=SC
a2+b2=c2
割补思想
你还能数出图中正方形A、B、C各占多少个小格子吗？完成表格，探究规律。
直角三角形
三边数量关系

c
a
b

c
a
b

c
a
b

c
a
b
∵ (a+b)2 = c2 + 4?
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为


(a+b)2
c2 +4?
.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

c
a


c
a


c
b


c
a

∵ c2= 4? +(b-a)2
c2 =2ab+b2-2ab+a2
c2 =a2+b2
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为


c2
4? +(b- a)2




b
a
c

b
a
c
美国第十七任总统的证法






如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
如果把勾股定理的条件与结论反过来写，应写成什么？能成立吗？
能成立
我们把这个叫勾股定理的逆定理：




a
c
A
C
B

b

C1
M

N
B1
A1


已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.
求证： △ABC是直角三角形.
证明：作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1=a=CB,
在C1N上截取C1A1=b=CA,
连接A1B1.
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得
A1B12=a2+b2=AB2 .
∴ A1B1=AB .∴ △ABC≌△A1B1C1 . （SSS）
∴ ∠C=∠C1=90° .∴ △ABC是直角三角形.
a
b
1.下列几组数据能否作为直角三角形的三边？
（1）9，12，15; （2）15，36，39;
（3）12，35，36 ; （4）12，18，22.
2.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,
25cm，则这个三角形的面积是（ ）cm2 .
(A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，
AD=12，AC=20，则△ABC是（ ）.
(A)等腰三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)直角三角形


针对练习：
?
?
?
?
?
4.如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的比可能是（ ） A.3:5:7; B.5:4:3; C.1:2:3; D.1:4:9.　　　
B
5.三角形的三边分别是a,b,c,且满足等式(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是: ( )
A. 直角三角形; B. 是锐角三角形;
　C.是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形.
A
勾三股四弦五
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理：
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2
前一命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件
观察上面两个定理,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.


再观察下面三组命题:
如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如果两个角相等,那么它们是对顶角;
如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;
上面每组中两个命题的条件和结论之间也有前一命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,
一个三角形中相等的边所对的角相等，
一个三角形中相等的角所对的边相等；
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
命题与逆命题
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
判断正误：
（1）互逆命题一定是互逆定理；
（2）互逆定理一定是互逆命题.
我们已经学习了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、“两直线平行，内错角相等与“内错角相等，两直线平行”等.请你再举出一些互逆定理的例子.

?
×

例2　如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12
(1)求证:AD⊥BD.
(2)求四边形ABCD的面积.
解:(1)在Rt△BCD中,由勾股定理得
在△ABD中,BD=5,AB=13,AD=12,
∵AD2+BD2=122+25=169=132=AB2,即AD2+BD2=AB2,
∴由勾股定理的逆定理知△ABD是直角三
角形,且∠ADB=90°.∴AD⊥BD.
(2)四边形ABCD的面积为
例3　(1)写出命题“如果a=b,那么a2=b2”的逆命题,并判断是不是真命题;
(2)写出定理“对顶角相等”的逆命题,并判断是不是原定理的逆定理.
分析:(1)该命题的条件与结论很清楚,只要将条件与结论互换即可得逆命题,逆命题的真假可通过举反例判断出.(2)此题的条件与结论都是略写的形式,要注意写出的命题必须是完整的,不能简单地说成“相等是对顶角”.
解:(1)逆命题是如果a2=b2,那么a=b,不是真命题.
(2)逆命题是如果两个角相等,那么这两个角是对顶角,这个命题是假命题,原以原定理没有逆定理.
直角三角形的性质
1.在直角三角形中，两锐角互余.
2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
小结
4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
5、勾股定理
6、斜边上的高乘以斜边等于两直角边乘积
解(1)多边形是四边形,假命题,而原命题是真命题.
(2)同旁内角互补,两直线平行,这对命题都是真命题.
(3)如果a=0,b=0,那么ab=0,原命题是假命题,其逆命题为真命题.
（1）四边形是多边形;
（2）两直线平行, 同旁内角互补;
（3）如果ab=0, 那么a=0, b=0.
1.说出下列合理的逆命题, 并判断每对命题的真假:
课后作业
2.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？
老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决.
B
C
A
B1
C1




D1
A1
D
B

A
B1





D1
A1
D

C1
C




102+82=164
谢谢
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