第三章 不等式 单元测试卷A（含答案解析）

不等式单元测试卷（A）
一、单选题
1．已知非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知下列四个条件：①；②；③；④，能推出成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，则下列不等式成立的是 (　　)
A． B． C． D．
4．已知函数，函数的最小值等于（ ）
A． B． C．5 D．9
5．若实数x，y满足，则的最大值为　　
A．1 B． C． D．
6．关于的不等式()的解集为,且,则
A． B． C． D．
7．若，则的最小值是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a> B．－12C．－1210．若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为
A．8 B．6 C．4 D．2
11．若0＜x1＜x2, 0＜y1＜y2，且x1＋x2=y1＋y2=1，则下列代数式中值最大的是（ ）
A．x1y1＋x2y2 B．x1x2＋y1y2 C．x1y2＋x2y1 D．
12．已知都是正数,且，则的最小值等于
A． B．
C． D．


二、填空题
13．已知，且，则的最大值为
14．已知，则的最小值为_____________.
15. 若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是__________．
16．已知，且，则的最小值为______.
17．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．

三、解答题
18．已知函数
（I）求函数的最小值；
（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．解下列不等式：
（1）
（2）



20．解不等式组.


21．已知、、，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）．

22．已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．



参考答案
1．D
【解析】
【分析】
运用不等式的基本性质、取特例法、作差法，逐一对四个选项进行判断.
【详解】
选项A.由不等式性质可知；是两个正数存在，才有，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；
选项B:若，显然结论不正确，所以本选项是错误的；
选项C: ，可以判断的正负性，但是不能判断出的正负性，所以本选项不正确；
选项D:若，由，可以得到，若时，由不等式的性质可知：
，，故由可以推出，故本选项正确，所以本题选D.
【点睛】
本题考查了不等式的性质.判断不等式是否成立，除了应用不等式的性质之处，一般用特例法、比较法来进行判断.
2．C
【解析】
【详解】
①中，因为，所以，因此①能推出成立；
②中，因为，所以，所以，所以，因此②能推出成立；
③中，因为，所以，所以③不能推出成立；
④中，因为，所以，所以④能推出成立；
故选C.
3．B
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质即可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以，
故选B
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.
4．C
【解析】
【分析】
先将化为，由基本不等式即可求出最小值.
【详解】
因为，当且仅当，
即时，取等号.
故选C
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.
5．C
【解析】
【分析】
根据，即可求出最大值．
【详解】
解：实数x，y满足，
，
，
当，时取等号，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．
6．C
【解析】
分析：先通过解一元二次不等式得到不等式的解集，再利用区间长度进行求解．
详解：因为，
所以，
即，
又，
所以，
解得．
点睛：本题考查一元二次不等式的解法等知识，意在考查学生的数学转化能力和基本计算能力．
7．C
【解析】
【分析】
配凑，再利用均值不等式。
【详解】
则，，当时取“=”，所以正确选项为C
【点睛】
“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式。
8．B
【解析】
【分析】
令，，得到关于的二元一次方程组，解这个方程组，求出关于的式子，利用不等式的性质，结合的取值范围，最后求出的取值范围.
【详解】
解：令，，,
则
又，因此，故本题选B.
【点睛】
本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.
9．B
【解析】
【分析】
由题意可知对于一切实数都成立，分类讨论，求出实数a的取值范围.
【详解】
由题意可知对于一切实数都成立,当a＝0时，不等式成立，即符合题意；
当时，要想对于一切实数都成立，只需，解得
－12【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，考查了分类思想.
10．C
【解析】
【分析】
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式求出结果.
【详解】
实数a，b满足ab＞0， 则， 当且仅当时等号成立． 故选：C．
【点睛】
本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力.
11．A
【解析】
试题分析：依题意取x1=，x2=，y1=，y2=．计算x1y1＋x2y2=，x1x2＋y1y2=，
x1y2＋x2y1=，故选A．
考点：本题主要考查不等式的性质，选择题的灵活解法．
点评：简单题，本题可利用“特殊值法”解答，体现选择题解法的灵活性．
12．C
【解析】
【详解】
,故选C.
13．
【解析】
，当且仅当x=4y=时取等号.
14．
【解析】
【详解】
试题分析：由可得.又.当且仅当时取等号.
考点：1.对数的知识.2.基本不等式.
15．
【解析】
① 当m＝－1时，不等式的解集为x<3，不合题意；
② 当m≠－1时，解得m<－.
所以实数m的取值范围是.
点睛：二次函数在R上恒大与0或恒小于0的问题只需考虑二次的判别式即可。
当判别式大于0时，二次函数图象与x轴有两个交点；
当判别式等于0时，二次函数图象与x轴只有一个交点；
当判别式小于0时，二次函数图象与x轴无交点.
16．17
【解析】
【分析】
由题得，再利用基本不等式求函数的最小值.
【详解】
，
当且仅当，即，亦即时，等号成立.
所以函数的最小值为17.
故答案为：17
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
17．（-4，2）
【解析】
试题分析：因为当且仅当时取等号，所以
考点：基本不等式求最值
18．（I）9；（II）
【解析】
【详解】
解：（I）.


当且仅当即时上式取得等号，
又，
当时，函数的最小值是9.
（II）由（I）知，当时，的最小值是9，
要使不等式恒成立，只需
即
解得或
实数的取值范围是
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）令求得两根，根据一元二次方程的根与一元二次不等式解集的关系可得到结果；
（2）移项通分可将不等式化为，由此可解得结果.
【详解】
（1）令，解得：或
的解集为
（2）由得：，解得：
的解集为
【点睛】
本题考查一元二次不等式与分式不等式的求解问题，属于基础题.
20．
【解析】
【分析】
分别解出两个不等式，然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集.
【详解】
解不等式，即或，解得或.
解不等式，即，解得.
因此，不等式组的解集为.
【点睛】
本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
21．（1）详见解析；
（2）详见解析；
（3）.
【解析】
【分析】
（1）对不等式分别使用基本不等式即可证明出；
（2）对不等式分别使用基本不等式即可证明出
；
（3）根据（1）（2）不等式的结构特征直接写出一般推广结论.
【详解】
（1）（当且仅当=1时取等号）；
（2）（当且仅当时取等号）；
（3）推广：已知，，…，则（当且仅当时取等号）；
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用与推广，考查了类比推理的能力.
22．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）不等式的解集为说明和1是的两个实数根，运用韦达定理，可以求出实数的值；
（2）不等式的解集为，只需，或即可，解不等式组求出实数的取值范围．
【详解】
（1）若关于的不等式的解集为，
则和1是的两个实数根，由韦达定理可得，
求得．
（2）若关于的不等式解集为，则，或，
求得或，
故实数的取值范围为．













试卷第1页，总3页


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