第三章 不等式 单元测试卷B（含答案解析）

不等式单元测试卷（B）
一、单选题
1．若正数a,b满足a+b=2,则 的最小值是( )
A．1 B． C．9 D．16
2．已知实数，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若，则当取得最小值时，（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4． 设a＞0，b＞0, a＋4b＝1，则使不等式t≤ 恒成立的实数t的取值范围是
A．t≤8 B．t≥8 C．t≤9 D．t≥9
5．设区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若a，b均为正实数，则的最大值为　　
A． B． C． D．2
7．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．设，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．24 B．28 C．30 D．25
10．设都是正数，则三个数（ ）
A．都大于4 B．都小于4 C．至少有一个大于4 D．至少有一个不小于4
11．已知，其中，则的最小值是（ ）
A． B．3 C．1 D．2
12．已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．


二、填空题
13．已知正数满足则的最小值为__________．
14．若为正实数，则的最大值为_______．
15．已知函数，若且，则的取值范围为__________．
16．设，b＞0，则的最小值为___________.
17．已知，则的最小值为__________．

三、解答题
18．已知函数f (x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x)(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在上单调递增，求实数m的取值范围．




19．定义在R上的函数f（x）=ax2+x．
（Ⅰ）当a＞0时求证：对任意的x1，x2∈R都有[f（x1）+f（x2）]成立；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，|f（x）|≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=，点p（m，n2）（m∈Z，n∈Z）是函数y=f（x）图象上的点，求m，n．
20．设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围.
21.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
22．已知函数
(1)若关于的不等式的解集为,求的值;
(2)若对任意恒成立,求的取值范围.



参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由可得，所以可得，由基本不等式可得结果.
【详解】
∵，∴，
又∵，，
∴
，
当且仅当，
即，时取等号,
的最小值是,故选B.
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
2．B
【解析】
∵，，
∴
当且仅当，即，时取等号.
故选B
点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，然后乘“1”变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
3．C
【解析】
因为

因此时取最小值，即，选C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
4．C
【解析】
因为a＞0，b＞0，所以t≤等价于t≤，只需t≤而＝()(a＋4b)＝＋5≥2＋5＝9，当且仅当，即a＝2b＝时取“＝”．∴t≤9 ，故答案选C.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
5．C
【解析】

由题知，又(当)时等号成立．则，即
，所以，又由线性规划，对于中点知，则
，又当时，，即．故本题答案选，
点睛：本题主要考查基本不等式，线性规划及数形结合.其中基本不等式可将积的形式转化为和的形式,也可将和的形式转化为积的形式,两种情况下的放缩功能,可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式,函数等的取值范围或最值中. 与常用来和化积,而和常用来积化和.
6．B
【解析】
【分析】
对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，
则，
当且仅当，且a=1取等，即a=1,b= 取等
即则的最大值为，
故选B．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，熟练变形是关键，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致，是难题.
7．A
【解析】依题意，画出的图像如下图所示，由图可知，解得.

8．D
【解析】依题意，，根据基本不等式，有.
9．D
【解析】
因为，所以的最小值，应选答案D．
点睛：本题重在考查基本不等式的灵活运用．求解这类问题的最大最小值时，可适时灵活使用基本不等式，使得求解过程简捷、明快．解答本题的关键在于巧妙地将目标函数变为，然后再运用基本不等式使得问题获解．
10．D
【解析】因为，所以若三个数都小于4 ，则三个数和小于12，因此三个数至少有一个不小于4，选D.
11．A
【解析】由，得，即有， ，即当且仅当，即时，
取到最小值,选A.
12．C
【解析】
∵正项等比数列的公比为3，且
∴
∴
∴，当且仅当时取等号.
故选C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
13．
【解析】
【分析】
将变形为后，可将变形为，展开并用基本不等式求解即可.
【详解】
由题可知：，
故=
=当且仅当x=y时取得等号
【点睛】
本题考查了 “乘1法”和基本不等式求最值，考查了变形的能力，计算能力，是中档题.
14．
【解析】
【分析】
设恒成立，可知；将不等式整理为，从而可得，解不等式求得的取值范围，从而得到所求的最大值.
【详解】
设恒成立，可知
则：恒成立
即：恒成立
，
解得： 的最大值为：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查最值的求解问题，关键是能够将所求式子转化为不等式恒成立的问题，从而构造出不等式求解出的取值范围，从而求得所求最值，属于较难题.
15．
【解析】由于，所以，故.当且仅当时，等号成立.故取值范围是.
16．
【解析】
【分析】
由，得，分成和两类，用基本不等式求得所求表达式的最小值.
【详解】
由，得.当时，代入.当时，代入.故最小值为
【点睛】
本小题主要考查基本不等式求最值.基本不等式的公式是，，也可以是.本小题所要求的式子中，没有办法直接利用基本不等式来求最小值，需要对已知条件进行变换，然后利用“的代换”，将所求式子变为可以用基本不等式的形式来求得最小值.
17．
【解析】
【分析】
根据知，且，所以， 故，化简后利用均值不等式即可求解.
【详解】
因为知，又，所以，而
，经检验等号成立,故填.
【点睛】
本题主要考查了均值不等式，考查了数学式子的变形化简，对计算能力要求较高，属于中档题.
18．（1）b<0或b>4.（2）－1≤m≤0或m≥2.
【解析】
试题分析:（1）化简不等式得?x∈R，x2－bx＋b<0,由二次函数图像得,解得实数b的取值范围； （2）F(x)＝x2－mx＋1－m2，所以对称轴 ,再结合图像,得 ,解得实数m的取值范围．
试题解析：(1)?x∈R，f(x)?(－b)2－4b>0?b<0或b>4.
(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.
①当Δ≤0，即－≤m≤时，则必需
?－≤m≤0.
②当Δ>0，即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1若≥1，则x1≤0，即?m≥2；
若≤0，则x2≤0，即
?－1≤m<－；
综上所述：－1≤m≤0或m≥2.
19．（Ⅰ）详见解析（II）-≤a≤-（Ⅲ）m=n=0或者m=-4，n=0
【解析】
【分析】
（Ⅰ）作差比较；
（Ⅱ）分离变量后再将恒成立转化为最值；
（Ⅲ）根据两个整数的和与积都为偶数，得这两个整数均为偶数．
【详解】
解：（Ⅰ）证明：∵[f（x1）+f（x2）]-f（）
=（ax12+x1+ax22+x2）-a（）2-
=，
∵a＞0，∴[f（x1）+f（x2）]-f（）≥0，
∴[f（x1）+f（x2）]≥f（）．
（Ⅱ）当x=0时，|f（x）|≤1显然成立，此时a∈R；
当x∈（0，2]时，|f（x）|≤1?-1≤ax2+x≤1?≤a≤
?-（）2-≤a≤（）2-恒成立，
∵x∈（0，2]，∴-（）2-有最大值-，（）2-有最小值-，
∴-≤a≤-．
（Ⅲ）∵a=，∴f（x）=x2+x，
∵P（m，n2）在函数f（x）的图象上，∴m2+m=n2，
变形得（m+2）2-4n2=4，
∴（m+2-2n）（m+2+2n）=4，且m∈Z，n∈Z，
∵（m+2-2n）+（m+2+2n）=2m+4为偶数，
∴m+2-2n与m+2+2n同为偶数，
∴或
解得：或
故答案为：m=n=0或者m=-4，n=0．
【点睛】
本题考查了不等式的证明、不等式恒成立转化为最值，属难题．
20．（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.
试题解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，∴，
即，
又为钝角，因此，
故，即；
(Ⅱ)由（1）知，
，∴，
于是
，
∵，∴，因此，由此可知的取值范围是．
考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.

21．(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].
【解析】
试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围
试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝
当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；
当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.
所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分
（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|
－2－a≤x≤2－a，
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，
故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．
考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数

22．（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1) 不等式可化为，而解集为，可利用韦达定理或直接代入即可得到答案；
（2）法一：讨论和时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围；
法二：利用二次函数在上大于等于0恒成立，即可得到取值范围.
【详解】
（1）法一：不等式可化为，其解集为，
由根与系数的关系可知，
解得，经检验时满足题意.
法二：由题意知，原不等式所对应的方程的两个实数根为和4，
将（或4）代入方程计算可得，经检验时满足题意.
（2）法一：由题意可知恒成立，
①若，则恒成立，符合题意。
②若，则恒成立，而，
当且仅当时取等号，所以，即.
故实数的取值范围为.
法二：二次函数的对称轴为.
① 若，即，函数在上单调递增，恒成立，
故；
②若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
由得.
故；
③若，即，此时函数在上单调递减，
由得，与矛盾，故不存在.
综上所述，实数的取值范围为.













试卷第1页，总3页


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