第三章 三角恒等变换 单元测试卷A（含答案解析）

三角恒等变换单元测试卷（A）
一、单选题
1．设且则（ ）
A． B． C． D．
2．已知（ ）
A． B． C．－ D．－
3．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．的值为( )
A． B． C． D．
5．若，且为第三象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是
A．― B．± C．―1 D．±1
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，那么的值为（ ）．
A． B． C． D．
11．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根为tanα、tanβ，且α，β∈，则tan的值是( )
A． B．－2 C． D．或－2
12．若tan+=4,则sin2=
A． B． C． D．


二、填空题
13．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.
14．若，则=_________________
15．如果，那么等于_______.
16．已知锐角、满足，，则________.
17．已知，，则____________.

三、解答题
18．已知函数．
(I)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最大值．

19．已知且，
求的值.
20．已知，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
21．已知，且为第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
22．设函数 .
（1）求函数的周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值.



参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由已知得，，去分母得，，所以
，又因为，
，所以，即，选
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．

2．C
【解析】
【详解】
试题分析：，，

，，

.
考点：二倍角公式的运用，同角三角函数间的关系.
3．C
【解析】
【分析】
由两角差的正弦公式计算可得答案.
【详解】

故选：C
【点睛】
本题考查两角差的正弦公式的应用，属于简单题.
4．D
【解析】.
5．D
【解析】
【分析】
先根据的值以及所在的象限,由同角公式解得,再由同角公式解得,然后根据两角和的正切公式可得.
【详解】
因为，为第三象限角，所以，
所以，
所以.
故选D.
【点睛】
本题考查了同角三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式,属基础题.
6．B
【解析】
【分析】
先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.
【详解】
因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，
所以，
因此.
故选B
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.
7．A
【解析】
【详解】
．
选A．
8．C
【解析】
∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+sinx=（cosx+sinx）=×（―）=-1，故选C
9．B
【解析】
【分析】
先根据诱导公式化简，再根据二倍角正切公式得结果.
【详解】
由题意得，，则.
，故选.
【点睛】
本题考查诱导公式以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．A
【解析】
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴．
故选．
点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.
11．B
【解析】
∵，
∴tan(α＋β)＝＝，
∵tanα<0，tanβ<0，∴，
∴－π<α＋β<0，∴－<<0，
∵tan(α＋β)＝＝，∴tan＝－2，故选B.
12．D
【解析】
本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为，所以..
【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等

13．1
【解析】
原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.
14．
【解析】
分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．
详解：由已知，
∴．
故答案为．
点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．
15．
【解析】
【分析】
由可得，从而可得结果.
【详解】
因为，，
所以，故答案为.
【点睛】
三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
16．.
【解析】
试题分析：由题意，所以.
考点：三角函数运算.
17．
【解析】
，

18．(Ⅰ) ；(Ⅱ) 最大值为.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用降幂公式和两角和的余弦公式把化成，再用辅助角公式把后者化为，从而可求的最小正周期等．
（Ⅱ）直接计算出，利用正弦函数的性质得到的最大值．
【详解】
（Ⅰ）因为，所以的最小正周期．
（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值为．
【点睛】
本题考查正弦型函数的最小正周期和最大值，前者利用公式计算，后者先求整体的范围，再利用正弦函数的性质来求，本题属于基础题.
19．.
【解析】
【分析】
由，可以求出的取值范围，利用同角的三角函数的平方和关系分别可以求出的值，利用，求出的值，结合的取值范围，可以求出的值.
【详解】
因为，所以，
因为，，所以，
又因为，所以，
，
因为，所以.
【点睛】
本题考查了已知三角函数的值求角问题，考查了同角的三角函数的关系式，考查了两角和的余弦公式，逆用公式、角的拆分是解题关键
20．(1) .
(2) .
【解析】
【详解】
分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由，然后两边取正弦计算即可.
详解：
（Ⅰ） ，且，，-------2分
于是 ；
（Ⅱ）,,,结合得：， 于是
.
点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于的配凑是解第二问的关键，属于中档题.
21．（1）（2）
【解析】
（1）∵sinα=，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α=2sinαcosα=；
（2）由（1）知tan，∴tan（α+）=．
22．（1） ；（2）3.
【解析】
试题分析：（1）本问考查三角恒等变换公式， ，根据二倍角公式整理可得，然后根据正弦型函数图像及性质周期为 ， 即可求得递增区间；（2）本问考查求三角函数值域问题，可以根据整体法，由 ，求出 的取值范围，然后根据正弦函数图像，可以求出函数的值域，于是得到最大值.
试题解析：（1）因为 .
，，
函数的单调递增区间为： ；
（2），，
，
的最大值是3.
考点：1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数图像及性质.













试卷第1页，总3页


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