第三章 三角恒等变换 单元测试卷B（含答案解析）

三角恒等变换单元测试卷（B）

一、单选题
1．
A． B． C． D．1
2．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为
A． B．1 C． D．
3．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．已知函数，，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为
A． B． C． D．
7．如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上任意一点，则xy+x+y的最大值为（　　）

A． B．1 C． D．
8．若，则（ ）
A．1 B．
C． D．
9．若都是锐角，且，，则 （ ）
A． B． C．或 D．或
10．若，则为（ ）
A．5 B．?1 C．6 D．
11．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的周期为
C．若，则（）
D．在区间上单调递减


二、填空题
13．已知是某三角形的三个内角，给出下列四组数据
①； ②；
③； ④．
分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ．
14．已知，为锐角，，，则________.
15．若，，，，则__________．
16．在中，若，则的最大值为__________．
17．,若，则_________.

三、解答题
18．已知．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若，求的值；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围．
19．（1）当时，求证：；
（2）如图，圆内接四边形的四个内角分别为、、、.若，，，.求的值.

20．已知函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.
（1）求函数的解析式：
（2）已知角满足：且，，求的值.
21．已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称．求的最小值
22．计算（1）；
（2）



参考答案
1．A
【解析】
分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：





.
点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．A
【解析】
【分析】
先化简的表达式，平移后得到的解析式，再求出的解析式，然后利用的单调减区间列不等式组，求得的取值范围，进而求得正数的最大值.
【详解】
依题意，，向左平移个单位长度得到.故，下面求函数的减区间：由，由于故上式可化为，由于函数在上单调递减，故，解得，所以当时，为正数的最大值.故选A.
【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像变化的知识，考查三角函数的单调区间的求法，综合性较强，需要较强的运算能力.是不能够直接合并起来的，需要通过运用降次公式两次，才能化简为的形式.求解三角函数单调区间时，要注意是正数还是负数.
3．B
【解析】
【分析】
函数，由，可得
，，因此即可得出．
【详解】
函数

由，可得
解得 ，
∵ 在区间内没有零点，
.
故选B．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．C
【解析】
【分析】
因为当时函数值为，所以函数的最小值为等价于在上恒成立，利用参变分离可以求得实数的取值范围．
【详解】
因为的最小值为且 时 ，
故恒成立，也就是，
当时，有；
当时，有，故，
所以选C．
【点睛】
含参数的函数的最值问题可以转化为恒成立即：
（1）在上的最小值为等价于恒成立且存在，使得；
（2）在上的最大值为等价于恒成立且存在，使得．
5．C
【解析】
【分析】
利用倍角公式，结合函数名的转换求解.
【详解】
,
,故选C.
【点睛】
本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.
6．B
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.
【详解】



，
，周期，
又存在实数，对任意实数总有成立，
，
的最小值为，故选B.
【点睛】
本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.
7．D
【解析】
【分析】
由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα利用三角函数有关公式化简，即可求解最大值．
【详解】
由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，
则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα，
设t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，
即sinαcosα=，
则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=
t=sinα+cosα=sin（α+），
∵0≤α≤，∴≤α+≤，
∴.
∴当t=时，xy+x+y取得最大值为：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角函数的性质和转换思想的应用，由t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，将xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=+t=（t-1）2，转化为二次函数问题，属于中档题；
8．B
【解析】
，故选B.
考点：正、余弦差角公式.
9．A
【解析】
【分析】
先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.
【详解】
因为都是锐角，且，所以又
，所以，所以
， ，故选A.
【点睛】
本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大．
10．A
【解析】由可知，
．两式联立可得：
.故选A.
考点：两角和与差的正弦公式.
11．C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.
【详解】
函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中、是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．D
【解析】
∵，，故函数的图象关于直线，对称，故A错误；的周期为 ，故B错误；函数的周期为，若，则（），故C错误；在区间上单调递减，故D正确；故选D.
13．①③
【解析】
试题分析： 因为是某三角形的三个内角，由正弦定理可知，可作为三角形的三条边；
因为，所以，所以，同理可证，故可作为三角形的三边.故答案为①③.
考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
14．
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cos（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得 β＝[（α+β）﹣α]的值．
【详解】
∵α、β为锐角，cosα，∴sinα，
sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，
∴cos（α+β），
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
??．
故答案为.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，其中将所求角用已知角配凑成β=（α+β）﹣α，是解题的关键，属于较难题．
15．
【解析】
∵，，∴，，又因为，，∴，，
∴
，故答案为．
16．
【解析】
，，若，则均为钝角，不可能，故，的最大值为，故答案为.
17．
【解析】
，
令，平方得，
因为，所以，
所以，
解得，，．
故答案为.
18．（1）函数的单调递减区间为[]（k∈Z）;（2）;（3）或.
【解析】
【分析】
(1)由正余弦二倍角公式和正弦两角和公式对原式进行化简;然后利用正弦型函数的单调性求解;
(2)利用余弦二倍角公式化简,然后由诱导公式得,代入计算即可;
(3)由图像平移得函数,然后结合数形结合的思想将所求问题转化成函数与图像有一个交点来求解参数的取值范围.
【详解】
(1)由于，
令（k∈Z）,整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．
(2)由题意,则,即,
由,则
(3)由函数的图象向右平移个单位得到的图象,
由于,所以,则函数在上有唯一零点，即得函数与图像在上只有一个交点,所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点,则由或,解得或,
即当或时,函数在上有唯一零点.
【点睛】
本题是一道综合性的试题,考查了正余弦二倍角公式的应用,考查了三角函数和差公式的应用,考查了图像平移以及利用图像解决函数零点的问题,属于中档题.
19．（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）为圆的内接四边形可知，，，，由（1）结论原式可化为，连接、，设，由余弦定理即可求解.
【详解】
（1）证明.
（2）因为为圆的内接四边形，所以，，，，由此可知：



连接、，设，由余弦定理可得：
，，
，，
解得，，
那么，，
，.
所以原式.
【点睛】
本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题.
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）化简函数得到，根据周期为，计算得到答案.
（2）代入数据得到，计算得到，最后利用齐次式计算得到答案.
【详解】
（1）


由条件可得，所以，则
（2）
又

∴原式



【点睛】
本题考查了函数三角函数的解析式，三角恒等变换.其中齐次式方法是解题的关键，需要熟练掌握.
21．(1) ，，．（2）.
【解析】
【分析】
(1) 根据诱导公式，二倍角公式，辅助角公式把化为的形式，再根据复合函数单调性求解；(2)先根据变换关系得到函数解析式，所得函数的图象关于轴对称，则时，.
【详解】
(1)



当
即时，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为.
(2) 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，
纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，
所得函数为，
若图象关于轴对称，则，
即，解得，
又，则当时， 有最小值.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和图像的变换.关键在于化为的形式，三角函数的平移变换是易错点.
22．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式及辅助角公式，即可求得答案（2）由三角函数和差角的公式和二倍角公式，以及诱导公式逐步化简可得．
【详解】
（1）
.
（2）


.
【点睛】
本题主要考查了二倍角公式，三角函数的求值，涉及和差角的公式和二倍角公式，涉及转化思想，等式的恒等变形，属于中档题．













试卷第1页，总3页


试卷第1页，总3页