020春人教版八下数学同步精练19.1.1 变量与函数（打印版）
基础知识梳理练
1.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.
2.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
3.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
4.用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式.
5.确定自变量的取值范围时,不仅要考虑使函数关系式有意义,而且还要注意问题的实际意义.
教材要点分类练
知识点一 变量与常量
6.(40732293)某人要在规定的时间内加工100个零件,则下列工作效率η与时间t之间的关系中,下列说法正确的是(C)
A.数100和η,t都是变量
B.数100和η都是常量
C.η和t是变量
D.数100和t都是常量
7.(40732294)在三角形面积公式S=12ah中,当a=1 cm时,下列说法正确的是(C)
A.S,a是变量,12,h是常量
B.S,h是变量,12是常量
C.S,h是变量,12,a是常量
D.S,h,a是变量,12是常量
知识点二 自变量与函数
8.(40732295)下列解析式中,y不是x的函数的是(B)
A.y=2x-1 B.y2=x
C.y=-|x| D.y=x2-3
9.(40732296)下列说法正确的是(B)
A.变量x,y满足y2=x+5,则y是x的函数
B.变量x,y满足x+3y=1,则y是x的函数
C.代数式43πr3是它所含字母r的函数
D.在V=43πr3中,43是常量,r是自变量,V是r的函数
知识点三 函数值
10.(40732297)当x=0时,函数y=2x2+1的值是(A)
A.1 B.0 C.3 D.-1
11.(40732298)在函数y=xx-1中,自变量x的取值范围是x≥0且x≠1;当x=9时的函数值为38.
知识点四 函数的解析式
12.(40732299)长方形周长为50,设长为x,宽为y,则y与x的函数关系式为(C)
A.y=50-x
B.y=50-2x
C.y=25-x
D.y=25+2x
13.(40732300)一支铅笔是0.6元,小敏用5元买了x支铅笔,则余款y与x之间的关系式为(C)
A.y=0.6x
B.y=0.6x+5
C.y=5-0.6x
D.y=5x-0.6
知识点五 自变量的取值范围
14.(40732301)函数y=x-1x-2的自变量x的取值范围是(D)
A.x>1 B.x>1且x≠2
C.x≥1 D.x≥1且x≠2
15.(40732302)如图,数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围,则这个函数解析式可能为 (C)
A.y=x+2 B.y=x2+2
C.y=x+2 D.y=1x+2
能力提升创新练
16.(40732303)弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(单位:cm)与所挂的物体的质量x(单位:kg)间有下面的关系:
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
则下列说法不正确的是(B)
A.x与y都是变量,且x是自变量,y是函数
B.弹簧不挂重物时的长度为0 cm
C.物体质量每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm
D.所挂物体质量为7 kg时,弹簧的长度为13.5 cm
17.(40732304)婴儿在1到6个月生长发育得非常快,一个婴儿出生时的体重是3 000克,他的体重y(单位:克)与月龄x(单位:月)的关系如下:
x
1
2
3
4
y
3 700
4 400
5 100
5 800
则y与x的关系式为(B)
A.y=x+700 B.y=700x+3 000
C.y=2x+3 000 D.y=5 800-700x
18.(40732305)如图是一组有规律的图案,第(1)个图案由4个基础图形组成,第(2)个图案由7个基础图形组成,…,设第(n)(n是正整数)个图案是由y个基础图形组成的,则y与n之间的关系式是(D)
A.y=4n B.y=3n
C.y=6n D.y=3n+1
19.(40732306)已知直线m,n之间的距离是3,△ABC的顶点A在直线m上,边BC在直线n上,求△ABC的面积S与BC边的长x之间的关系式,并指出其中的变量和常量.
解:由题意可得S=32x,
变量是S,x,常量是32.
20.(40732307)海水受日月的引力而产生潮汐现象.早晨海水上涨叫做潮,黄昏海水上涨叫做汐,合称潮汐.潮汐与人类的生活有着密切的联系.某港口某天从0时到12时的水深情况如下表,其中T表示时刻,h表示水深.
T/时
0
3
6
9
12
h/米
5
7.4
5.1
2.6
4.5
上述问题中,字母T,h表示的是变量还是常量?简述你的理由.
解:字母T,h表示的是变量.因为水深h随着时间T的变化而变化.
21.(40732308)如图,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分的面积y cm2与MA的长度 x cm之间的关系式,并指出其中的常量与变量.
解:由题意知,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,两图形重合的长度为AM=x,
∵∠BAC=45°,
∴S阴影=12AM2=12x2,则y=12x2,0≤x≤10.
其中的常量为12,变量为y与x.
22.(40732309)行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还将继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”,为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140千米/时),对这种汽车进行测试,测得数据如下表:
刹车时车速/
(千米/时)
20
40
60
80
100
120
刹车距离/米
1.0
3.6
7.8
13.6
21
30
回答下列问题:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?
(2)如果刹车时车速为60千米/时,那么刹车距离是多少米?
解:(1)反映了刹车距离和刹车时车速之间的关系.
(2)根据表格可得,如果刹车时车速为60千米/时,那么刹车距离是7.8米.
23.(40732310)某市出租车车费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元;超过3 km的部分每千米收费1.6元.
(1)写出应收费y(单位:元)与出租车行驶路程x(单位:km)之间的关系式(其中x≥3);
(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付多少元?
(3)小波付车费16元,那么出租车行驶了多少千米?
解:(1)根据题意可得:y=8+(x-3)×1.6,
即y=1.6x+3.2(x≥3).
(2)x=4时,y=1.6x+3.2=1.6×4+3.2=9.6(元).
(3)y=16时,16=1.6x+3.2,解得x=8(千米).
中考考场必刷练
24.(40732311)(中考·荆门)在函数y=x-11-x中,自变量x的取值范围是(B)
A.x≥1 B.x>1
C.x<1 D.x≤1
25.(40732312)(中考·重庆)根据如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x的值是4或7时,输出的y的值相等,则b等于(C)
A.9 B.7 C.-9 D.-7
26.(40732313)(中考·甘南州)若函数y=x2+2(x≤2),2x(x>2),则当函数值y=8时,自变量x的值是(D)
A.±6 B.4
C.±6或4 D.4或-6
2020春人教版八下数学同步精练19.1.1 变量与函数（答案版）
基础知识梳理练
1.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.
2.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
3.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
4.用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式.
5.确定自变量的取值范围时,不仅要考虑使函数关系式有意义,而且还要注意问题的实际意义.
教材要点分类练
知识点一 变量与常量
6.(导学号:40732293)某人要在规定的时间内加工100个零件,则下列工作效率η与时间t之间的关系中,下列说法正确的是(C)
A.数100和η,t都是变量
B.数100和η都是常量
C.η和t是变量
D.数100和t都是常量
7.(导学号:40732294)在三角形面积公式S=12ah中,当a=1 cm时,下列说法正确的是(C)
A.S,a是变量,12,h是常量
B.S,h是变量,12是常量
C.S,h是变量,12,a是常量
D.S,h,a是变量,12是常量
知识点二 自变量与函数
8.(导学号:40732295)下列解析式中,y不是x的函数的是(B)
A.y=2x-1 B.y2=x
C.y=-|x| D.y=x2-3
9.(导学号:40732296)下列说法正确的是(B)
A.变量x,y满足y2=x+5,则y是x的函数
B.变量x,y满足x+3y=1,则y是x的函数
C.代数式43πr3是它所含字母r的函数
D.在V=43πr3中,43是常量,r是自变量,V是r的函数
知识点三 函数值
10.(导学号:40732297)当x=0时,函数y=2x2+1的值是(A)
A.1 B.0 C.3 D.-1
11.(导学号:40732298)在函数y=xx-1中,自变量x的取值范围是x≥0且x≠1;当x=9时的函数值为38.
知识点四 函数的解析式
12.(导学号:40732299)长方形周长为50,设长为x,宽为y,则y与x的函数关系式为(C)
A.y=50-x
B.y=50-2x
C.y=25-x
D.y=25+2x
13.(导学号:40732300)一支铅笔是0.6元,小敏用5元买了x支铅笔,则余款y与x之间的关系式为(C)
A.y=0.6x
B.y=0.6x+5
C.y=5-0.6x
D.y=5x-0.6
知识点五 自变量的取值范围
14.(导学号:40732301)函数y=x-1x-2的自变量x的取值范围是(D)
A.x>1 B.x>1且x≠2
C.x≥1 D.x≥1且x≠2
15.(导学号:40732302)如图,数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围,则这个函数解析式可能为 (C)
A.y=x+2 B.y=x2+2
C.y=x+2 D.y=1x+2
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16.(导学号:40732303)弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(单位:cm)与所挂的物体的质量x(单位:kg)间有下面的关系:
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
则下列说法不正确的是(B)
A.x与y都是变量,且x是自变量,y是函数
B.弹簧不挂重物时的长度为0 cm
C.物体质量每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm
D.所挂物体质量为7 kg时,弹簧的长度为13.5 cm
17.(导学号:40732304)婴儿在1到6个月生长发育得非常快,一个婴儿出生时的体重是3 000克,他的体重y(单位:克)与月龄x(单位:月)的关系如下:
x
1
2
3
4
y
3 700
4 400
5 100
5 800
则y与x的关系式为(B)
A.y=x+700 B.y=700x+3 000
C.y=2x+3 000 D.y=5 800-700x
18.(导学号:40732305)如图是一组有规律的图案,第(1)个图案由4个基础图形组成,第(2)个图案由7个基础图形组成,…,设第(n)(n是正整数)个图案是由y个基础图形组成的,则y与n之间的关系式是(D)
A.y=4n B.y=3n
C.y=6n D.y=3n+1
2020春人教版八下数学同步精练19.(导学号:40732306)已知直线m,n之间的距离是3,△ABC的顶点A在直线m上,边BC在直线n上,求△ABC的面积S与BC边的长x之间的关系式,并指出其中的变量和常量.
解:由题意可得S=32x,
变量是S,x,常量是32.
20.(导学号:40732307)海水受日月的引力而产生潮汐现象.早晨海水上涨叫做潮,黄昏海水上涨叫做汐,合称潮汐.潮汐与人类的生活有着密切的联系.某港口某天从0时到12时的水深情况如下表,其中T表示时刻,h表示水深.
T/时
0
3
6
9
12
h/米
5
7.4
5.1
2.6
4.5
上述问题中,字母T,h表示的是变量还是常量?简述你的理由.
解:字母T,h表示的是变量.因为水深h随着时间T的变化而变化.
21.(导学号:40732308)如图,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分的面积y cm2与MA的长度 x cm之间的关系式,并指出其中的常量与变量.
解:由题意知,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,两图形重合的长度为AM=x,
∵∠BAC=45°,
∴S阴影=12AM2=12x2,则y=12x2,0≤x≤10.
其中的常量为12,变量为y与x.
22.(导学号:40732309)行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还将继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”,为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140千米/时),对这种汽车进行测试,测得数据如下表:
刹车时车速/
(千米/时)
20
40
60
80
100
120
刹车距离/米
1.0
3.6
7.8
13.6
21
30
回答下列问题:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?
(2)如果刹车时车速为60千米/时,那么刹车距离是多少米?
解:(1)反映了刹车距离和刹车时车速之间的关系.
(2)根据表格可得,如果刹车时车速为60千米/时,那么刹车距离是7.8米.
23.(导学号:40732310)某市出租车车费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元;超过3 km的部分每千米收费1.6元.
(1)写出应收费y(单位:元)与出租车行驶路程x(单位:km)之间的关系式(其中x≥3);
(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付多少元?
(3)小波付车费16元,那么出租车行驶了多少千米?
解:(1)根据题意可得:y=8+(x-3)×1.6,
即y=1.6x+3.2(x≥3).
(2)x=4时,y=1.6x+3.2=1.6×4+3.2=9.6(元).
(3)y=16时,16=1.6x+3.2,解得x=8(千米).
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24.(导学号:40732311)(中考·荆门)在函数y=x-11-x中,自变量x的取值范围是(B)
A.x≥1 B.x>1
C.x<1 D.x≤1
25.(导学号:40732312)(中考·重庆)根据如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x的值是4或7时,输出的y的值相等,则b等于(C)
A.9 B.7 C.-9 D.-7
26.(导学号:40732313)(中考·甘南州)若函数y=x2+2(x≤2),2x(x>2),则当函数值y=8时,自变量x的值是(D)
A.±6 B.4
C.±6或4 D.4或-6
人教版八下数学 学霸笔记整理19.1.1 变量与函数
1.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.
2.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
3.用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式.
4.确定自变量的取值范围时,不仅要考虑使函数关系式有意义,而且还要注意问题的实际意义.
1.特别注意“π”是一个无理数,是固定的数值,是常量.
2.自变量是主动改变的量,而因变量是因为自变量的改变而改变,是被动改变的量.
3.函数值是唯一确定的,但对应的自变量可以是多个.且绝不可以同一个自变量对应两个不同的函数值.
1.规律方法:(1)求函数值的一般步骤是:
①代入;②计算求值;
(2)自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.通常有以下几种情况:
①当函数的解析式是整式时,自变量取全体实数.例如,在y=5x+13中,x可以取全体实数.
②当函数的解析式是分式时,自变量取值要使分式的分母不为零.例如,在y=x+2x-1中,x≠1.
③当函数的解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.例如,在x-1中,x≥1.
④当函数的解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数不为0.例如,在y=2x0和y=-3x-1中,x≠0.
⑤综合型,即函数的解析式是由整式、分式、二次根式等综合得到的代数式时,自变量的取值范围是使它们均有意义的公共部分.
⑥对于实际问题中的函数的解析式,自变量的取值除必须使函数的解析式有意义外,还要保证实际问题有意义.例如,人数必须是自然数,长度、面积和体积不能为负数等等.
2.解题技巧:变量和常量是相对的,并不是一成不变的.在一个过程中是常量,而在另一个过程则可能是变量.例如在某一运动过程中有关系式s=vt,当速度一定时,则速度v就是常量,而时间t和路程s则是变量;当时间一定时,则时间t是常量,而速度v和路程s则是变量;同样若路程一定,则路程s是常量,而时间t和速度v就是变量.
[典例精析]
【例1】 对于圆的周长公式C=2πR,下列说法正确的是( )
A.π,R是变量,2是常量
B.R是变量,C,π是常量
C.C是变量,2,π,R是常量
D.C,R是变量,2,π是常量
解析:改变的是C,R,这两个量是变量;不变的是2和π,这两个量是常量.故选D.
答案:D
解题总结:(1)判断一个量是不是变量,关键是看在某个变化过程中,这个量是否可以取不同的数值,即要抓住一个“变”字.
(2)常量的表现形式一般有两种:①是一个实数;②由问题中的已知条件给定.
【例2】 下列解析式中,y不是x的函数的是( )
A.y=-x B.|y|=2x
C.y=|3x| D.y=x2+1
解析:在选项B的关系式|y|=2x中,若 x=2,y就有2个值±4与其对应,所以y不是x的函数.故选B.
答案:B
解题总结:要判断一个关系式是不是函数,首先看这个变化过程中是否有两个变量,其次是看每一个x的值是否对应唯一确定的y值.
【例3】 写出下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=5x-1;(2)y=21-x;(3)y=4-x;(4)y=x-1+1x-4.
分析:根据所给的式子确定取值范围.
解:(1)∵函数的解析式是整式,∴字母的取值没有限制,为全体实数.
(2)∵函数的解析式是分式,∴分母1-x≠0,解得x≠1.
(3)∵函数的解析式是二次根式,∴被开方数4-x≥0,解得x≤4.
(4)由题意,得x-1≥0且x-4≠0.解得x≥1且x≠4.
解题总结:函数自变量的取值范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数的解析式是分式时,分式的分母不能为0;(3)当函数的解析式是二次根式时,被开方数为非负数.
