2020春人教版八下数学同步精练19.2.4 一次函数与方程、不等式（打印版）
基础知识梳理练
1.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.
2.因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0 (a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=kx+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.
3.一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.
4.由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解这样的方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
教材要点分类练
知识点一 一次函数与一元一次方程
5.(40732412)一次函数y=kx+b的图象如图所示,那么方程kx+b=0的解是(B)
A.x=1 B.x=2
C.x=3 D.x=-2
6.(40732413)已知方程12x+b=0的解是x=-2,下列可能为直线y=12x+b图象的是(C)
7.(40732414)一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为(A)
A.x=-1 B.x=2 C.x=0 D.x=3
第7题图
第8题图
8.(40732415)如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则方程 2x=ax+4的解为(A)
A.x=32 B.x=3
C.x=-32 D.x=-3
知识点二 一次函数与一元一次不等式
9.(40732416)如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点A(-2,4),则不等式kx+b>4的解集为(A)
A.x>-2 B.x<-2
C.x>4 D.x<4
第9题图
第10题图
10.(40732417)若函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+2b<0的解集为(D)
A.x<3 B.x>3
C.x<6 D.x>6
11.(40732418)如图,已知直线y1=ax+b与y2=mx+n相交于点A(2,-1),若y1>y2,则x的取值范围是(B)
A.x<2 B.x>2
C.x<-1 D.x>-1
第11题图
第12题图
12.(40732419)如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式-2A.-2C.-213.(40732420)如图,经过点B(-2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(-1,-2),4x+2A.x<-2 B.-2C.x<-1 D.x>-1
知识点三 一次函数与二元一次方程
14.(40732421)直线l是以二元一次方程8x-4y=5的解为坐标所构成的直线,则该直线不经过的象限是(B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
15.(40732422)直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的直线是(C)
知识点四 一次函数与二元一次方程组
16.(40732423)如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得,关于x,y的二元一次方程组y=ax+b,y=kx的解是(C)
A.x=3,y=-1 B.x=-3,y=-1
C.x=-3,y=1 D.x=3,y=1
17.(40732424)当用图象法解方程组x-2y=4,2x+y=4时,下图中正确的是(C)
18.(40732425)方程组x+y=2,2x+2y=3没有解,因此直线y=-x+2和直线y=-x+32在同一直角坐标系中的位置关系是(B)
A.重合
B.平行
C.相交
D.以上三种情况都有可能
能力提升创新练
19.(40732426)如图,已知直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P,点P的横坐标为-1,则关于x的不等式x+b≤kx-1的解集在数轴上表示正确的是(D)
20.(40732427)已知一次函数y=kx+1与y=-12x+b的图象相交于点(2,5),求关于x的方程kx+b=0的解.
解:∵一次函数y=kx+1与y=-12x+b的图象相交于点(2,5),
∴5=2k+1,5=-12×2+b,解得k=2,b=6.
则kx+b=0为2x+6=0,解得x=-3.
21.(40732428)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,点A,B在直线l上.根据图象回答下列问题:
(1)写出方程kx+b=0的解;
(2)写出不等式kx+b>1的解集;
(3)若直线l上的点P(m,n)在线段AB上移动,则m,n应如何取值?
解:函数与x轴的交点A坐标为(-2,0),与y轴的交点的坐标为(0,1),且y随x的增大而增大.
(1)函数经过点(-2,0),则方程kx+b=0的解是x=-2.
(2)函数经过点(0,1),则当x>0时,有kx+b>1,
即不等式kx+b>1的解集是x>0.
(3)线段AB的自变量的取值范围是-2≤x≤2,
函数值y的范围是0≤y≤2, 即-2≤m≤2,0≤n≤2.
22.(40732429)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).
(1)求b的值;
(2)不解关于x,y的方程组y=x+1,y=mx+n,请你直接写出它的解;
(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.
解:(1)把P(1,b)代入y=x+1,得b=1+1=2.
(2)由(1)得P(1,2),
∴方程组y=x+1,y=mx+n的解为x=1,y=2.
(3)直线l3:y=nx+m经过点P.理由如下:
∵y=mx+n经过点P(1,2),
∴m+n=2.∴直线y=nx+m也经过P点.
23.(40732430)如图,根据图中信息解答下列问题:
(1)关于x的不等式mx+n<1的解集是x<0;
(2)关于x的不等式ax+b>0的解集是x<4;
(3)当x为何值时,y1≤y2?
(4)当x为何值时,0(3)由一次函数的图象知,两条直线的交点坐标是(2,1.8),所以当x≤2时,y1≤y2.
(4)由图象知当224.(40732431)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5),且与函数y=12x+1的图象相交于点A83,a.
(1)求a的值;
(2)求不等式组0(3)若函数y=kx+b的图象与x轴的交点是B,函数y=12x+1的图象与y轴的交点是C,求四边形ABOC的面积.
解:(1)把83,a代入解析式y=12x+1,得a=73.
(2)∵一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5),A83,73,
∴-k+b=-5,83k+b=73,解得k=2,b=-3.
∴0<2x-3<12x+1,解得32∴正整数解为x=2.
(3)直线 y=2x-3与x轴交于点B32,0,
直线y=12x+1与y轴交于点C(0,1),
∴S四边形ABOC=S△AOB+S△AOC=12×32×73+12×1×83=3712.
中考考场必刷练
25.(40732432)(中考·呼和浩特)若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-12x+b-1上,则常数b=(B)
A.12 B.2 C.-1 D.1
26.(40732433)(中考·邵阳)如图所示,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2,0),与y轴相交于点(0,4),结合图象可知,关于x的方程ax+b=0的解是x=2.
第26题图
第27题图
27.(40732434)(中考·锦州)如图,直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为(1,-3),则关于x的不等式-x+a1.
2020春人教版八下数学同步精练19.2.4 一次函数与方程、不等式（答案版）
基础知识梳理练
1.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.
2.因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0 (a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=kx+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.
3.一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.
4.由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解这样的方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
教材要点分类练
知识点一 一次函数与一元一次方程
5.(导学号:40732412)一次函数y=kx+b的图象如图所示,那么方程kx+b=0的解是(B)
A.x=1 B.x=2
C.x=3 D.x=-2
6.(导学号:40732413)已知方程12x+b=0的解是x=-2,下列可能为直线y=12x+b图象的是(C)
7.(导学号:40732414)一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为(A)
A.x=-1 B.x=2 C.x=0 D.x=3
第7题图
第8题图
8.(导学号:40732415)如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则方程 2x=ax+4的解为(A)
A.x=32 B.x=3
C.x=-32 D.x=-3
知识点二 一次函数与一元一次不等式
9.(导学号:40732416)如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点A(-2,4),则不等式kx+b>4的解集为(A)
A.x>-2 B.x<-2
C.x>4 D.x<4
第9题图
第10题图
10.(导学号:40732417)若函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+2b<0的解集为(D)
A.x<3 B.x>3
C.x<6 D.x>6
11.(导学号:40732418)如图,已知直线y1=ax+b与y2=mx+n相交于点A(2,-1),若y1>y2,则x的取值范围是(B)
A.x<2 B.x>2
C.x<-1 D.x>-1
第11题图
第12题图
12.(导学号:40732419)如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式-2A.-2C.-213.(导学号:40732420)如图,经过点B(-2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(-1,-2),4x+2A.x<-2 B.-2C.x<-1 D.x>-1
知识点三 一次函数与二元一次方程
14.(导学号:40732421)直线l是以二元一次方程8x-4y=5的解为坐标所构成的直线,则该直线不经过的象限是(B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
15.(导学号:40732422)直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的直线是(C)
知识点四 一次函数与二元一次方程组
16.(导学号:40732423)如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得,关于x,y的二元一次方程组y=ax+b,y=kx的解是(C)
A.x=3,y=-1 B.x=-3,y=-1
C.x=-3,y=1 D.x=3,y=1
17.(导学号:40732424)当用图象法解方程组x-2y=4,2x+y=4时,下图中正确的是(C)
18.(导学号:40732425)方程组x+y=2,2x+2y=3没有解,因此直线y=-x+2和直线y=-x+32在同一直角坐标系中的位置关系是(B)
A.重合
B.平行
C.相交
D.以上三种情况都有可能
能力提升创新练
2020春人教版八下数学同步精练19.(导学号:40732426)如图,已知直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P,点P的横坐标为-1,则关于x的不等式x+b≤kx-1的解集在数轴上表示正确的是(D)
20.(导学号:40732427)已知一次函数y=kx+1与y=-12x+b的图象相交于点(2,5),求关于x的方程kx+b=0的解.
解:∵一次函数y=kx+1与y=-12x+b的图象相交于点(2,5),
∴5=2k+1,5=-12×2+b,解得k=2,b=6.
则kx+b=0为2x+6=0,解得x=-3.
21.(导学号:40732428)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,点A,B在直线l上.根据图象回答下列问题:
(1)写出方程kx+b=0的解;
(2)写出不等式kx+b>1的解集;
(3)若直线l上的点P(m,n)在线段AB上移动,则m,n应如何取值?
解:函数与x轴的交点A坐标为(-2,0),与y轴的交点的坐标为(0,1),且y随x的增大而增大.
(1)函数经过点(-2,0),则方程kx+b=0的解是x=-2.
(2)函数经过点(0,1),则当x>0时,有kx+b>1,
即不等式kx+b>1的解集是x>0.
(3)线段AB的自变量的取值范围是-2≤x≤2,
函数值y的范围是0≤y≤2, 即-2≤m≤2,0≤n≤2.
22.(导学号:40732429)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).
(1)求b的值;
(2)不解关于x,y的方程组y=x+1,y=mx+n,请你直接写出它的解;
(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.
解:(1)把P(1,b)代入y=x+1,得b=1+1=2.
(2)由(1)得P(1,2),
∴方程组y=x+1,y=mx+n的解为x=1,y=2.
(3)直线l3:y=nx+m经过点P.理由如下:
∵y=mx+n经过点P(1,2),
∴m+n=2.∴直线y=nx+m也经过P点.
23.(导学号:40732430)如图,根据图中信息解答下列问题:
(1)关于x的不等式mx+n<1的解集是x<0;
(2)关于x的不等式ax+b>0的解集是x<4;
(3)当x为何值时,y1≤y2?
(4)当x为何值时,0(3)由一次函数的图象知,两条直线的交点坐标是(2,1.8),所以当x≤2时,y1≤y2.
(4)由图象知当224.(导学号:40732431)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5),且与函数y=12x+1的图象相交于点A83,a.
(1)求a的值;
(2)求不等式组0(3)若函数y=kx+b的图象与x轴的交点是B,函数y=12x+1的图象与y轴的交点是C,求四边形ABOC的面积.
解:(1)把83,a代入解析式y=12x+1,得a=73.
(2)∵一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5),A83,73,
∴-k+b=-5,83k+b=73,解得k=2,b=-3.
∴0<2x-3<12x+1,解得32∴正整数解为x=2.
(3)直线 y=2x-3与x轴交于点B32,0,
直线y=12x+1与y轴交于点C(0,1),
∴S四边形ABOC=S△AOB+S△AOC=12×32×73+12×1×83=3712.
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25.(导学号:40732432)(中考·呼和浩特)若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-12x+b-1上,则常数b=(B)
A.12 B.2 C.-1 D.1
26.(导学号:40732433)(中考·邵阳)如图所示,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2,0),与y轴相交于点(0,4),结合图象可知,关于x的方程ax+b=0的解是x=2.
第26题图
第27题图
27.(导学号:40732434)(中考·锦州)如图,直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为(1,-3),则关于x的不等式-x+a1.
人教版八下数学 学霸笔记整理19.2.3 一次函数与方程、不等式
1.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数 y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.
2.因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0 (a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于当某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.
3.一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这样直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.
4.由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解这样方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
1.解关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)可以转化为:已知函数y=kx+b的函数值为0,求相应的自变量x的值.从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴的交点的横坐标.
2.用图象法求解问题,作图要准确.
1.规律方法:(1)根据图象求关于x的不等式kx+b>mx+n的解的方法:
①求当自变量x取何值时,直线y=(k-m)x+b-n上的点在x轴的上方;
②求当x取何值时,直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方.
特别说明:不等号为“<”时,道理类似.
(2)用图象法解二元一次方程组的一般步骤:
①先把方程组中的两个二元一次方程转化成一次函数的形式;
②建立平面直角坐标系,画出这两个一次函数的图象;
③写出这两条直线的交点的横、纵坐标,从而得出二元一次方程组的近似解(横坐标为x,纵坐标为y).
2.解题技巧:(1)在直角坐标系中,以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点的集合组成的图象就是一次函数y=kx+b的图象.
(2)由于两条直线的交点坐标是由这两条直线的解析式所组成的二元一次方程组的解,所以求两条直线的交点坐标时,通常把两个一次函数的解析式联立成二元一次方程组,通过解方程组求得.
[典例精析]
【例1】 如图,已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P,根据图象可得方程组x-y=2,2x+y=1的解是( )
A.x=1,y=1 B.x=-1,y=-1
C.x=1,y=-1 D.x=-1,y=1
解析:由y=x-2,得x-y=2;由y=-2x+1,得2x+y=1.由图象可知:函数y=x-2和y=-2x+1的图象的交点P的坐标是(1,-1).
∴方程组x-y=2,2x+y=1的解是x=1,y=-1.故选C.
答案:C
解题总结:二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解,即两条直线的交点坐标.
【例2】 如图,直线y=kx+b经过点A(-1,-2)和点B(-2,0),直线y=2x经过点A,则2xA.x<-2 B.-2C.-2解析:2x答案:B
解题总结:解决此类问题关键是仔细观察图形,注意几个关键点(两直线的交点,直线与坐标轴的交点、原点等),数形结合求解即可.
