人教版八年级下册数学16.3 二次根式的加减（培优）同步练习题（解析版）

16.3 二次根式的加减（培优）同步练习题
一．选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．2+3＝5 B．÷＝2 C．5×5＝5 D．＝2
2．若最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　）
A． B． C．x＝1 D．x＝﹣1
3．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（　　）
A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）
4．若（b为整数），则a的值可以是（　　）
A． B．27 C．24 D．20
5．下列运算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．＝2
C．﹣＝ D．＝2﹣
6．计算3﹣6+的结果是（　　）
A．﹣ B．﹣5 C．3﹣ D．﹣
7．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．计算的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．1
9．下列根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是三个不同的实数，则的值是（　　）
A．3 B． C．2 D．
二．填空题（共8小题）
11．化简：＝　 　．
12．计算的结果是　 　．
13．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣y2＝　 　．
14．化简：﹣3的结果是　 　．
15．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝　 　．
16．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为　 　cm3．
17．计算：＝　 　．
18．把+进行化简，得到的最简结果是　 　（结果保留根号）．
三．解答题（共8小题）
19．计算：×﹣（+）（﹣）


20．化简求值：，其中x＝4，y＝．



21．化简：．




22．已知长方形的长a＝，宽b＝．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．



23．观察下列各式：；；…，
请你猜想：
（1）＝　 　，＝　 　．
（2）计算（请写出推导过程）：
（3）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来　 　．


24．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：a+b＝m2+2n2+2mn，所以a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b的式子化为平方式的方法．
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　
（2）若a+4＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．


25．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a＝＝＝2﹣
∴a﹣2＝﹣
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简+++…+
（2）若a＝求4a2﹣8a+1的值．

26．阅读材料：
；
；

…
按照上述式子变形的思路求：
（1）；
（2）（n为正整数）
（3）根据你发现的规律，请计算：．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．2+3＝5 B．÷＝2 C．5×5＝5 D．＝2
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．
【解答】解：A、2与3不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝2，所以B选项正确；
C、原式＝25＝25，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：B．
2．若最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　）
A． B． C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，即可求出结果．
【解答】解：由题意得：1+x＝4﹣2x，
解得：x＝1．
故选：C．
3．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（　　）
A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）
【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知根号和绝对值里数的取值．
【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0
∴+|a+b﹣c|＝b+c﹣a+a+b﹣c＝2b．
故选：B．
4．若（b为整数），则a的值可以是（　　）
A． B．27 C．24 D．20
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：+＝3+＝b
当a＝20时，
∴＝2，
∴b＝5，符合题意，
故选：D．
5．下列运算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．＝2
C．﹣＝ D．＝2﹣
【分析】根据二次根式的加减法对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、＝，故本选项错误；
C、﹣＝2﹣＝，故本选项正确；
D、＝﹣2，故本选项错误．
故选：C．
6．计算3﹣6+的结果是（　　）
A．﹣ B．﹣5 C．3﹣ D．﹣
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝﹣3+2
＝﹣．
故选：A．
7．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；
根据二次根式的乘法法则对B进行判断；
根据平方差公式对C进行判断；
根据完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：A、2与3不是同类二次根式，不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝×+×＝+，所以B选项错误；
C、原式＝9﹣12＝﹣3，所以C选项正确；
D、原式＝2a+2+b，所以D选项错误．
故选：C．
8．计算的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．1
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝x﹣（x﹣1）
＝1．
故选：D．
9．下列根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】化简后，各选项根据同类二次根式的定义判断．
【解答】解：∵＝2，∴下列选项中的被开方数是6的才符合题意．
A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；故本选项错误；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；故本选项错误；
C、与被开方数不同，故不是同类二次根式；故本选项错误；
D、与被开方数相同，故是同类二次根式；故本选项正确；
故选：D．
10．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是三个不同的实数，则的值是（　　）
A．3 B． C．2 D．
【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a＝0，代入即可求出y＝﹣x，把y＝﹣x代入原式即可求出答案．
【解答】解：由于根号下的数要是非负数，
∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，
a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，
a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
﹣＝0，
所以有x＝﹣y，
即：y＝﹣x，
由于x，y，a是三个不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x＝﹣y代入原式得：
原式＝＝．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．化简：＝　1　．
【分析】利用平方差公式的形式进行化简计算，即可得出答案．
【解答】解：原式＝﹣12＝1．
故答案为：1．
12．计算的结果是　　．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
13．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣y2＝　　．
【分析】先分解因式，再代入比较简便．
【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4．
14．化简：﹣3的结果是　　．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝2﹣＝．
故答案为：．
15．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝　1　．
【分析】根据同类二次根式的定义建立关于a的方程，求出a的值．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴1+a＝4a﹣2，
解得a＝1．
故答案为1．
16．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为　12　cm3．
【分析】首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解．
【解答】解：依题意得，正方体的体积为：
2××＝12cm3．
故答案为：12．
17．计算：＝　﹣5　．
【分析】先把括号里的二次根式化简，合并，再做二次根式的除法运算．
【解答】解：原式＝（4﹣9）＝﹣5＝﹣5．
18．把+进行化简，得到的最简结果是　2　（结果保留根号）．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．
【解答】解：原式＝+
＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
19．计算：×﹣（+）（﹣）
【分析】先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算得到原式＝﹣（5﹣3），然后化简后进行减法运算．
【解答】解：原式＝﹣（5﹣3）
＝3﹣2
＝1．
20．化简求值：，其中x＝4，y＝．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝+2﹣+
＝+3，
当x＝4，y＝时，原式＝+3×＝1+1＝2．
21．化简：．
【分析】利用二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式＝﹣﹣
＝6﹣6﹣
＝6﹣7．
22．已知长方形的长a＝，宽b＝．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【分析】首先化简a＝＝2，b＝＝．
（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
【解答】解：a＝＝2，b＝＝．
（1）长方形的周长＝（2+）×2＝6；
（2）正方形的周长＝4＝8，
∵6＝.8＝，
∵＞
∴6＞8．
23．观察下列各式：；；…，
请你猜想：
（1）＝　5　，＝　6　．
（2）计算（请写出推导过程）：
（3）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来　　．
【分析】认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积．
【解答】解：（1），；
（2）；
（3）（n≥1）．
24．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：a+b＝m2+2n2+2mn，所以a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b的式子化为平方式的方法．
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　
（2）若a+4＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．
【分析】（1）利用完全平方公式把（m+n）2展开即可得到a、b的值；
（2）利用（1）中结论得到a＝m2+3n2，2mn＝4，即mn＝2，利用有理数的整除性确定m和n的值，然后计算a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
所以a＝m2+3n2，b＝2mn；
故答案为m2+3n2，2mn；
（2）由（1）得a＝m2+3n2，2mn＝4，
而a、b、m、n均为正整数，
所以m＝2，n＝1或m＝1，n＝2．
所以当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7．
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13．
25．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a＝＝＝2﹣
∴a﹣2＝﹣
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简+++…+
（2）若a＝求4a2﹣8a+1的值．
【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）首先化简a，然后把所求的式子化成4（a﹣1）2﹣3代入求解即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣1＝10﹣1＝9；
（2）a＝+1，
则原式＝4（a2﹣2a+1）﹣3＝4（a﹣1）2﹣3
当a＝+1时，原式＝4×（）2﹣3＝5．
26．阅读材料：
；
；

…
按照上述式子变形的思路求：
（1）；
（2）（n为正整数）
（3）根据你发现的规律，请计算：．
【分析】（1）根据已知提供的信息，把代数式的分子分母同时乘以即可；
（2）把代数式的分子分母同时乘以即可；
（3）根据（2）中规律进行变形化简即可．
【解答】（1）＝＝；
（2）＝＝；
（3）（+++…++）（1+）
＝（﹣1++…+﹣+）×（1+）
＝（）×（1+）
＝2011﹣1
＝2010．