北师大版七年级数学下册：1.5 平方差公式培优同步练习（解析版）

北师大版七年级下册：1.5 平方差公式同步练习
一．选择题（共12小题）
1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（　　）
A．8 B．3 C．﹣3 D．10
2．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）
3．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
4．下列各式中能用平方差公式是（　　）
A．（x+y）（y+x） B．（x+y）（y﹣x）
C．（x+y）（﹣y﹣x） D．（﹣x+y）（y﹣x）
5．（﹣5a2+4b2）（　　）＝25a4﹣16b4，括号内应填（　　）
A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2
6．字母表达式x﹣y2的意义为（　　）
A．x与y的平方差 B．x与y的相反数的平方差
C．x与y的差的平方 D．x与y的平方的差
7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
8．若M?（3X﹣Y2）＝Y4﹣9X2，那么代数式M应该是（　　）
A．﹣（3X+Y2） B．﹣Y2+3X C．3X+Y2 D．3X﹣Y2
9．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（　　）

A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
10．若a﹣b＝3，a2﹣b2＝﹣9，则a+b的值为（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
11．代数式（m﹣2）（m+2）（m2+4）﹣（m4﹣16）的结果为（　　）
A．0 B．4m C．﹣4m D．2m4
12．如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
二．填空题（共8小题）
13．计算2019×2017﹣20182＝　 　．
14．计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝　 　．
15．计算（1+x）（x﹣1）（x2+1）的结果是　 　．
16．化简（x+y）（x﹣y）＝　 　．
17．若a2﹣b2＝80，a+b＝10，则a﹣b＝　 　．
18．在①（2x+3y）（2y﹣3x）；②（2x﹣3y）（3y+2x）；③（﹣2x+3y）（2x﹣3y）；④（﹣2x﹣3y）（﹣3y+2x）；⑤（﹣2x+3y）（3y﹣2x）中，能用平方差公式计算的是　 　．（填编号）
19．计算（x﹣y）（﹣y﹣x）的结果是　 　．
20．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为　 　．

三．解答题（共6小题）
21．运用乘法公式计算：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）．


22．1001×999﹣9992


23．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．

24．化简：（﹣x+y）（﹣x﹣y）



25．【观察】
51×49＝（）2﹣（）2
102×98＝（）2﹣（）2
2001×1999＝（）2﹣（）2
【发现】根据阅读回答问题
（1）请根据上面式子的规律填空：
998×1002＝　 　2﹣　 　2
（2）在上述乘法运算中，设第一个因数为m，第二个因数为n，请用有m、n的符号语言写出你所发现的规律，并证明．
【应用】请运用【发现】中总结的规律计算：59.8×60.2



26．如图1，在一个边长为a的正方形木板上锯掉一个边长为b的正方形，并把余下的部分沿虚线剪开拼成图2的形状．
（1）请用两种方法表示阴影部分的面积：
图1得：　 　；图2得　 　；
（2）由图1与图2面积关系，可以得到一个等式：　 　；
（3）利用（2）中的等式，已知a2﹣b2＝16，且a+b＝8，则a﹣b＝　 　．




参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（　　）
A．8 B．3 C．﹣3 D．10
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3．
故选：C．
2．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：（2x﹣3y）（3y﹣2x）不能利用平方差公式计算，
故选：A．
3．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
4．下列各式中能用平方差公式是（　　）
A．（x+y）（y+x） B．（x+y）（y﹣x）
C．（x+y）（﹣y﹣x） D．（﹣x+y）（y﹣x）
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：能用平方差公式是（x+y）（y﹣x）＝y2﹣x2，
故选：B．
5．（﹣5a2+4b2）（　　）＝25a4﹣16b4，括号内应填（　　）
A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2
【分析】根据平方差公式的逆用找出这两个数写出即可．
【解答】解：∵（﹣5a2+4b2）（﹣5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4，
∴应填：﹣5a2﹣4b2．
故选：C．
6．字母表达式x﹣y2的意义为（　　）
A．x与y的平方差 B．x与y的相反数的平方差
C．x与y的差的平方 D．x与y的平方的差
【分析】x2可叙述为x的平方，y2可叙述为y的平方，所以字母表达式x﹣y2的意义为x与y的平方的差．
【解答】解：字母表达式x﹣y2的意义为x与y的平方的差．
故选：D．
7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
8．若M?（3X﹣Y2）＝Y4﹣9X2，那么代数式M应该是（　　）
A．﹣（3X+Y2） B．﹣Y2+3X C．3X+Y2 D．3X﹣Y2
【分析】根据整式的除法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：M＝（Y4﹣9X2）÷（3X﹣Y2），
＝（Y2﹣3X）（Y2+3X）÷（3X﹣Y2）
＝﹣（Y2+3X），
故选：A．
9．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（　　）

A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【分析】由图1可知剩余部分的面积，由图2可求长方形的面积，两部分面积相等即可求解．
【解答】解：由图1可知剩余部分的面积＝a2﹣b2，
由图2可求长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
10．若a﹣b＝3，a2﹣b2＝﹣9，则a+b的值为（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用平方差公式解答．
【解答】解：∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝﹣9，
∴（a+b）（a﹣b）＝3（a+b）＝﹣9，
∴a+b＝﹣3．
故选：D．
11．代数式（m﹣2）（m+2）（m2+4）﹣（m4﹣16）的结果为（　　）
A．0 B．4m C．﹣4m D．2m4
【分析】根据平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算．
【解答】解：（m﹣2）（m+2）（m2+4）﹣（m4﹣16）
＝（m2﹣4）（m2+4）﹣（m4﹣16）
＝（m4﹣16）﹣（m4﹣16）
＝0．
故选：A．
12．如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．
【解答】解：左边阴影面积为a2﹣b2
右边梯形面积为
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故选：A．
二．填空题（共8小题）
13．计算2019×2017﹣20182＝　﹣1　．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：2019×2017﹣20182
＝（2018+1）×（2018﹣1）﹣20182
＝20182﹣1﹣20182
＝﹣1．
故答案为：﹣1
14．计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝　9y2﹣4x2　．
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）
＝（﹣3y）2﹣（2x）2
＝9y2﹣4x2．
故答案为：9y2﹣4x2
15．计算（1+x）（x﹣1）（x2+1）的结果是　x4﹣1　．
【分析】根据平方差公式化简然后计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）（x2+1）
＝（x2﹣1）（x2+1）
＝x4﹣1，
故答案为：x4﹣1．
16．化简（x+y）（x﹣y）＝　x2﹣y2　．
【分析】根据平方差公式求出即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
故答案为：x2﹣y2．
17．若a2﹣b2＝80，a+b＝10，则a﹣b＝　8　．
【分析】先根据平方差公式进行变形，再求出a﹣b即可．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝80，a+b＝10，
∴a﹣b＝＝8，
故答案为：8．
18．在①（2x+3y）（2y﹣3x）；②（2x﹣3y）（3y+2x）；③（﹣2x+3y）（2x﹣3y）；④（﹣2x﹣3y）（﹣3y+2x）；⑤（﹣2x+3y）（3y﹣2x）中，能用平方差公式计算的是　②④　．（填编号）
【分析】本题主要考察平方差公式，形如：（a+b）（a﹣b）＝{a}^{2}\;\dollar +b2
可知：②④符合平方差公式形式
故答案为：②④．
19．计算（x﹣y）（﹣y﹣x）的结果是　y2﹣x2　．
【分析】相同的项是﹣y，相反的项是x、﹣x，利用平方差公式求解即可．
【解答】解：（x﹣y）（﹣y﹣x）＝（﹣y）2﹣x2＝y2﹣x2．
20．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为　（8m+12）　．

【分析】先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出长方形的长，即可求出答案．
【解答】解：∵（2m+3）2＝4m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，
∴长方形的长为：[4m2+12m+9﹣（m+3）2]÷m＝3m+6．
∴这个长方形的周长为：2（3m+6+m）＝8m+12．
故答案为：（8m+12）．
三．解答题（共6小题）
21．运用乘法公式计算：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）．
【分析】分别根据平方差公式以及多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可．
【解答】解：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）
＝（2x）2﹣1﹣（4x2+3x﹣24x﹣18）
＝4x4﹣1﹣4x2﹣3x+24x+18
＝21x+17．
22．1001×999﹣9992
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：原式＝（1000+1）（1000﹣1）﹣9992
＝10002﹣1﹣9992
＝（1000+999）（1000﹣999）﹣1
＝1999﹣1
＝1998．
23．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　3　．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．

【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
【应用】
（1）利用平方差公式得出（2m+n）?（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
【解答】解：
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）?（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝5050
24．化简：（﹣x+y）（﹣x﹣y）
【分析】原式利用平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2﹣y2．
25．【观察】
51×49＝（）2﹣（）2
102×98＝（）2﹣（）2
2001×1999＝（）2﹣（）2
【发现】根据阅读回答问题
（1）请根据上面式子的规律填空：
998×1002＝　（）　2﹣　（）　2
（2）在上述乘法运算中，设第一个因数为m，第二个因数为n，请用有m、n的符号语言写出你所发现的规律，并证明．
【应用】请运用【发现】中总结的规律计算：59.8×60.2
【分析】【发现】（1）根据规律解答即可；
（2）规律：，根据完全平方公式证明即可；
【应用】根据规律计算59.8×60.2即可．
【解答】解：【发现】（1）998×1002＝﹣，
故答案为：（），（）；

（2）规律：，
证明：右边＝
＝
＝
＝mn
＝左边，
∴；

【应用】59.8×60.2
＝
＝602﹣0.22
＝3600﹣0.04
＝3599.96．
26．如图1，在一个边长为a的正方形木板上锯掉一个边长为b的正方形，并把余下的部分沿虚线剪开拼成图2的形状．
（1）请用两种方法表示阴影部分的面积：
图1得：　a2﹣b2　；图2得　（a+b）（a﹣b）　；
（2）由图1与图2面积关系，可以得到一个等式：　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　；
（3）利用（2）中的等式，已知a2﹣b2＝16，且a+b＝8，则a﹣b＝　2　．

【分析】（1）依据阴影部分的形状，即可得到面积的表达式；
（2）依据图中阴影部分的面积相等，即可得到等式；
（3）依据平方差公式进行计算，即可得出结论．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图2中阴影部分的面积为：（2b+2a）（a﹣b），即（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由图1与图2面积关系，可以得到一个等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）∵a2﹣b2＝16，且a+b＝8，
∴（a+b）（a﹣b）＝16，
即8（a﹣b）＝16，
∴a﹣b＝2．
故答案为：2．