北师大版九年级数学下册3.4圆周角和圆心角的关系第一课时 课件（25张ppt）

(共25张PPT)
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3.4 圆周角和圆心角的关系
北师大版初中数学九年级下册第三章《圆》
第一课时 课件

一、教学目标及教学重难点：
1、教学目标：
知识目标：理解圆周角的概念，掌握圆周角和圆心角之间的关系，并会运用它进行有关的证明和运算.
能力目标：经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力；通过渗透分类讨论、转化、归纳等数学思想方法，培养学生的探究意识和探索新知识的能力.
情感目标：在探索圆周角和圆心角关系的过程中，引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
2、教学重点：本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得本节课的教学的重点是理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.
3、教学难点：圆周角和圆心角关系定理的证明.
二、学情分析：
学生已经了解圆中的基本概念，会判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质，熟练掌握了三角形外角和定理．初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法．因此，本节课设计了自学和探究活动，给学生提供自主探索与交流的空间，体现知识的形成过程．

三、教学过程：
巧设情境 激发兴趣
在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与所处的位置B对球门AC的张角有关。如图，运动员在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练。如图，当他站在B，D，E的位置射球时,哪个位置更容易进球？
















A
B
C
D
E
思考：图中的∠ABC的顶点各在圆的什么位置？∠ABC的两边和圆是什么关系？
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
A

.
O
B
C


.
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？



.
.
A
O
B
C
A

.
O
B
C


.
讲授新课 探究新知
探究（一）圆周角的定义


B
A
C

















A
B
C
D
E

●O
观察图中的∠ABC ,它的顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角,叫做圆周角.
⑵角的两边分别和圆相交
●
注意：
⑴顶点在圆上


●
●
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?
【自测1】请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？

















图１
图２
图３
图４
图５
【自测2】指出图中的圆周角.



A







O
B
C
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
×
×
√
×
×
【自我检测】
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.
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探究（二）圆周角和圆心角的关系
活动（一）
做一做
请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。


A
C
O

请你动手画出⊙0中弧AC所对的圆心角和圆周角，观察弧AC所对的圆周角有几个？它们的大小有什么关系？
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
说说你的想法,并与同伴交流.
提示:注意圆心与圆周角的位置关系.



A
B
C

●O



A
B
C


●O

●O



A
B
C



圆心在圆周角的一边上
圆心在圆周角的内部
圆心在圆周角的外部
改变圆心角∠AOC的度数，你得到的结论还成立吗？
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，

●O



A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
活动（二）
议一议
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
老师提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:

●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗?



A
B
C


D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
老师提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:

●O
∴∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗?

D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,



A
B
C

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

●O



A
B
C


●O



A
B
C

●O



A
B
C

即∠ABC= ∠AOC.

D

D
圆心在角的边
圆心在角
圆心在角
上
内
外
定理：
B
A
O

.



70°

x

【自测3】求圆中角x的度数
C
A
O

.





x
120°

A
O

.





120°

C
D
B
【自我检测】
【自测4】如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ADB、∠ACB的度数？
【自我检测】
探究（三）圆周角和圆心角的关系
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成的圆周角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
















A
B
C
D
E
圆上一条弧所对的圆周角能做出几个？它们之间有什么关系？
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。

【自测5】试找出下图中所有相等的圆周角。







A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠2=∠7
∠1=∠4
∠3=∠6
∠5=∠8
【自我检测】
例1.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.则∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？







O
C
A
B




1
2
3
4

解： ∵∠1= ∠3
∠2= ∠4
∠3=2∠4

1
2
__
1
2
__
即∠ACB=2∠BAC
∴∠1=2∠2
答：∠ACB=2∠BAC.






自主学习 合作探究
活动（三）
堂堂测
思考：例2、圆中一条弦所对的圆周角有几个，它们都相等吗？
计算:(1)等于半径的弦对的圆周角 .
(2)半径为R的圆中，有一条弦分圆周成1:2两部分，则弦所对的圆周角的度数是＿＿。
【延伸拓展】


达标检测 及时反馈
1、如图，△ABC内接于⊙O，∠BOC=130°，则∠A的度数为（ ）.
2、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，∠ACB=75°，则∠BOC的度数为（ ）.

3、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
4、如图3，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．
5、如图5，⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°，则 ∠DCF=＿＿ ．

图1
图2
6、拓展练习：
（1）如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，
如果：∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ACB=2∠BAC
（2）如果∠AOC=100°，则∠ABC=（ ）.
（3）如果点A、B、C在⊙O中，∠CAB=25°，∠ACB=30°,求弦AC所对圆周角的度数.
课堂小结 知识内化
1、什么是圆周角？它和圆心角有什么不同？
2、圆周角和圆心有几种位置关系？
3、圆周角和圆心角的关系定理是什么？它使用的前提条件是什么？
4、你是如何证明圆周角和圆心角之间的关系的？证明过程中用了哪些数学方法呢？
5、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.

布置作业 巩固提高
必做题：教材第80至81页第1、2题

选做题：探讨“在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角的关系”。