2020春人教版八下数学同步精练20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析（答案版）
基础知识梳理练
1.设有n个数据x1,x2,…,xn,各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2,…,(xn-x)2,我们用这些值的平均数,即用1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]来衡量这组数据波动的大小,并把它叫做这组数据的方差,记作s2.
2.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.
3.使用计算器的统计功能求方差时,通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态;然后依次输入数据x1,x2,…,xn;最后按动求方差的功能键(例如σx2键),计算器便会求出方差s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]的值.
4.使用计算器的统计功能求方差时,不同品牌的计算器的操作步骤有所不同,操作时需要参阅计算器的使用说明书.
5.一般地,统计调查活动的一般步骤是:
(1)收集数据:①确定样本,②确定抽取样本的方法;
(2)整理数据;可采用列表格的形式;
(3)描述数据:画出条形图、扇形图、折线图、直方图等,使得数据分布的信息更清楚地想象出来;
(4)分析数据:计算各组数据的平均数、中位数、众数、方差等,通过分析图表和计算结果得出结论;
(5)撰写调查报告.
教材要点分类练
知识点一 方差
6.(40732511)一组数据2,1,5,4的方差是 (C)
A.10 B.3 C.2.5 D.0.75
7.(40732512)已知方差S2=110[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x10-5)2],则10,5分别是(C)
A.数据个数、方差 B.平均数、数据个数
C.数据个数、平均数 D.众数、平均数
8.(40732513)为参加学校举办的“诗意校园·致远方”朗诵艺术大赛,八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛.这五次选拔赛中,小明五次成绩的平均数是90,方差是2,小强五次成绩的平均数也是90,方差是14.8,下列说法正确的是(A)
A.小明的成绩比小强稳定
B.小明、小强两人成绩一样稳定
C.小强的成绩比小明稳定
D.无法确定小明、小强的成绩谁更稳定
9.(40732514)已知一组数据-3,-2,1,3,6,x的中位数为1,则其方差为(D)
A.1 B.3 C.6 D.9
10.(40732515)已知1,2,3,4,5的方差是2,则101,102,103,104,105的方差是(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(40732516)某排球队6名场上队员的身高(单位:cm)是:180,184,188,190,192,194.现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员,与换人前相比,场上队员的身高(A)
A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
12.(40732517)一组数据7,2,5,4,2的方差为a,若再增加一个数据4,这6个数据的方差为b,则a与b的大小关系是(A)
A.a>b B.a=b
C.a13.(40732518)在一次数学答题比赛中,五位同学答对题目的个数分别为7,5,3,5,10,则关于这组数据的说法不正确的是(D)
A.众数是5 B.中位数是5
C.平均数是6 D.方差3.6
14.(40732519)小明在家中利用物理知识称量某个品牌纯牛奶的净含量,称得六盒纯牛奶的含量分别为:248 mL,250 mL,249 mL,251 mL,249 mL,253 mL,这组数据的方差为83.
15.(40732520)甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲:9,7,8,9,7,6,10,10,6,8;
乙:7,8,8,9,7,8,9,8,10,6.
(1)分别计算甲、乙两组数据的方差;
(2)根据计算结果比较两人的射击水平.
解:(1)x甲=110(9+7+8+9+7+6+10+10+6+8)=8,
x乙=110(7+8+8+9+7+8+9+10+6+8)=8,
s甲2=110[(9-8)2+(7-8)2+…+(8-8)2]=2,
s乙2=110[(7-8)2+(8-8)2+…+(6-8)2]=1.2.
(2)∵x-甲=x-乙,s甲2>s乙2,∴乙的射击比较稳定.
知识点二 用计算器求方差
16.(40732521)用计算器求2,3,5,7,8的方差.
过程略,结果为5.2
知识点三 数据的分析与处理
17.(40732522)4月23日是世界读书日,习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气.”某校响应号召,鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该校文学社为了解学生课外阅读的情况,抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间.过程如下:
[收集数据]从全校随机抽取20名学生,进行了每周用于课外阅读时间的调查,数据如下(单位:min):
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
[整理数据]按如下分段整理样本数据并补全表格:
课外阅读
时间x(min)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
5
8
4
[分析数据]补全下列表格中的统计量:
平均数
中位数
众数
80
81
81
[得出绪论]
(1)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为B;
(2)如果该校现有学生400人,估计等级为“B”的学生有多少名?
(3)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟,请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书?
(2)∵400×820=160(人),∴该校现有学生400人,估计等级为“B”的学生有160名.
(3)以平均数来估计:80160×52=26,∴假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟,以样本的平均数来估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读26本课外书.
能力提升创新练
18.(40732523)已知一组数据x1,x2,…,x6的平均数为1,方差为53.
(1)求:x12+x22+…+x62;
(2)若在这组数据中加入另一个数据x7,重新计算,平均数无变化,求这7个数据的方差.(结果用分数表示)
解:(1)∵数据x1,x2,…,x6的平均数为1,∴x1+x2+…+x6=1×6=6.
则s2=16[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2]
=16[(x12+x22+…+x62)-2(x1+x2+…+x6)+6]
=16[(x12+x22+…+x62)-2×6+6]
=16(x12+x22+…+x62)-1,
所以16(x12+x22+…+x62)-1=53,
解得x12+x22+…+x62=16.
(2)∵数据x1,x2,…,x7的平均数为1,
∴x1+x2+…+x7=1×7=7,
∵x1+x2+…+x6=6,∴x7=1.
∵16[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2]=53,
∴(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2=10,
∴s2=17[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x7-1)2]=17[10+(1-1)2]=107.
19.(40732524)为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛,每个月对他们的学习水平进行一次测验,如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图.
(1)分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差;
(2)如果你是他们的辅导教师,应选派哪一名学生参加这次数学竞赛.请结合所学统计知识说明理由.
解:(1)由折线图可得,甲的5个数据依次为:65,80,80,85,90;乙的5个数据依次为:70,90,85,75,80;
x甲=15(65+80+80+85+90)=80,
x乙=15(70+90+85+75+80)=80;
s甲2=15(225+0+0+25+100)=70,
s乙2=15(100+100+25+25+0)=50.
(2)甲、乙两人成绩的平均数相等,尽管乙的成绩方差小,比较稳定,但是从统计图看甲的成绩处于上升趋势,故选甲参加.(答案不唯一,合理即可)
20.(40732525)七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛,按照比赛规则,每人各投了10个球,两个班选手的进球数统计如下表,请根据表中数据回答问题.
进球数/个
10
9
8
7
6
5
一班人数/人
1
1
1
4
0
3
二班人数/人
0
1
2
5
0
2
(1)分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数;
(2)如果要从这两个班中选出一个班代表级部参加学校的投篮比赛,争取夺得总进球数团体第一名,你认为应该选择哪个班?如果要争取个人进球数进入学校前三名,你认为应该选择哪个班?
解:(1)一班进球平均数:
110(10×1+9×1+8×1+7×4+6×0+5×3)=7(个);
二班进球平均数:
110(10×0+9×1+8×2+7×5+6×0+5×2)=7(个);
一班投中7个球的有4人,人数最多,故众数为7;
二班投中7个球的有5人,人数最多,故众数为7;
一班中位数:第五、第六名同学进7个球,故中位数为7;
二班中位数:第五、第六名同学进7个球,故中位数为7.
(2)一班的方差:s12=110[(10-7)2+(9-7)2+(8-7)2+4×(7-7)2+0×(6-7)2+3×(5-7)2]=2.6,
二班的方差:s22=110[0×(10-7)2+(9-7)2+2×(8-7)2+5×(7-7)2+0×(6-7)2+2×(5-7)2]=1.4,
二班选手发挥更稳定,争取夺得总进球数团体第一名,应该选择二班;
一班前三名选手的成绩突出,分别进10个、9个、8个球,如果要争取个人进球数进入学校前三名,应该选择一班.
21.(40732526)甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩分别为:
甲:10,13,12,14,16;
乙:13,14,12,12,14.
(1)分别求出两人得分的平均数和方差;
(2)请依据上述数据对二人的训练成绩作出评价;
(3)如果在近期内将举行该项目的体育比赛,你作为他们的教练,你会推荐谁去参加?并说明理由.
解:(1)x甲=(10+13+12+14+16)÷5=13,
x乙=(13+14+12+12+14)÷5=13;
s甲2 =15[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,
s乙2 =15 [(14-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(12-13)2]=45.
(2)∵s甲2>s乙2,∴甲的成绩波动大,成绩不稳定.
(3)虽然甲的成绩波动大,成绩不稳定,但是甲的成绩越来越好,甲的潜力大,应选择甲参加.(答案不唯一,合理即可)
22.(40732527)某实验中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛,其预赛成绩如图所示:
(1)根据上图填写下表:
平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5
8.5
0.7
乙班
8.5
8
10
1.6
(2)根据上表数据你认为哪班的成绩较好?并说明你的理由;
(3)乙班小明说:“我的成绩是中等水平”,你知道他是几号选手?为什么?
解:(1)甲班的众数是8.5;
s甲2=15[(8.5-8.5)2+(7.5-8.5)2+(8-8.5)2+(8.5-8.5)2+(10-8.5)2]=0.7.
把乙班的成绩从小到大排列,最中间的数是8,则中位数是8.
(2)从平均数看,因两班平均数相同,则甲、乙班的成绩一样好;
从中位数看,甲的中位数高,所以甲班的成绩较好;
从众数看,乙班的分数高,所以乙班成绩较好;
从方差看,甲班的方差小,所以甲班的成绩更稳定.
(3)因为乙班的成绩的中位数是8,所以小明的成绩是8分,则小明是5号选手.
中考考场必刷练
23.(40732528)(中考·邵阳)根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图.
根据图所提供的信息,若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛,应推荐(C)
A.李飞或刘亮 B.李飞
C.刘亮 D.无法确定
24.(40732529)(中考·滨州)如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的方差为(A)
A.4 B.3 C.2 D.1
25.(40732530)(中考·攀枝花)样本数据1,2,3,4,5,则这个样本的方差是2.
专题一 平均数、中位数、众数和方差的定义
1.(40732531)某市一周的日最高气温如图所示,则该市这周的日最高气温的众数是(A)
A.25 B.26
C.27 D.28
2.(40732532)菲尔兹奖是享有崇高声誉的数学大奖,每四年颁奖一次,颁给二至四名成就显著的年轻数学家.对截至2014年获奖者获奖时的年龄进行统计,整理成下面的表格.
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
年龄段/岁
27313437频数/人
8
11
17
20
则这56个数据的中位数落在(C)
A.第一组 B.第二组
C.第三组 D.第四组
3.(40732533)(中考·南宁)某校规定学生的学期数学成绩满分为100分,其中研究性学习成绩占40%,期末卷面成绩占60%,小明的两项成绩(百分制)依次是80分,90分,则小明这学期的数学成绩是(D)
A.80分 B.82分
C.84分 D.86分
4.(40732534)(中考·随州)某同学连续6次考试的数学成绩分别是85,97,93,79,85,95,则这组数据的众数和中位数分别为(A)
A.85和89 B.85和86
C.89和85 D.89和86
5.(40732535)(中考·凉山州)教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛.两人在相同条件下各打了5发子弹,命中环数如下:甲:9,8,7,7,9;乙:10,8,9,7,6.应该选(A)参加.
A.甲
B.乙
C.甲、乙都可以
D.无法确定
6.(40732536)(中考·安徽)为考察两名实习工人的工作情况,质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据,如下表:
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
关于以上数据,说法正确的是(D)
A.甲、乙的众数相同
B.甲、乙的中位数相同
C.甲的平均数小于乙的平均数
D.甲的方差小于乙的方差
7.(40732537)(中考·青岛)已知甲、乙两组数据的折线图如图,设甲、乙两组数据的方差分别为s甲2、s乙2,则s甲2>s乙2(填“>”“<”或“=”).
专题二 平均数、中位数、众数和方差的应用
8.(40732538)(中考·盐城)甲、乙两位同学参加数学综合素质测试,各项成绩如下(单位:分):
数与
代数
空间与
图形
统计与
概率
综合与
实践
学生甲
90
93
89
90
学生乙
94
92
94
86
(1)分别计算甲、乙成绩的中位数;
(2)如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按3∶3∶2∶2计算,那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分?
解:(1)甲的成绩从小到大的顺序排列为:89,90,90,93,则中位数为90;
乙的成绩从小到大的顺序排列为:86,92,94,94,则中位数为(92+94)÷2=93.
(2)3+3+2+2=10,
甲的数学综合素质成绩为:
90×310+93×310+89×210+90×210
=27+27.9+17.8+18=90.7(分);
乙的数学综合素质成绩为:
94×310+92×310+94×210+86×210
=28.2+27.6+18.8+17.2=91.8(分).
9.(40732539)(中考·绵阳)绵阳某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额,绘制了如下折线统计图和扇形统计图:
设销售员的月销售额为x(单位:万元).销售部规定:当x<16时为“不称职”,当16≤x<20时为“基本称职”,当20≤x<25时为“称职”,当x≥25时为“优秀”.根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全折线统计图和扇形统计图;
(2)求所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数和众数;
(3)为了调动销售员的积极性,销售部决定制定一个月销售额奖励标准,凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励.如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖,月销售额奖励标准应定为多少万元(结果取整数)?并简述其理由.
解:(1)20≤x<25的有:4+5+4+3+4=20(人),
20÷50%=40(人).
则x=26万的人数为:40-(2+2+2+3+3+2+4+5+4+3+4+2+1+1)=2(人).
a=4÷40=10%,b=10÷40=25%,d=6÷40=15%.
补全统计图如下.
(2)从折线统计图观察:在“称职”和“优秀”的销售员中,月销售额为21万的人数最多,所以众数为21;“称职”和“优秀”的销售员共有26人,按月销售额从小到大排列,第13和14个月销售额的平均数为中位数,即22+232=22.5.
(3)要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖,月销售额奖励标准应定为22万元,因为所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为22.5万元,结果取整数,所以用22万元作为奖励标准最合适.
10.(40732540)某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况,收集整理了学生在作业和考试中的常见错误,编制了10道选择题,每题3分,对他所教的八年级1班、2班进行了检测.如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况:
(1)利用图中提供的信息,补全下表;
班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
1班
24
24
24
2班
24
24
21
(2)若把24分以上(含24分)记为“优秀”,两班各40名学生,请估计两班各有多少名学生成绩优秀;
(3)观察图中数据分布情况,请通过计算说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定.
(2)1班优秀率为710,1班成绩优秀的学生有 40×710=28(名);
2班优秀率为610,2班成绩优秀的学生有 40×610=24(名).
(3)s12=110[(21-24)2×3+(24-24)2×4+(27-24)2×3]=110×(27+27)=5.4;
s22=110[(21-24)2×3+(24-24)2×2+(27-24)2×2+(30-24)2×2+(15-24)2]=110×198=19.8;
∵s12<s22,∴1班成绩比较稳定.
11.(40732541)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出).
根据上述信息,解答下列各题:
(1)该班级女生人数是20,女生收看“两会”新闻次数的中位数是3;
(2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该班级男生人数;
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如下表).
统计量
平均数
中位数
众数
方差
该班级
男生
3
3
4
2
根据你所学过的统计知识,适当计算女生的有关统计量,进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.
(2)由题意得,该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为1320×100%=65%,所以,男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.
设该班的男生有x人,则x-(1+3+6)=60%x,解得x=25.∴该班级男生有25人.
(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为:
1×2+2×5+3×6+4×5+5×220=3,
女生收看“两会”新闻次数的方差为:
2(3-1)2+5(3-2)2+6(3-3)2+5(3-4)2+2(3-5)220
=1.3,
∵2>1.3,∴男生比女生的波动大.
12.(40732542)甲、乙两运动员的射击成绩(靶心为10环)统计如下表(不完全):
次数环数运动员
1
2
3
4
5
甲
10
8
9
10
8
乙
10
9
9
a
b
某同学计算甲的平均数是9,方差是
s甲2=15[(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(8-9)2]=0.8,请作答:
(1)在图中用折线统计图把甲的成绩表示出来;
答图:
(2)若甲、乙射击平均数都一样,则a+b=9×5-10-9-9=17;
(3)在(2)的条件下,当甲的成绩较乙稳定时,请列出a,b所有可能值,并说明理由.
∵甲比乙成绩稳定,
∴s乙2>0.8,即
(10-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(a-9)2+(b-9)2>4,
∴(a-9)2+(b-9)2>3.
又a+b=17,
当a,b均大于0,且小于等于10,所以
当a=7时b=10,(a-9)2+(b-9)2>3符合题意,
当a=8时b=9,(a-9)2+(b-9)2>3不符合题意,
当a=9时b=8,(a-9)2+(b-9)2>3不符合题意,
当a=10时b=7,(a-9)2+(b-9)2>3符合题意,
所以a=7,b=10或a=10,b=7.
2020春人教版八下数学同步精练20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析（打印版）
基础知识梳理练
1.设有n个数据x1,x2,…,xn,各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2,…,(xn-x)2,我们用这些值的平均数,即用1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]来衡量这组数据波动的大小,并把它叫做这组数据的方差,记作s2.
2.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.
3.使用计算器的统计功能求方差时,通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态;然后依次输入数据x1,x2,…,xn;最后按动求方差的功能键(例如σx2键),计算器便会求出方差s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]的值.
4.使用计算器的统计功能求方差时,不同品牌的计算器的操作步骤有所不同,操作时需要参阅计算器的使用说明书.
5.一般地,统计调查活动的一般步骤是:
(1)收集数据:①确定样本,②确定抽取样本的方法;
(2)整理数据;可采用列表格的形式;
(3)描述数据:画出条形图、扇形图、折线图、直方图等,使得数据分布的信息更清楚地想象出来;
(4)分析数据:计算各组数据的平均数、中位数、众数、方差等,通过分析图表和计算结果得出结论;
(5)撰写调查报告.
教材要点分类练
知识点一 方差
6.(40732511)一组数据2,1,5,4的方差是 (C)
A.10 B.3 C.2.5 D.0.75
7.(40732512)已知方差S2=110[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x10-5)2],则10,5分别是(C)
A.数据个数、方差 B.平均数、数据个数
C.数据个数、平均数 D.众数、平均数
8.(40732513)为参加学校举办的“诗意校园·致远方”朗诵艺术大赛,八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛.这五次选拔赛中,小明五次成绩的平均数是90,方差是2,小强五次成绩的平均数也是90,方差是14.8,下列说法正确的是(A)
A.小明的成绩比小强稳定
B.小明、小强两人成绩一样稳定
C.小强的成绩比小明稳定
D.无法确定小明、小强的成绩谁更稳定
9.(40732514)已知一组数据-3,-2,1,3,6,x的中位数为1,则其方差为(D)
A.1 B.3 C.6 D.9
10.(40732515)已知1,2,3,4,5的方差是2,则101,102,103,104,105的方差是(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(40732516)某排球队6名场上队员的身高(单位:cm)是:180,184,188,190,192,194.现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员,与换人前相比,场上队员的身高(A)
A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
12.(40732517)一组数据7,2,5,4,2的方差为a,若再增加一个数据4,这6个数据的方差为b,则a与b的大小关系是(A)
A.a>b B.a=b
C.a13.(40732518)在一次数学答题比赛中,五位同学答对题目的个数分别为7,5,3,5,10,则关于这组数据的说法不正确的是(D)
A.众数是5 B.中位数是5
C.平均数是6 D.方差3.6
14.(40732519)小明在家中利用物理知识称量某个品牌纯牛奶的净含量,称得六盒纯牛奶的含量分别为:248 mL,250 mL,249 mL,251 mL,249 mL,253 mL,这组数据的方差为83.
15.(40732520)甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲:9,7,8,9,7,6,10,10,6,8;
乙:7,8,8,9,7,8,9,8,10,6.
(1)分别计算甲、乙两组数据的方差;
(2)根据计算结果比较两人的射击水平.
解:(1)x甲=110(9+7+8+9+7+6+10+10+6+8)=8,
x乙=110(7+8+8+9+7+8+9+10+6+8)=8,
s甲2=110[(9-8)2+(7-8)2+…+(8-8)2]=2,
s乙2=110[(7-8)2+(8-8)2+…+(6-8)2]=1.2.
(2)∵x-甲=x-乙,s甲2>s乙2,∴乙的射击比较稳定.
知识点二 用计算器求方差
16.(40732521)用计算器求2,3,5,7,8的方差.
过程略,结果为5.2
知识点三 数据的分析与处理
17.(40732522)4月23日是世界读书日,习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气.”某校响应号召,鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该校文学社为了解学生课外阅读的情况,抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间.过程如下:
[收集数据]从全校随机抽取20名学生,进行了每周用于课外阅读时间的调查,数据如下(单位:min):
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
[整理数据]按如下分段整理样本数据并补全表格:
课外阅读
时间x(min)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
5
8
4
[分析数据]补全下列表格中的统计量:
平均数
中位数
众数
80
81
81
[得出绪论]
(1)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为B;
(2)如果该校现有学生400人,估计等级为“B”的学生有多少名?
(3)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟,请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书?
(2)∵400×820=160(人),∴该校现有学生400人,估计等级为“B”的学生有160名.
(3)以平均数来估计:80160×52=26,∴假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟,以样本的平均数来估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读26本课外书.
能力提升创新练
18.(40732523)已知一组数据x1,x2,…,x6的平均数为1,方差为53.
(1)求:x12+x22+…+x62;
(2)若在这组数据中加入另一个数据x7,重新计算,平均数无变化,求这7个数据的方差.(结果用分数表示)
解:(1)∵数据x1,x2,…,x6的平均数为1,∴x1+x2+…+x6=1×6=6.
则s2=16[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2]
=16[(x12+x22+…+x62)-2(x1+x2+…+x6)+6]
=16[(x12+x22+…+x62)-2×6+6]
=16(x12+x22+…+x62)-1,
所以16(x12+x22+…+x62)-1=53,
解得x12+x22+…+x62=16.
(2)∵数据x1,x2,…,x7的平均数为1,
∴x1+x2+…+x7=1×7=7,
∵x1+x2+…+x6=6,∴x7=1.
∵16[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2]=53,
∴(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2=10,
∴s2=17[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x7-1)2]=17[10+(1-1)2]=107.
19.(40732524)为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛,每个月对他们的学习水平进行一次测验,如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图.
(1)分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差;
(2)如果你是他们的辅导教师,应选派哪一名学生参加这次数学竞赛.请结合所学统计知识说明理由.
解:(1)由折线图可得,甲的5个数据依次为:65,80,80,85,90;乙的5个数据依次为:70,90,85,75,80;
x甲=15(65+80+80+85+90)=80,
x乙=15(70+90+85+75+80)=80;
s甲2=15(225+0+0+25+100)=70,
s乙2=15(100+100+25+25+0)=50.
(2)甲、乙两人成绩的平均数相等,尽管乙的成绩方差小,比较稳定,但是从统计图看甲的成绩处于上升趋势,故选甲参加.(答案不唯一,合理即可)
20.(40732525)七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛,按照比赛规则,每人各投了10个球,两个班选手的进球数统计如下表,请根据表中数据回答问题.
进球数/个
10
9
8
7
6
5
一班人数/人
1
1
1
4
0
3
二班人数/人
0
1
2
5
0
2
(1)分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数;
(2)如果要从这两个班中选出一个班代表级部参加学校的投篮比赛,争取夺得总进球数团体第一名,你认为应该选择哪个班?如果要争取个人进球数进入学校前三名,你认为应该选择哪个班?
解:(1)一班进球平均数:
110(10×1+9×1+8×1+7×4+6×0+5×3)=7(个);
二班进球平均数:
110(10×0+9×1+8×2+7×5+6×0+5×2)=7(个);
一班投中7个球的有4人,人数最多,故众数为7;
二班投中7个球的有5人,人数最多,故众数为7;
一班中位数:第五、第六名同学进7个球,故中位数为7;
二班中位数:第五、第六名同学进7个球,故中位数为7.
(2)一班的方差:s12=110[(10-7)2+(9-7)2+(8-7)2+4×(7-7)2+0×(6-7)2+3×(5-7)2]=2.6,
二班的方差:s22=110[0×(10-7)2+(9-7)2+2×(8-7)2+5×(7-7)2+0×(6-7)2+2×(5-7)2]=1.4,
二班选手发挥更稳定,争取夺得总进球数团体第一名,应该选择二班;
一班前三名选手的成绩突出,分别进10个、9个、8个球,如果要争取个人进球数进入学校前三名,应该选择一班.
21.(40732526)甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩分别为:
甲:10,13,12,14,16;
乙:13,14,12,12,14.
(1)分别求出两人得分的平均数和方差;
(2)请依据上述数据对二人的训练成绩作出评价;
(3)如果在近期内将举行该项目的体育比赛,你作为他们的教练,你会推荐谁去参加?并说明理由.
解:(1)x甲=(10+13+12+14+16)÷5=13,
x乙=(13+14+12+12+14)÷5=13;
s甲2 =15[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,
s乙2 =15 [(14-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(12-13)2]=45.
(2)∵s甲2>s乙2,∴甲的成绩波动大,成绩不稳定.
(3)虽然甲的成绩波动大,成绩不稳定,但是甲的成绩越来越好,甲的潜力大,应选择甲参加.(答案不唯一,合理即可)
22.(40732527)某实验中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛,其预赛成绩如图所示:
(1)根据上图填写下表:
平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5
8.5
0.7
乙班
8.5
8
10
1.6
(2)根据上表数据你认为哪班的成绩较好?并说明你的理由;
(3)乙班小明说:“我的成绩是中等水平”,你知道他是几号选手?为什么?
解:(1)甲班的众数是8.5;
s甲2=15[(8.5-8.5)2+(7.5-8.5)2+(8-8.5)2+(8.5-8.5)2+(10-8.5)2]=0.7.
把乙班的成绩从小到大排列,最中间的数是8,则中位数是8.
(2)从平均数看,因两班平均数相同,则甲、乙班的成绩一样好;
从中位数看,甲的中位数高,所以甲班的成绩较好;
从众数看,乙班的分数高,所以乙班成绩较好;
从方差看,甲班的方差小,所以甲班的成绩更稳定.
(3)因为乙班的成绩的中位数是8,所以小明的成绩是8分,则小明是5号选手.
中考考场必刷练
23.(40732528)(中考·邵阳)根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图.
根据图所提供的信息,若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛,应推荐(C)
A.李飞或刘亮 B.李飞
C.刘亮 D.无法确定
24.(40732529)(中考·滨州)如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的方差为(A)
A.4 B.3 C.2 D.1
25.(40732530)(中考·攀枝花)样本数据1,2,3,4,5,则这个样本的方差是2.
专题一 平均数、中位数、众数和方差的定义
1.(40732531)某市一周的日最高气温如图所示,则该市这周的日最高气温的众数是(A)
A.25 B.26
C.27 D.28
2.(40732532)菲尔兹奖是享有崇高声誉的数学大奖,每四年颁奖一次,颁给二至四名成就显著的年轻数学家.对截至2014年获奖者获奖时的年龄进行统计,整理成下面的表格.
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
年龄段/岁
27313437频数/人
8
11
17
20
则这56个数据的中位数落在(C)
A.第一组 B.第二组
C.第三组 D.第四组
3.(40732533)(中考·南宁)某校规定学生的学期数学成绩满分为100分,其中研究性学习成绩占40%,期末卷面成绩占60%,小明的两项成绩(百分制)依次是80分,90分,则小明这学期的数学成绩是(D)
A.80分 B.82分
C.84分 D.86分
4.(40732534)(中考·随州)某同学连续6次考试的数学成绩分别是85,97,93,79,85,95,则这组数据的众数和中位数分别为(A)
A.85和89 B.85和86
C.89和85 D.89和86
5.(40732535)(中考·凉山州)教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛.两人在相同条件下各打了5发子弹,命中环数如下:甲:9,8,7,7,9;乙:10,8,9,7,6.应该选(A)参加.
A.甲
B.乙
C.甲、乙都可以
D.无法确定
6.(40732536)(中考·安徽)为考察两名实习工人的工作情况,质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据,如下表:
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
关于以上数据,说法正确的是(D)
A.甲、乙的众数相同
B.甲、乙的中位数相同
C.甲的平均数小于乙的平均数
D.甲的方差小于乙的方差
7.(40732537)(中考·青岛)已知甲、乙两组数据的折线图如图,设甲、乙两组数据的方差分别为s甲2、s乙2,则s甲2>s乙2(填“>”“<”或“=”).
专题二 平均数、中位数、众数和方差的应用
8.(40732538)(中考·盐城)甲、乙两位同学参加数学综合素质测试,各项成绩如下(单位:分):
数与
代数
空间与
图形
统计与
概率
综合与
实践
学生甲
90
93
89
90
学生乙
94
92
94
86
(1)分别计算甲、乙成绩的中位数;
(2)如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按3∶3∶2∶2计算,那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分?
解:(1)甲的成绩从小到大的顺序排列为:89,90,90,93,则中位数为90;
乙的成绩从小到大的顺序排列为:86,92,94,94,则中位数为(92+94)÷2=93.
(2)3+3+2+2=10,
甲的数学综合素质成绩为:
90×310+93×310+89×210+90×210
=27+27.9+17.8+18=90.7(分);
乙的数学综合素质成绩为:
94×310+92×310+94×210+86×210
=28.2+27.6+18.8+17.2=91.8(分).
9.(40732539)(中考·绵阳)绵阳某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额,绘制了如下折线统计图和扇形统计图:
设销售员的月销售额为x(单位:万元).销售部规定:当x<16时为“不称职”,当16≤x<20时为“基本称职”,当20≤x<25时为“称职”,当x≥25时为“优秀”.根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全折线统计图和扇形统计图;
(2)求所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数和众数;
(3)为了调动销售员的积极性,销售部决定制定一个月销售额奖励标准,凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励.如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖,月销售额奖励标准应定为多少万元(结果取整数)?并简述其理由.
解:(1)20≤x<25的有:4+5+4+3+4=20(人),
20÷50%=40(人).
则x=26万的人数为:40-(2+2+2+3+3+2+4+5+4+3+4+2+1+1)=2(人).
a=4÷40=10%,b=10÷40=25%,d=6÷40=15%.
补全统计图如下.
(2)从折线统计图观察:在“称职”和“优秀”的销售员中,月销售额为21万的人数最多,所以众数为21;“称职”和“优秀”的销售员共有26人,按月销售额从小到大排列,第13和14个月销售额的平均数为中位数,即22+232=22.5.
(3)要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖,月销售额奖励标准应定为22万元,因为所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为22.5万元,结果取整数,所以用22万元作为奖励标准最合适.
10.(40732540)某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况,收集整理了学生在作业和考试中的常见错误,编制了10道选择题,每题3分,对他所教的八年级1班、2班进行了检测.如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况:
(1)利用图中提供的信息,补全下表;
班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
1班
24
24
24
2班
24
24
21
(2)若把24分以上(含24分)记为“优秀”,两班各40名学生,请估计两班各有多少名学生成绩优秀;
(3)观察图中数据分布情况,请通过计算说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定.
(2)1班优秀率为710,1班成绩优秀的学生有 40×710=28(名);
2班优秀率为610,2班成绩优秀的学生有 40×610=24(名).
(3)s12=110[(21-24)2×3+(24-24)2×4+(27-24)2×3]=110×(27+27)=5.4;
s22=110[(21-24)2×3+(24-24)2×2+(27-24)2×2+(30-24)2×2+(15-24)2]=110×198=19.8;
∵s12<s22,∴1班成绩比较稳定.
11.(40732541)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出).
根据上述信息,解答下列各题:
(1)该班级女生人数是20,女生收看“两会”新闻次数的中位数是3;
(2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该班级男生人数;
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如下表).
统计量
平均数
中位数
众数
方差
该班级
男生
3
3
4
2
根据你所学过的统计知识,适当计算女生的有关统计量,进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.
(2)由题意得,该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为1320×100%=65%,所以,男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.
设该班的男生有x人,则x-(1+3+6)=60%x,解得x=25.∴该班级男生有25人.
(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为:
1×2+2×5+3×6+4×5+5×220=3,
女生收看“两会”新闻次数的方差为:
2(3-1)2+5(3-2)2+6(3-3)2+5(3-4)2+2(3-5)220
=1.3,
∵2>1.3,∴男生比女生的波动大.
12.(40732542)甲、乙两运动员的射击成绩(靶心为10环)统计如下表(不完全):
次数环数运动员
1
2
3
4
5
甲
10
8
9
10
8
乙
10
9
9
a
b
某同学计算甲的平均数是9,方差是
s甲2=15[(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(8-9)2]=0.8,请作答:
(1)在图中用折线统计图把甲的成绩表示出来;
答图:
(2)若甲、乙射击平均数都一样,则a+b=9×5-10-9-9=17;
(3)在(2)的条件下,当甲的成绩较乙稳定时,请列出a,b所有可能值,并说明理由.
∵甲比乙成绩稳定,
∴s乙2>0.8,即
(10-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(a-9)2+(b-9)2>4,
∴(a-9)2+(b-9)2>3.
又a+b=17,
当a,b均大于0,且小于等于10,所以
当a=7时b=10,(a-9)2+(b-9)2>3符合题意,
人教版八下数学 学霸笔记整理20.1.2 中位数和众数
1.将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于中间位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
2.一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
3.平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势,它们各有自己的特点,能够从不同的角度提供信息.在实际应用中,需要分析具体问题的情况,选择适当的量反映数据的集中趋势.
1.一组数据的中位数是唯一的.一组数据的中位数可以是数据中的一个数,也可以不是数据中的数;当数据的个数是奇数时所求得的中位数就是数据中的数;当数据的个数是偶数时,如果最中间两个数相等,中位数就是数据中的数,如果不相等,中位数就不是数据中的数.
2.找一组数据的众数要明确找的“对象”是什么,要注意应该从数据中的数里面找,而不是从数据出现的次数中找.
3.众数是原数据中的数,一组数据的众数可能不是唯一的,有时一组数据中的众数不止一个;有时一组数据中也可能没有众数.如数据1,2,2,3,3中,2和3都是众数;而数据2,2,3,3中2和3出现的次数一样多,就没有众数.作为一组数据的代表,众数是“屈指可数”的.
4.如果原数据有单位,则中位数和众数要带单位,它们的单位与原数据单位一致.
1.规律方法:平均数、中位数、众数都是一组数据的代表,分别代表这一组数据的“一般水平(或者平均水平)”“中等水平”和“多数水平”.平均数、中位数、众数这“三数”是描述一组数据的集中趋势的基本特征量.
2.解题技巧:(1)平均数是“算”出来的,它的大小由这组数据中所有的数据决定,因而能刻画一组数据的集中程度和一般水平或者平均水平.平均数的应用最为广泛,但是它的值容易受到个别极端数据的影响.平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系,任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.
(2)中位数是“找”出来的,中位数是由一组数据处于中间位置的数据决定的,当数据按照大小顺序排列时,个别极端数据只能排在这组数据的最前或最后,因而中位数不容易受个别极端数据的影响.当一组数据中的个别数据变动较大,有极端值时,选择中位数作为“中等水平”的代表值要好些.但中位数没有充分利用所有数据的信息,且数据较多时不便计算.
(3)众数是“数”出来的,众数是一组数据中出现次数最多的数据,也不容易受个别极端数据的影响.众数着眼于对各数出现的次数的考察,它反映一组数据的多数水平.当一组数据中有数据多次重复出现时,它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势.众数可能不唯一,且当各数据出现次数大致相同时,众数的意义不太明显.
[典例精析]
【例1】 一组数据5,-3,0,1,5的中位数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.6
解析:把这组数据从小到大排列为:-3,0,1,5,5,最中间的数是1,则中位数是1.故选B.
答案:B
解题总结:找一组数据的中位数的时候,首先要把这组数据从小到大排列(或从大到小排列),然后再根据数据个数为奇数或偶数来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数即为所求;如果数据有偶数个,则找中间两个数的平均数.
【例2】 有一组数据:3,4,4,6,7,这组数据的众数为( )
A.3 B.4
C.6 D.7
解析:这组数据中4出现的次数最多,故众数为4.故选B.
答案:B
解题总结:求一组数据的众数的方法:找出频数最多的数据.
【例3】 三个生产日光灯管的厂家在广告中宣称,他们生产的日光灯管在正常情况下,灯管的使用寿命为12个月.工商部门为了检查他们宣传的真实性,从三个厂家各抽取11只日光灯管进行检测,灯管的使用寿命(单位:月)如下:
甲厂
7
8
9
9
9
11
13
14
16
17
19
乙厂
7
7
9
9
10
10
12
12
12
13
14
丙厂
7
7
8
8
8
12
13
14
15
16
17
(1)这三个厂家的广告,分别利用了统计中的哪一个特征数(平均数、中位数、众数)进行宣传?
(2)如果三种产品的售价一样,作为顾客的你应选购哪个厂家的产品?请说明理由.
分析:(1)根据数据分析,可得乙厂的广告利用了统计中的众数,丙厂的广告利用了统计中的中位数,再进行少量计算、估算甲厂的平均数,可得甲厂的广告利用了统计中的平均数;(2)根据统计量的意义,结合题意,作出选择.
解:(1)x甲=111(7+8+9+9+9+11+13+14+16+17+19)=12,故甲厂的广告利用了统计中的平均数;
由于乙厂数据中12有3次,是众数,故乙厂的广告利用了统计中的众数;
丙厂数据中的中位数是12,故丙厂的广告利用了统计中的中位数.
(2)选用甲厂的产品.因为它的平均数较真实地反映了灯管的使用寿命.
或选用丙厂的产品.因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命超过12个月.
解题总结:平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势,但各有局限性,因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.
