2.1 数列的概念与简单表示法 同步测试卷（含答案解析）

数列的概念与简单表示法课时测试卷
一、单选题
1．数列 EMBED Equation.DSMT4 的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
2．数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知数列{}的前n项和满足：，且＝1，那么＝(　 　)
A．1 B．9 C．10 D．55
4．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}最大项是(　　)
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
5．是数列-1，，，，-, …的第（ ）
A．9项 B．10项 C．11项 D．12项
6．在数列中，，，则
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是 （ ）
A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B．数列1，0，?1，?2与数列?2，?1，0，1是相同的数列
C．数列{}的第k项为1+
D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}
8．若，则an与an+1的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．已知数列{an}，满足，若，则a2009=（ ）.
A． B．2 C． D．1
10．数列满足:且是递增数列,则实数的范围是( )
A． B． C． D．
11．已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A． B． C． D．
12．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 （ ）

A． =n2?n+1
B．
C．
D．

二、填空题
13．已知数列满足，n∈N*，则数列=____．
14．数列{an}中，，则的通项______.
15．数列7，77，777，7 777，77 777，…的通项公式为 ．
16．在数列中，=若 =，则的值为________.
17．数列的通项公式为，对于任意自然数，数列都是递增数列，则实数的取值范围为 ．
三、解答题
18．设数列的前项和为，点均在函数的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.
19．已知数列的通项公式是．
（1）判断是否是数列中的项；
（2）试判断数列中的各项是否都在区间内；
（3）试判断在区间内是否有无穷数列中的项？若有，是第几项？若没有，请说明理由．
20．已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)求证：数列{an}是递增数列；
(2)若存在一个正实数M使得|an|≤M对一切n∈N＋都成立，则称数列{an}为有界数列．试判断此数列是否为有界数列，并说明理由．
21．求下列数列的一个通项公式：
（1）；（2）；（3）.
22．把正整数按下表排列：

(1)求200在表中的位置（在第几行第几列）；
(2)求表中主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式.



参考答案
1．C
【解析】设此数列为，其项的正负表示为其绝对值为，可得通项公式是．故选C．
考点：数列的通项公式．
2．B
【解析】
【分析】
化简，利用裂项相消法可得结果.
【详解】
因为，
所以，故选B．
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
3．A
【解析】
a10＝S10－S9＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A.

4．A
【解析】
∵，且
∴
又∵
∴
∴此数列为递减数列，最大项为.
故选A.
点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：
（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；
（2）可以用或；
（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.
5．D
【解析】数列项的正负表示为, 项的绝对值可表示为,可得通项公式为 ，因为，所以是数列的第12项，故选D．
考点：数列的通项公式．
6．A
【解析】
【详解】
试题分析：在数列中，




故选A.
7．C
【解析】由数列的定义可知A中{1，3，5，7}表示的是一个集合，而非数列，故A错误；
B中，数列中各项之间是有序的，故数列1，0，?1，?2与数列?2，?1，0，1是不同的数列，故B错误；
C中，数列{}的第k项为=1+，故C正确；
数列0，2，4，6，…的通项公式为an=2n?2，故D错．
故选C．
考点：数列的概念，数列的通项公式．
8．B
【解析】因为数列的通项公式是（n∈N*），显然当n增大时 的值也随之增大，故数列是递增数列，故有an＜an+1．
考点：数列的分类．
9．B
【解析】
由已知，数列{an}，满足，若，则 a2009=
数列各项的值轮流重复出现，每三项一次循环，
所以
故选B.
10．D
【解析】
由题意，要使是递增数列，必有 ，
解得，故选D.
11．C
【解析】
【分析】
根据函数单调性确定数列｛｝的前50项中最小项和最大项.
【详解】
因为在上单调减，在单调减，
所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，选C.
【点睛】
数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数性质.
12．C
【解析】从图中可观察星星的构成规律，当时，有1个；当时，有3个；当时，有6个；时，有10个，， 归纳推出．
考点：递推数列．
13．
【解析】
【分析】
利用相邻关系作差的方式得到，注意首项的检验.
【详解】
∵①
∴时，②
①式②式：，即=，
当n=1时，，即
故答案为：
【点睛】
本题考查了由数列的前n项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分和两种情形，第二要掌握这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.
14．
【解析】
【分析】
由，两边同除以可得：．利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】
∵，由a1=1，可得an≠0．
∴．
∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．
∴，解得．
故答案为：．
【点睛】
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
15．
【解析】因为，所以数列7，77，777，7 777，77 777，的通项公式为．
考点：数列的通项公式．
16．
【解析】因为数列中，==，
依次得到， 则周期为4，因此=.
考点:递推数列.
17．
【解析】，因为是递增数列，所以，即，也即，因为，所以．即实数的取值范围为．
考点：数列的分类．
18．（Ⅰ）（Ⅱ）10
【解析】
【详解】
解：（I）依题意得，即．
当n≥2时，;
当
所以．
（II）由（I）得，
故=．
因此，使得<成立的m必须满足，
故满足要求的最小正整数m为10.
19．（1）不是数列中的项；（2）中的各项都在区间内；（3）区间内有数列中的项，且只有一项，是第2项：．
【解析】
【分析】
（1）解方程，求得的值，不为整数，所以不是数列中的项；（2）化简得，再根据可得，即得数列中的项都在区间内；
（3）解不等式可得，即可求解．
【详解】
（1）由题可得，
令，解得．
因为不是正整数，所以不是数列中的项．
（2）因为，
又，所以，所以．
所以数列中的各项都在区间)内．
（3）令，即，
即，解得，又，所以．
故区间内有数列中的项，且只有一项，是第2项：．
【点睛】
（1）判断数列的单调性通常是通过比较数列中任意相邻两项和的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法．（2）利用数列的单调性确定变量的取值范围时，解决此类问题常利用以下的等价关系：数列递增或数列递减，进而转化为不等式恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围．（3）对于通项较复杂的数列问题，常采用“特值探路”的策略，并结合数列的单调性求解．
20．（1）证明见解析；（2）数列是有界数列.
【解析】
试题分析：（1）由数列的通项公式，作差，与“0”比较大小，即可得出数列是递增数列；（2）求出数列的值域，根据有界数列的定义即可判断.
试题解析：(1)证明：∵
∴，即数列是递增数列．
(2)∵
∴数列是有界数列．
21．（1） （2） （或） （3）
【解析】（1）联想数列即数列，可得原数列的通项公式为.
（2）将原数列改写为分母分别为分子分别为，呈周期性变化，可以用（或）表示，所以通项公式为（或）.
（3）分子为正偶数数列，分母为得.
考点：数列的通项公式
22．(1)第15列第4行;(2) n2-n+1.
【解析】
试题分析：（1）根据 ，可得数200应排在上起第4行，左起第15列，据此解答即可．
(2)观察数阵的结构特点，位于对角线位置的正整数1，3，7，13，21，…，构成数列 ，它的第二项比第一项大二，第三项比第二项大四，第四项比第三项大六，发现数列每一项与它前一项的差组成等差数列，求出结果．
试题解析：（1）∵上起第1行左起第2列的数是：
上起第1行左起第3列的数是：
上起第1行左起第4列的数是：
上起第1行左起第5列的数是：
…
由此根据 ，可得数200应排在上起第4行，左起第15列；
(2)： 把上式叠加得到：

即表中主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式为.













试卷第1页，总3页


试卷第1页，总3页