1.2 三角形应用举例 同步测试卷（含答案解析）

解三角形应用举例课时测试卷

一、单选题
1．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A．5 B．10 C．10 D．10
2．海上有两个小岛相距，从岛望岛和岛，成的视角，从岛望岛和岛，成的视角，则间的距离为 （ ）
A． B． C． D．
3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄埔江西岸选择C、D两观测点，在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔底与C地连线及C、D两地连线所成的角为120°，C、D两地相距500 m，则电视塔的高度是( )
A．100m B．400 m C．200m D．500 m
4．如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为 （ ）

A． B．
C． D．
5．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地和，测得红军的两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是 （ ）

A． B． C． D．
6．如图所示，长为的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足处的地面上，另一端在离堤足处的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值等于 （ ）


A． B． C． D．
7．设的三个内角成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
8．若△ABC的外接圆的圆心为O,半径为4,,则 在方向上的投影为(　　)
A．4 B． C． D．1
9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在塔底的正西方处测得塔顶的仰角为，在它的南偏东的处测得塔顶的仰角为，若的距离是，则塔高为 （ ）

A． B． C． D．
11．在中，，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
12．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为（ ）
A． B．2 C． D．7


二、填空题
13．某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为300，塔底B的俯角为150，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高
为 米．
14．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．

15．如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=　　　　.

16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.

17．在四边形中,,且,则四边形的面积为 ．
三、解答题
18．海岛O上有一座海拔1000m的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时测得一轮船在岛北偏东60o的C处，俯角为30o，11时10分又测得该船在岛北偏西60o的B处，俯角为60o，如图所示，求：

（1）该船的速度为每小时多少千米？
（2）若此船以匀速度继续航行，则它何时到达岛的正西方向？此时，船所在点E离开海岛多少千米？
19．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

20．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.

21．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值．
22．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．



参考答案
1．C
【解析】
如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．

在△ABB′中，∠B′＝30°，
∠BAB′＝75°－30°＝45°，
AB＝10 m，
由正弦定理，得
BB′＝＝＝10(m)．
∴坡底延伸10m时，斜坡的倾斜角将变为30°．
2．D
【解析】如图，在△中，．

根据正弦定理得，，∴（nmile），故选D．
考点：利用正弦定理测量距离．
3．D
【解析】
由题意画出示意图，设塔高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500 m．

4． A
【解析】 在△ACD中，根据正弦定理得，，所以．在△ABD中，．
考点：利用正弦定理测量高度．
5．A
【解析】因为，所以，所以△ADC是等边三角形，所以．
在△BDC中，根据正弦定理得，，所以．
在△ABC中，根据余弦定理得，
，
所以．
考点：利用正、余弦定理测量距离．
6．C
【解析】由题意可得，在△ABC中，AB=4m，AC=2m，BC=3m，且+∠ACB=π．
由余弦定理可得，，即
，解得，所以，所以．
考点：利用余弦定理测量角度．
7．B
【解析】
【分析】
先由的三个内角成等差数列，得出 ,又因为、、成等比数列，所以，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为的三个内角成等差数列，
所以 ,
又因为、、成等比数列，
所以
所以

即
又因为
所以
故选B
【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得，再利用三角公式转化，属于中档题.
8．C
【解析】
【分析】
过作的垂线，垂足为，分析条件可得，作出图分析可得三角形ABC为等腰三角形，进而可得投影.
【详解】
过作的垂线，垂足为，

由，可得.
所以三点共线.
因为O为外心，点M为BC的中点，所以三角形ABC为等腰三角形，AB=AC.
且OM=OA-OM=3,OC=4.
所以.
在方向上的投影为.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了向量的基本运算及投影的定义，考查了学生数形结合的能力，属于基础题.
9．B
【解析】如图，在△中，，，所以．

根据正弦定理得，，，
在Rt△中，．
考点：利用正弦定理测量高度．
10．B
【解析】设塔高，则，．
在△中，，根据余弦定理得，，
解得（负值舍去），故塔高为．
考点：利用余弦定理测量高度．
11．D
【解析】
【分析】
先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.
【详解】
因为，所以，即是直角三角形，选D.
【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
12．B
【解析】∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝2，
由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋4－2×2×2×cos 60°＝4，即BC＝．
考点：三角形面积公式的应用．
13．120+40
【解析】
如图,用AD表示楼高,AE与水平面平行,E在线段BC上,

因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,
则AE===120+60,
在Rt△AEC中,
CE=AE·tan30°=(120+60)×=60+40,
∴BC=CE+BE=60+40+60=(120+40)米,
所以塔高为(120+40)米.
14．8π
【解析】
连接OA，OB，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，知∠AOB＝2∠ACB＝90°，在Rt△OAB中，得OA＝2，即r＝2，∴S＝πr2＝8π.

15．-1
【解析】
在△ABC中,
BC===50(-).
在△BCD中,sin∠BDC=
==-1.
又∵cosθ=sin∠BDC,∴cosθ=-1.

16．
【解析】
试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点：正弦定理及运用．

17．
【解析】
试题分析：因为=，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为，所以平行四边形ABCD为菱形，且，因此
考点：向量加法平行四边形法则

18．（1）船速v＝＝2（km/h）.
(2)再经过h，即5min轮船到达岛的正西方向，此时E点离海岛1.5km.
【解析】
试题分析：（1）由AO⊥平面BOC，在Rt△AOB中，
求得 OB＝OAtan30o=(km).
在Rt△AOC中，将OC=Oatan60o=(km).
在△BOC中，由余弦定理得，
|BC|=
==(km).
∴船速v＝＝2（km/h）.
(2)在△OBC中，由余弦定理得，
cos∠OBC==.
从而sin∠EBO=sin（180o－∠OBC）＝sin∠OBC
==
sin∠BEO=sin[180o－(∠BEO+30o)]
= sin(∠BEO+30o)=.
由正弦定理在△BEO中，OE==(km)
BE==(km)
因此，从B到E所需时间t＝＝＝（h）
所以再经过h，即5min轮船到达岛的正西方向，此时E点离海岛1.5km.
考点：本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式及立体几何基础知识．
点评：本题综合性较强，注意数形结合，运用余弦定理、正弦定理解答，对考生式子变形的能力要求较高．
19．见解析
【解析】
【详解】

要求长度，需要测量的数据有：点到，点的俯角，最后通过正弦定理得到最终结果.
①需要测量的数据有：点到，点的俯角；
点到，的俯角；，的距离 ……….
②第一步：计算. 由正弦定理　；
第二步：计算. 由正弦定理　；
第三步：计算. 由余弦定理

20．
【解析】
【详解】
在△BCD中，
.
由正弦定理得

所以

在Rt△ABC中，

塔高为.
21．（1）14海里/小时； （2）.
【解析】
【详解】
（1）,
∴

∴,
∴V甲海里/小时 ；
（2）在中，
由正弦定理得
∴
∴.

点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.
22．（1）当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30
（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
【解析】
试题分析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则由余弦定理得，再由二次函数的性质求得最值；（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为海里/小时，然后是距离最短，则，解得，再解得相应角．
试题解析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，
则
故当时，
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小
（2）

设小艇与轮船在处相遇.
则，
故
∵，
∴，即，解得
又时，，
故时，取得最小值，且最小值等于
此时，在中，有，
故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时













试卷第1页，总3页


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