1.1 余弦定理 同步测试卷（含答案解析）

余弦定理课时测试卷
一、单选题
1．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
A． B． C． D．
2．中，内角所对的边分别是，若，则（ ）
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
3．设的内角，，的对边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
4．在中,分别为角的对边),则的形状为
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4，b＝2，sin2A＝sinB，则边c的长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．2或4
6．三角形ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
8．已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a，则a的取值范围是
A．8＜a<10 B．2＜a＜
C．2＜a＜10 D．＜a＜8
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角的值为
A． B．或 C． D．或
10．在中，内角的对边分别为，若，则角为（ ）
A． B． C． D．
11．在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A出出发，沿北偏东方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（ ）km.

A． B． C． D．


二、填空题
13．在中，的对边为，若，则___________
14．在中，角所对的边分别为，若，且的面积.则角__________．
15．在中，，，的角平分线，则________.
16．若在△ABC中，则=_______。
17．如图，在中，已知，是边上的一点，，，，则 .


三、解答题
18．已知：△ABC中，三边的对角为A，B，C，且，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求△ABC的面积。
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b.
(1)求角A的大小；
(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a.
20．在平面四边形ABCD中， AB＝2，BD＝，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．

(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
21．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
22．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．



参考答案
1．B
【解析】
试题分析：由余弦定理得，又面积
，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B．
考点：余弦定理；三角形的面积公式．
2．B
【解析】
【分析】
直接由已知结合余弦定理求解．
【详解】
解：在中，由，
可得，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．
3．D
【解析】
【分析】
由余弦定理化简已知等式可求，即可得解三角形的形状．
【详解】
∵，
∴由余弦定理可得：，整理可得：，
∴，则的形状为等腰三角形．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．
4．A
【解析】
∵∴∴
∴由余弦定理,得,∴∴
∴为直角三角形.
5．D
【解析】
【分析】
由a＝4，b＝2，sin2A＝sinB求得，再利用余弦定理列方程求解。
【详解】
由sin2A＝sinB可得：，由正弦定理得：
所以，由余弦定理得：，
即：，整理得：，
解得：或
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正弦定理及余弦定理、二倍角公式，考查计算能力，属于基础题。
6．C
【解析】
【详解】
A项中,由正弦定理可求得,进而可推断出三角形只有一解;
B项中为定值,故可知三角形有一解.
C项中由,及正弦定理,得,所以.因而B有两值;
D项中,进而可知,则不符合题意,故三角形无解.
所以C选项是正确的，故选C．
7．C
【解析】
∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sinAcosB＝sinC，
∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．
8．B
【解析】
若a是最大边，则即3＜a＜；若3是最大边，则，即3＞＞2；当a=3时符合题意，综上2＜a＜，故选B．
9．D
【解析】
因为，所以，即，所以或，故选D．
10．A
【解析】
【详解】
试题分析：
因为，
那么结合，
所以cosA==，
所以A=，故答案为A
考点：正弦定理与余弦定理
点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.
11．D
【解析】
【分析】
由余弦定理及三角形面积公式可得和，结合条件，可得，进而得，由正弦定理可得结果．
【详解】
由余弦定理得，，
所以
又，，
所以有，
即，所以，
由正弦定理得，，得
所以外接圆的面积为．答案选D．
【点睛】
解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路．
12．C
【解析】由题意， ， ，则， ，∴， ，故选C．
【点睛】在解三角形的实际应用中，有时会遇到方位角、仰角、俯角这些概念，解题时需正确理解这些概念，否则无法根据题意画出图形，对图形进行正确的分析，造成解题错误，甚至无法求解．
方位角是按照地理标准，按“上北下南，左西右东”的原则标记物体位置．仰角、俯角都是视线与水平线的夹角，只要正确理解了概念，就可以　构造出三角形，进行数学建模，解答实际问题．
13．2
【解析】
根据余弦定理：
14．
【解析】
【分析】
的面积,结合面积公式，可得，代入已知等式中，得到
，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角的值.
【详解】
，
代入中，得，由正弦定理,可将上式化简为，，由余弦定理可知：
,所以有，又因为，所以角.
【点睛】
本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理.解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉.
15．
【解析】
试题分析：由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因为，所以．所以，所以＝，所以．
考点：正余弦定理．
【技巧点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围．

16．
【解析】
【分析】
由A的度数求出sinA和cosA的值，根据sinA的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cosA，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．
【详解】
由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，
又b=1，S△ABC=，
∴bcsinA=×1×c×=，
解得c=4，
根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，
解得a=，
根据正弦定理====，
则=．
故答案为：
【点睛】
此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦定理建立了三角形的边与角之间的关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
17．
【解析】
试题分析：在中，，，在中，由正弦定理得，得.
考点：1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用.
18．(1).
(2).
【解析】
分析：（1）先正弦定理化边为角，解得，再根据平方关系求结果，（2）由余弦定理以及，解得，再根据三角形面积公式求结果.
详解：（1）由正弦定理及，有，
即，所以，
又因为，所以，
因为，所以，又，所以。
（2）在△ABC中，由余弦定理可得，又，
所以有，即，所以△ABC的面积为.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
19．(1) A＝
(2)a＝
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理将边、角关系转化成角的关系，再运算三角形的内角和定理和两角和的正弦公式转化，可求得角A;

（2）在中运用正弦定理，求得，再由角平分线得，再由三角形内角和定理得到，再在中运用余弦定理，可求得a.
【详解】
(1)，由正弦定理得，
所以，
，
又；
(2)在中，由正弦定理得，,
∴＝ ,又， ，∴ ，
,
因为BD平分角B， ， ，所以 ，
在中，由余弦定理，， .
故得解.
【点睛】
本题考查运用正弦定理和余弦定理解三角形，关键在于分析已知条件进行边、角关系统一成边的关系或角的关系和选择合适的定理求解，属于中档题.
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用面积公式可以求出sin∠ABD的值，利用同角三角函数的关系求出cos∠ABD的值，利用余弦定理，求出AD的长；
（2）利用AB⊥BC，可以求出以sin∠CBD的大小，利用∠BCD＝2∠ABD，可求出sin∠BCD
的大小，通过角之间的关系可以得到所以△CBD为等腰三角形，利用正弦定理，可求出CD的大小，最后利用面积公式求出△CBD的面积．
【详解】
(1)由已知＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，
可得sin∠ABD＝，又∠ABD∈，所以cos∠ABD＝，
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，
可得AD2＝5，所以AD＝.
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝，
又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD，在△CBD中，由正弦定理，得CD，
所以.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.
21．（1）；（2）1
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.
试题解析：
（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．
设，则，
在△与△中，由余弦定理可知，
，
，
∵，∴，
∴，解得，
即．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．

22．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.
试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．
因为0（2）由S＝bcsin A＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝.
从而由正弦定理得sin B sin C＝sin A×sin A＝sin2A＝×＝.
考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.
【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.













试卷第1页，总3页


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