1.1 正弦定理 同步测试卷（含答案解析）

正弦定理课时测试卷
一、单选题
1．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
2．在中，内角的对边分别为，若，则角为（ ）
A． B． C． D．
3．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为(　　)
A． B．
C． D．
4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为.若，，则用“三斜求积公式”求得的( )
A． B． C． D．
5．在△ABC中，如果a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的情况为( ).
A．一解 B．两解 C．无解 D．不确定
6．已知中，则等于（ ）
A．60°或120° B．30° C．60° D．30°或150°
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，则△ABC的面积等于( )
A． B． C．1 D．
8．中，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．锐角三角形
9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 （ ）
A．,有两解 B．,有一解
C．,无解 D．,有一解
10．在中，若，，，则满足条件的（ ）
A．有一个 B．有两个 C．不存在 D．不能确定
11．在中,分别为角的对边),则的形状为
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
12．在中，一定成立的等式是（ ）
A． B．
C． D．


二、填空题
13．在中，，，，则________．
14．在中，若，，，则__________ .
15．在中，，，若此三角形有两解，则的取值范围是______.
16．在△ABC中，若，则△ABC的形状是_______．
17．在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=1，则 =______．

三、解答题
18．设 的内角 的对边分别为 已知 ．
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
19．在中，已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若求的面积.
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=2C，2b=3c.
（I）求cosC的值
（II）求sin(2C+)的值.
21．在中，角A，B．C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求A的大小，
（2）求的取值范围
22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
（1）求A，C的大小．
（2）当时，的最大值为a，求的面积．



参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】
因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
2．A
【解析】
【详解】
试题分析：
因为，
那么结合，
所以cosA==，
所以A=，故答案为A
考点：正弦定理与余弦定理
点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.
3．D
【解析】
【分析】
根据正弦定理分别求得和 ，最后三边相加整理即可得到答案．
【详解】
根据正弦定理 ，

的周长为.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．
4．D
【解析】
【分析】
根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=24，则由a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA得a2+c2﹣b2=27，利用公式可得结论．
【详解】
由 可得，
由 可得，
整理计算有：，
结合三角形面积公式可得： .
故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5．B
【解析】
【详解】
∵，
，
即，
又，∴的取值有两种情况．
故选B.
6．A
【解析】
试题分析：由正弦定理得
考点：正弦定理
7．A
【解析】
∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA.∴sinB＝.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝acsinB＝×3×＝，故选A.
8．B
【解析】
【分析】
通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．
【详解】
因为sinC=2sinAcosB，所以sin（A+B）=2sinAcosB，
所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin（A-B）=0，
因为A，B，C是三角形内角，所以A=B．
三角形的等腰三角形．
故答案为B．
9．D
【解析】
项中，故三角形一个解，项说法错误；项中，故有锐角和钝角两种解, 项说法错；项中
，故有解，项说法错；项中一定为锐角，有一个解，项说法正确，故选D.
10．C
【解析】
【分析】
根据正弦定理求出，然后进行判断可得结论．
【详解】
若满足条件的存在，则由正弦定理得，
即，
所以．
又，
所以满足条件的三角形不存在．
故选C．
【点睛】
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的讨论，解题时可根据正弦定理得到一个角的正弦值，然后根据此正弦值及角的大小得到解的情况；另外，解题中要注意三角形中边角关系的运用．
11．A
【解析】
∵∴∴
∴由余弦定理,得,∴∴
∴为直角三角形.
12．C
【解析】
本题考查正弦定理.
在中，由正弦定理得故选C
13．
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理得.所以答案应填：．
考点：1、正弦定理；2、三角形内角和定理．
14．
【解析】
在中，若，，∴ A 为锐角，，，则根据正弦定理=．
15．
【解析】
【分析】
先由正弦定理得到，再根据三角形有两解，得到，求解，即可得出结果.
【详解】
因为在中，，，
由正弦定理可得：，
即，
又三角形有两解，所以只需，即.
故答案为
【点睛】
本题主要考查由三角形解的个数求参数，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
16．等腰
【解析】
利用正弦定理边化角得：故A=B所以△ABC的形状是等腰
17．
【解析】
【分析】
利用三角形的面积公式S=AB?ACsinA即可求得答案．
【详解】
∵在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=1，
∴△ABC的面积S=AB?ACsinA
=×2×1×
=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形的面积公式，属于基础题．
18．（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用（1）的结论，余弦定理及三角形的面积公式求出结果．
【详解】
（1）∵b=a（cosC﹣sinC），
∴由正弦定理得sinB=sinAcosC﹣sinAsinC，
可得sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC﹣sinAsinC，
∴cosAsinC=﹣sinAsinC，
由sinC≠0，得sinA+cosA=0，
∴tanA=﹣1，
由A为三角形内角，
可得．
（2）因为，
所以由正弦定理可得b=c，
因为a2=b2+c2﹣2bccosA，，
可得c=，所以b=2，
所以．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】
（Ⅰ）且，∴．
-
．
（Ⅱ）由正弦定理得，即，解得．
则的面积-
20．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
分析：（Ⅰ）由2b=3c及正弦定理可得，然后将B=2C代入后整理可得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故得，于是可求得，最后根据两角和的正弦公式求解．
详解：（Ⅰ）由2b=3c及正弦定理可得，
又B=2C，
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
∴，
∴，．
∴．
点睛：解三角形的问题和三角变换常常综合在一起考查，解题时要根据所给出的条件利用正弦定理、余弦定理将边角之间进行合理的转化，然后再根据题意进行求解，进行变换时要注意对所用公式的选择．
21．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理，将原式化简，即可求出结果；
（2）根据（1）的结果，将化为，化简整理，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】
（1）由可得：
，
所以，则；
（2）
，．
，，

【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，以及三角函数的性质即可，属于常考题型.
22．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，得到，由此求得的大小，进而求得的大小.（2）利用二倍角公式化简表达式并进行配方，根据的取值范围，求得的取值范围，结合二次函数的性质，对进行分类讨论，结合的最大值为列方程，由此求得的值.
【详解】
（1）由条件知
，
得，则，
（2）．
，．
当时，，取得最大值，得，
．；
当时，，取得最大值，
，不符合，舍去；
当时，，取得最大值，舍去．
综上所述，的面积为
【点睛】
本小题主要考查正弦定理边角互化，考查两角和的正弦公式，考查二次函数求最值的方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.













试卷第1页，总3页


试卷第1页，总3页