9.4 矩形、菱形、正方形学案（无答案）

矩形，菱形，正方形 知识点一：矩形定义及性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫长方形。 2.矩形的性质：（1）对称性：矩形是中心对称图形也是轴对称图形。（2）边：对边相等且平行。（3）角：四个角都是直角。（4）对角线：对角线相等且互相平分。 命题点①：矩形中的计算 例1：如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=????. 针对性训练 1.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为?? ? ? ? ? ?。 命题点②：运用矩形的性质证明相等关系 例2：如图，在矩形ABCD中，BF=CE。求证：AE=DF。 针对性训练 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连接OE，OF。求证：OE=OF。 知识点2：矩形的判定 矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③三个角是直角的四边形是矩形。 命题点③：矩形的判定方法 例3：如图，在中，，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF。: （1）求证：。 （2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形。 针对性训练 3.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC。 ①求证：CD=AN。②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形。 命题点④：添加条件构造矩形 例4.如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论．?
针对性训练 4.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF。 （1）线段BD与CD有何数量关系，为什么？。 （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？，请说明理由。 知识点3：菱形的定义及性质 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质：（1）对称性：菱形是中心对称图形也是轴对称图形。（2）边：四边相等且对边平行。 （3）角：对角相等。（4）对角线：互相垂直平分。 命题点⑤：菱形中的计算 例5.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（??） A．3.5????? B．4????? C．7????? D．14 针对性训练 5.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO。若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（??）。 A.28° B.52° C.62° D.72° 命题点⑥：运用菱形的性质进行证明 例6.如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE。（1）如图1，求证：∠AFD=∠EBC。 （2）如图2，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数。 （3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数。（只写出条件与对应的结果） 针对性训练 6.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH. 求证:∠DHO=∠DCO. 知识点④：菱形的判定：菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形。 命题点⑦：菱形的判定方法 例7.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE。 （1）求证：∠CEB=∠CBE。（2）求证：四边形BCED是菱形。 针对性训练 7.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F.求证：四边形BEDF是菱形. 命题点⑧：添加条件构造菱形 例8.如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连接DF，
(1)求证:△DOE≌△BOF
(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由. 针对性训练 8.如图,已知AD是△ABC的角平分线,点E、F分别是边AC、AB的中点,连接DE、DF,在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF称为菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是 ．并证明你的结论。 命题点⑨：利用菱形证明线段的垂直关系 例9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知三角形OAB是正三角形．?
（1）四边形ABCD是矩形吗？说明理由；?
（2）若AE∥BD，DE∥AC，求证：OE⊥AD． 针对性训练 9.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F.
(1)探索线段OE和OF的大小关系并说明理由;
(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?请说明理由. 知识点5：正方形定义及性质 1.正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质。 命题点⑩：正方形中的计算 例10.如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，则BF=_____cm。 针对性训练 10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为?? ? ? ? ? ?。 （例11图） 命题点?：运用正方形的性质证明相等关系 例11.已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF，连接DE、DF。求证：DE=DF。 针对性训练 11.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G。 （1）求证：AE=CF。 （2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小。 命题点?：正方形的判定 例12.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上点.过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M、N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB； (2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形. 针对性训练 12.如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,DE⊥AC、DF⊥AB,垂足分别是E、F,且BF=CE.
(1)求证:DE=DF;(2)当∠A=90°时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,并证明你的结论. 命题点?：添加条件构造正方形 例13.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E。（1）求证：四边形ADCE为矩形。（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。 针对性训练 13.已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E。（1）求证：△AOD≌△EOC。（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB_____时，四边形ACED是正方形？请说明理由。 多维解题方略 类型题：线段之和最短问题 例：如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（??）。 A:? B:? C:? D:? 针对性训练 如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为?? ? ? ? ? ?。 易错易混警示 易错点：混淆平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质 例：正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A.对角线互相垂直平分B.内角和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角 得分高手体验： 例：如图,正方形ABCD内有一个内接△AEF,若∠EAF=45°,AB=8厘米,EF=7厘米,则△EFC的面积是 ． 针对性训练 在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ABC=∠ADC=90°,BC=2,CD=11,自D作DH⊥AB于H,则DH的长是(?)
A.?7.5 B.?7 C.?6.5 D.?5.5 【课后作业】 1.如图所示，甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形。则（??）。 A: 甲、乙都可以 B: 甲、乙都不可以 C: 甲不可以，乙可以 D: 甲可以，乙不可以 2.下列命题是真命题的是（ ?）。 A: 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B: 对角线相等的四边形是矩形 C: 对角线互相垂直的四边形是菱形 D: 对角线互相垂直的四边形是正方形 3.边长为3cm的菱形的周长是（??）。 A:?6cm B:?9cm C:?12cm D:?15cm 4.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，。以上结论中，你认为正确的有（??）个。 A:?1 B:?2 C:?3 D:?4 5.已知菱形ABCD的面积为24cm?，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为? ? ? ?cm。 6.如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于?? ? ?。 7.如图所示，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC。从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是_____（只填写序号）。 8.如图,矩形ABCD的面积为20cm?,对角线交于点O;以AB、AO为邻边作平行四边形,对角线交于点;以AB、为邻边作平行四边形;;依此类推,则平行四边形的面积为 ． 9.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是为E,F,并且DE=DF. （1）求证：△AED≌△CFD； （2）求证:四边形ABCD是菱形. 10.如图，在正方形中，BE=DF （1）求证：CE=CF。 （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 11.如图,E是矩形ABCD边BC的中点,P是AD边上一动点,PF⊥AE,PH⊥DE,垂足分别为F,H.
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PHEF是矩形?请予以证明;
(2)在(1)中,动点P运动到什么位置时,矩形PHEF变为正方形?为什么?
12.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F。 （1）证明：PC=PE。 （2）求∠CPE的度数。 （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由。


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