向量的概念
教学重难点
教学目标
核心素养
向量的概念
理解向量的有关概念及向量的几何表示
数学抽象
共线向量、相等向量
理解共线向量、相等向量的概念
数学抽象
向量与几何的关系
正确区分向量平行与直线平行
直观想象
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
向量的有关概念
例1：判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
（2）若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
（4）向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
解：（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
（2）不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系．
（3）正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．
（4）不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
规律方法：
（1）理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
（2）共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
探究点2：
向量的表示及应用
例2：（1）如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
（2）在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°处；
②，使||＝4，点B在点A正东处；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°处．
解：（1）可以写出12个向量，分别是：，，，，，，，，，，，，故填12.
（2）①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
②由于点B在点A正东处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
规律方法：
（1）向量的两种表示方法
①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
②字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．
（2）两种向量表示方法的作用
①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
②用字母表示法表示向量，便于向量的运算．
探究点3：
相等向量和共线向量
例3：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与a共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与a，b，c相等的向量．
解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有，，，．
（2）与a共线的向量有，，，，，，，，．
（3）与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，．
互动探究
1．[变问法]本例条件不变，试写出与向量相等的向量．
解：与向量相等的向量有，，．
2．[变条件，变问法]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．
解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1．
规律方法：
相等向量与共线向量的探求方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
二、课堂总结
1．位移与向量
（1）向量的概念
一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）．
向量的大小也称为向量的模（或长度）；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量．
（2）向量的表示方法
①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示．除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量．
②始点和终点相同的向量称为零向量．零向量的模为0．零向量的方向是不确定．模不为0的向量通常称为非零向量．模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1．
■名师点拨
向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
2．向量的相等与平行
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．
如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b．两个向量平行也称为两个向量共线．
■名师点拨
共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
三、课堂检测
1．下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B．①错误．温度是数量不是向量；②错误．零向量的模为0．③正确．因为零向量与任意向量共线；④错误．向量不能比较大小．
2．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是（ ）
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
解析：选D.由正方形的性质知||＝||＝||＝||．
3．在下列判断中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向向量；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
解析：选D．由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D．
4．在下列命题中：
①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．
正确命题的序号是________．
解析：由向量的相关概念可知④⑥正确．
答案：④⑥
向量的加法
教学重难点
教学目标
核心素养
向量加法的概念
理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律
数学抽象
向量加法的运算法则
掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算
数学运算
数与向量的类比
数的加法与向量的加法的联系与区别
逻辑推理
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
向量加法运算法则的应用
例1：（1）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）：
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________．
（2）①如图甲所示，求作向量和a＋b．
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c．
解：（1）如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝．
②＋＝＋＝．
③＋＋＝＋＋＝．
故填①，②，③．
（2）①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b．如图所示．
②法一（三角形法则）：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二（平行四边形法则）：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b．再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
互动探究：
1．[变问法]在例1（1）条件下，求＋．
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝．
2．[变问法]在例1（1）图形中求作向量＋＋．
解：过A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延长线于点G，
则＋＝．作＝，连接，
则＝＋＋，如图所示．
规律方法：
（1）三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
（2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
（3）求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．
探究点2：
向量加法运算律的应用
例2：（1）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有________．（将正确结论的序号填在横线上）
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|．
（2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋．
解：（1）由条件得，（＋）＋（＋）＝0＝a，故①③正确．
（2）①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
规律方法：
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
（2）应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
探究点3：
向量加法的实际应用
例3：如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）．
解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝．
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°．
所以||＝||·cos30°
＝10×＝5，
||＝||cos60°＝10×＝5．
所以A处所受的力为5N，B处所受的力为5N．
规律方法：
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
二、课堂总结
1．向量加法的三角形法则
一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和（也称为向量a与b的和向量），向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝．
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．
对任意向量a，有a＋00＋a＝a．
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|．
2．向量加法的平行四边形法则
一般地，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此＝＋＝＋．
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．
由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a．
3．多个向量相加
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．
因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序．例如
（a＋b）＋（c＋d）＝a＋[（b＋c）＋d]＝[（d＋c）＋a]＋b．
三、课堂检测
1．化简＋＋等于（ ）
A． B．
C． D．
解析：选C．＋＋＝．
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是（ ）
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
解析：选C．在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝．
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
解析：在菱形ABCD中，连接BD（图略），
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
又因为||＝1，所以||＝1，
|＋|＝||＝1．
答案：1
4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝．
所以|a＋b|＝||
＝＝8（km），
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向．
答案：8km 东北方向
向量的减法
教学重难点
教学目标
核心素养
相反向量
理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义
数学抽象
向量的减法
掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算
数学运算
与向量加法的关系
能将向量的减法运算转化为向量的加法运算
数学建模、逻辑推理
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
向量减法的几何意义
例1：如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
解：法一：（几何意义法）如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c．
法二：（定义法）如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c．
规律方法：
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可．
（2）也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
探究点2：
向量加减法的运算及简单应用
例2：（1）化简：①＋－＝________；
②＋（＋）＋＝________；
③－－－＝________．
（2）如图，①用a，b表示；
②用b，c表示．
解：（1）①＋－＝＋（－）＝＋＝0；
②＋（＋）＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝0；
③－－－＝（－）－（＋）＝．
故填①0，0，．
（2）因为＝a，＝b，＝c．
①＝－＝－－＝－a－b．
②＝－＝－（＋）＝－b－c．
规律方法：
（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和．
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
（3）与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量相等、平行等关系辅助化简运算．
探究点3：
向量减法几何意义的应用
例3：已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解：因为|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，
所以3≤|－|≤15．
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15．
所以|－|的取值范围为[3，15]．
互动探究
[变条件，变问法]将本例的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围．
解：因为＝－，||＝8，||＝5，
|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以3≤||≤13，
当与同向时，||＝3，
当与反向时，||＝13，
所以||的取值范围是[3，13]．
规律方法：
（1）用向量法解决平面几何问题的步骤
①将平面几何问题中的量抽象成向量．
②化归为向量问题，进行向量运算．
③将向量问题还原为平面几何问题．
（2）用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．
②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
二、课堂总结
1．一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a与b的差（也称为向量a与b的差向量），即－＝．上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则．
2．给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a．因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0．
不难看出，a＋（－a）＝0，＋（－）＝0．
向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即a－b＝a＋（－b）．
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
三、课堂检测
1．在平行四边形ABCD中，－等于（ ）
A． B．
C． D．
解析：选A．－＝＝．
2．下列等式：
①0－a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋（－b）；⑥a＋（－a）＝0．正确的个数是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C．由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确；⑥错误．
3．化简－＋－＝________．
解析：－＋－
＝（＋）＋（－）
＝＋
＝0．
答案：0
4．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
解析：如图，在矩形OACB中，－＝，则|a－b|＝||＝＝＝13．
答案：13
数乘向量
【教学目标】
要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义。
【教学重难点】
实数与向量积的定义及几何意义。
【教学过程】
一、探究新知
1．思考：（引入新课）已知非零向量作出++和（(）+（(）+（(）
==++=3
==（(）+（(）+（(）=(3
讨论：①3与方向相同且|3|=3||
②(3与方向相反且|(3|=3||
2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
①|λ|=|λ|||
②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=（请学生自己解释其几何意义）
二、展示投影
思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
结合律：λ（μ）=（λμ） ①
第一分配律：（λ+μ）=λ+μ ②
第二分配律：λ（+）=λ+λ ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立
如果λ(0，μ(0，(有：|λ（μ）|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|（λμ）|=|λμ|；||=|λ||μ|||
∴|λ（μ）|=|（λμ）|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。
从而λ（μ）=（λμ）
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ(0，μ(0，(
当λ、μ同号时，则λ和μ同向，
∴|（λ+μ）|=|λ+μ|||=（|λ|+|μ|）||
|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=（|λ|+|μ|）||
∵λ、μ同号
∴②两边向量方向都与同向
即：|（λ+μ）|=|λ+μ|
当λ、μ异号，当λ>μ时，②两边向量的方向都与λ同向
当λ<μ时，②两边向量的方向都与μ同向
还可证：|（λ+μ）|=|λ+μ|
∴②式成立
第二分配律证明：
如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当(，(且λ(0，λ(1时
1(当λ>0且λ(1时在平面内任取一点O，
作= = =λ =λ
则=+ λ+λ
由作法知：∥有(OAB=(OA1B1 ||=λ||
∴λ ∴△OAB∽△OA1B1
∴λ(AOB=(A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ|，与λ方向也相同
λ（+）=λ+λ
当λ<0时，可类似证明：λ（+）=λ+λ
∴③式成立
三、课堂小结
若有向量（(）、，实数λ，使=λ，则由实数与向量积的定义知：与为共线向量；
若与共线（(）且||：||=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=(μ；
从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。
向量的线性运算
【教学目标】
理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算.
【教学重难点】
向量的运算律.
【教学过程】
一、问题导入
在之前的学习中我们已经认识了向量的加法、减法以及数乘运算，那么，向量能否像数字一样进行加、减、乘的混合运算呢？
二、新知初探
1．向量的线性运算
【例】（1）若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
（2）化简下列各式：
①3(6a＋b)－9；②[(3a＋2b)－]－2；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．
【解】（1）由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a．故填4b－3a．
（2）①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．
②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．
【教师小结】向量线性运算的方法：
（1）向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
2．利用已知向量表示相关向量
【例】（1）如图，?ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
（2）如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
【解】（1）选D．＝＋＝＋
＝－＝a－b．
（2）由三角形中位线定理，知DE＝BC，故＝，即＝a．
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b．
＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b．
【教师小结】用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
3．利用向量判断三点共线
【例】已知非零向量e1、e2 不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线．
【证明】因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．
【教师小结】利用向量判断三点共线的方法：
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
三、课堂总结
向量的线性运算：
（1）向量的加法与数乘向量的混合运算
一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a．
一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb．
（2）向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．
四、课堂检测
1．下列命题中正确的个数是( )
①＋＝0；②－＝；③0·＝0.
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选A．由两相反向量的和为零向量知①正确；
由向量的减法运算法则知，－＝，②错；
由数乘向量的意义知0·＝0，③错；
即正确的个数是1，故选A．
2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
解析：选A．法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A．
法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A．
3．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．
其中，向量a，b一定共线的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：选A．对于①，b＝－a，有a∥b；
对于②，b＝－2a，有a∥b；
对于③，a＝4b，有a∥b；
对于④，a与b不共线．
4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b．
解析：由题意知a＝－b．
答案：－
向量基本定理
【教学目标】
1．掌握共线向量基本定理．
2．理解平面向量基本定理．
【教学重难点】
1．共线向量基本定理．
2．平面向量基本定理．
【教学过程】
一、问题导入
在之前的学习中我们已经知道，当存在实数λ，使得b=λa时，b//a．那么，这个结论反过来是否成立呢？
二、新知探究
1．共线向量基本定理
例：已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？
解：若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ（6m－8n）．
因为m，n不共线，所以
因为不存在λ同时满足此方程组，
所以a与b不共线．
教师小结：共线向量基本定理：
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ．
2．用基底表示向量
如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，．
解：由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b．
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b．
教师小结：平面向量基本定理：
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得c＝xa＋yb．
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．
3．直线的的向量参数方程式的应用
例：已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有＝3λ＋（1－3λ）（λ∈R，点O为直线AB外的一点），则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由．
解：法一：3λ＋（1－3λ）＝1且λ∈R，结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB．
法二：将已知向量等式两边同时减去，得
－＝（3λ－1） ＋（1－3λ）
＝（1－3λ）（－）
＝（1－3λ），
即＝（1－3λ），λ∈R，
所以A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB．
三、课堂检测
1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解析：选D．由于，不共线，所以可以作为一组基底．
2．设D为△ABC所在平面内一点，若＝3，则（ ）
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A．因为＝3，
所以－＝3（－）＝3－3，
所以3＝4－，
所以＝－＝－＋．
3．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，
所以解得
所以x－y＝3．
答案：3
直线上向量的坐标及其运算
【教学目标】
理解直线上向量的坐标的含义及其运算.
【教学重难点】
直线上向量的坐标及其运算.
【学习过程】
一、问题导入
之前我们所学的向量都是从几何的角度来进行表示的，那么是否有代数的方法可以对向量进行表示？
这节课就让我们来看看向量和坐标相结合会产生什么奇妙的反应！
二、新知探究
1．直线上向量的坐标
【例】已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1．
（1）x2＝－5，的坐标为－3；
（2）x2＝－1，||＝2．
【解】（1）因为的坐标为x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8．
（2）因为||＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3．
【教师小结】直线上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
【例】已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3，7，求，，的坐标和长度．
解：的坐标为(－3)－(－8)＝5，||＝5；
的坐标为7－(－3)＝10，||＝10；
的坐标为(－8)－7＝－15，||＝15．
【教师小结】直线上向量的长度计算方法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．
三、课堂总结
直线上向量的运算与坐标的关系：
假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即
a＝x1e，b＝x2e，则a＝b?x1＝x2;__a＋b＝(x1＋x2)e．
如果u，v是两个实数，那么ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，
ua－vb的坐标为ux1－vx2．
设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1e，＝x2e，因此，
＝－＝x2e－x1e＝(x2－x1)e．
AB＝||＝|x2－x1|．
四、课堂检测
1．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4．若xM＝－3，则xN等于( )
A．1 B．2
C．－7 D．1或－7
解析：选D．|MN|＝|xN－(－3)|＝4，
所以xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7．
2．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d．
（1）若||＝6，求d的值；
（2）若＝－3，求证：3＝－4.
解：（1）因为||＝6，
所以|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
所以d＝4或d＝－8．
（2）证明：因为的坐标为c＋4，的坐标为d＋4，
所以c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16．
因为3的坐标为3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，
－4的坐标为－4[c－(－4)]＝－4c－16
＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，
所以3＝－4.
平面向量的坐标及其运算
【教学目标】
1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．
2．理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．
3．掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．
4．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法．
【教学重难点】
1．向量的正交分解．
2．平面向量的坐标．
【教学过程】
一、新知探究
1．平面向量的坐标表示
例：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形．
（1）求向量a，b的坐标；
（2）求向量的坐标；
（3）求点B的坐标．
解：（1）作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin45°＝4×＝2，
所以A（2，2），故a＝（2，2）．
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°．又OC＝AB＝3，
所以C，
所以＝＝，
即b＝．
（2）＝－＝．
（3）因为＝＋
＝（2，2）＋
＝．
所以点B的坐标为（2－，2＋）．
教师小结：
平面内求点、向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
（2）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
2．平面向量的坐标运算
例：（1）已知a＋b＝（1，3），a－b＝（5，7），则a＝________，b＝________．
（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
解：（1）由a＋b＝（1，3），a－b＝（5，7），
所以2a＝（1，3）＋（5，7）＝（6，10），
所以a＝（3，5），
2b＝（1，3）－（5，7）＝（－4，－4），
所以b＝（－2，－2）．
（2）法一（待定系数法）：由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
可得＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3），
所以＝3＝3（1，8）＝（3，24），
＝2＝2（6，3）＝（12，6）．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），x1＝0，y1＝20；
＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），x2＝9，y2＝2，
所以M（0，20），N（9，2），
＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）．
法二（几何意义法）：设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，
可得－＝3（－），－＝2（－），
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），
＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2），
即点M（0，20），N（9，2），
故＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）．
教师小结：
平面向量坐标的线性运算的方法
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
3．判定直线平行、三点共线
例：（1）已知A，B，C三点共线，且A（3，－6），B（－5，2），若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为（ ）
A．－13 B．9
C．－9 D．13
（2）已知A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：（1）选C．设C（6，y），因为∥，
又＝（－8，8），＝（3，y＋6），
所以－8×（y＋6）－3×8＝0，所以y＝－9．
（2）因为＝（1－（－1），3－（－1））＝（2，4），
＝（2－1，7－5）＝（1，2）．
又2×2－4×1＝0，所以∥．
又＝（2，6），＝（2，4），所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以AB∥CD．
4．已知平面向量共线求参数
例：已知a＝（1，2），b＝（－3，2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：法一（共线向量定理法）：ka＋b＝k（1，2）＋（－3，2）＝（k－3，2k＋2），
a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4），
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ（a－3b）．
由（k－3，2k＋2）＝λ（10，－4），
所以解得k＝λ＝－．
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－（a－3b），
因为λ＝－<0，
所以ka＋b与a－3b反向．
法二（坐标法）：由题知ka＋b＝（k－3，2k＋2），a－3b＝（10，－4），
因为ka＋b与a－3b平行，
所以（k－3）×（－4）－10×（2k＋2）＝0，
解得k＝－．
此时ka＋b＝＝－（a－3b），
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
教师小结：
向量共线的判定方法
二、课堂总结
1．平面向量的坐标
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称（x，y）为向量a的坐标，记作a＝（x，y）．
方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为（x，y）（通常记为A（x，y）），那么向量对应的坐标也为（x，y），即＝（x，y）；反之结论也成立．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
设平面上两个向量a，b满足a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a＝b? x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）．
设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝（ux1＋vx2，uy1＋vy2），ua－vb＝（ux1－vx2，uy1－vy2）．
如果向量a＝（x，y），则|a|＝．
4．向量平行的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b? x2y1＝x1y2．
三、课堂检测
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．a＝（0，0），b＝（2，3）
B．a＝（1，－3），b＝（2，－6）
C．a＝（4，6），b＝（6，9）
D．a＝（2，3），b＝（－4，6）
解析：选D．只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D．
3．已知两点A（2，－1），B（3，1），则与平行且方向相反的向量a可以是（ ）
A．（1，－2） B．（9，3）
C．（－2，4） D．（－4，－8）
解析：选D．由题意，得＝（1，2），所以a＝λ＝（λ，2λ）（其中λ＜0）．符合条件的只有D项，故选D．
4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A（2，1），B（1，3），则点C的坐标为________．
解析：设C的坐标为（x，y），则由已知得＝，所以（x，y）＝（－1，2）．
答案：（－1，2）
5．已知点A（1，3），B（4，－1），则与向量同方向的单位向量为________．
答案：
平面向量线性运算的应用
【教学目标】
1．能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
2．熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用.
【教学重难点】
用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
【教学过程】
一、问题导入
如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45°的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行.
问题1 水平方向OA上的拉力多大？
问题2 物重G是多少？
提示1 200×cos 45°＝100(N)，方向向右.
提示2 200×sin 45°＝100(N).
二、新知探究
1．用向量解决平面几何问题
【例1】 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
（1）求AO∶OF与CO∶OE的值；
（2）证明AF，BD，CE交于一点O.
（1）解 因为＝＋＝＋，
又因为E，F都是中点，所以
＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，即
(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1．
（2）证明 要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可.
由（1）可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－＝(＋)，
又＝(＋)，∴∥，又与有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点.
规律方法 利用向量线性运算解决几何问题的思路：
（1）把几何元素化为向量；
（2）进行向量的线性运算；
（3）把结果翻译成几何问题.
【训练1】 如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积.
解 设＝a，＝b为一组基底.
则＝a＋b，＝a＋b．
因为点A，P，E和D，P，C分别共线，
所以存在λ和μ使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb．
又因为＝＋＝a＋μb，
所以解得
所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8 (cm2)，
S△PBC＝S△ABC＝×14＝2 (cm2)，
故S△APC＝14－8－2＝4 (cm2).
2．用向量坐标解决平面几何问题
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).
设||＝λ(λ>0)，
则F，P，
E.
所以＝，
＝，
因为||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
所以||＝||，即PA＝EF.
规律方法 用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键.
【训练2】 证明直角三角形ABC斜边AB上的中线CD等于斜边AB的一半.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系.设C(0，0)，A(a，0)，B(0，b).
则AB＝，中点D的坐标为，
即＝，OD＝||＝＝，即CD＝，故CD＝AB．
3．平面向量在物理中的应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
解 设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0.
以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝－f2，＝－f1，＝f.
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∠FCE＝90°，
∴四边形CEWF为矩形.
∴||＝||cos 30°＝5，
||＝||cos 60°＝5．
即A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.
规律方法 由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.
【训练3】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.
解 依据物理知识，有三个相对速度：汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即：v风地＝v风车＋v车地，如图，根据向量加法的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段是?ACDB的对角线.因为||＝4 m，∠ACD＝30°，
||＝2，
所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，
||＝||·cos 30°＝2(m/s).
所以风的实际方向是吹向正南方向；汽车速度的大小为2 m/s.
三、课堂小结
1．通过学习平面向量线性运算的应用，培养运算、分析和解决实际问题的能力，提升直观想象、数学运算和逻辑推理素养.
2．对于解决平面几何问题，首先要结合图形的特点，确定能否建立平面直角坐标系是关键.
3．力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成.
四、课堂检测
1．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9，1) B．(1，9)
C．(9，0) D．(0，9)
解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
＝＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).
答案 A
2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析 由||2＝16，得||＝4，
|＋|＝|－|＝||＝4，
而|＋|＝2||，故||＝2，故选C．
答案 C
3．若＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为________.
解析 ∵F1＋F2＝(0，5)，∴|F1＋F2|＝＝5．
答案 5
4．如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上.
证明 设＝m，＝n，由＝＝，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋＝(m＋n)－m
＝m＋n.∴＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
