向量的概念
【学习目标】
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示
2．理解共线向量、相等向量的概念
3．正确区分向量平行与直线平行
【学习重难点】
1．向量的概念
2．共线向量、相等向量
3．向量与几何的关系
【学习过程】
问题导学
预习教材P133－P136的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？怎样表示向量？
2．向量的相关概念有哪些？
3．两个向量能比较大小吗？
【新知初探】
1．位移与向量
（1）向量的概念
一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）。
向量的大小也称为向量的模（或长度）；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量。
（2）向量的表示方法
①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示。除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量。
②始点和终点相同的向量称为零向量。零向量的模为0.零向量的方向是不确定。模不为0的向量通常称为非零向量。模等于1的向量称为单位向量。e是单位向量的充要条件是|e|＝1．
■名师点拨
向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。
2．向量的相等与平行
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量。
如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行。两个向量a和b平行，记作a∥B．两个向量平行也称为两个向量共线。
■名师点拨
共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）零向量没有方向。（ ）
（2）向量的长度和向量的模相等。（ ）
（3）单位向量都平行。（ ）
（4）零向量与任意向量都平行。（ ）
2．在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速。其中可以看成是向量的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．关于零向量，下列说法中错误的是（ ）
A．零向量是没有方向的
B．零向量的长度为0
C．零向量只与零向量相等
D．零向量的方向是任意的
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________（填序号）。
①与；②与；
③与；④与。
探究一：向量的有关概念
1．判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
（2）若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
（4）向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反。
[规律方法]
（1）理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等。
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向。
（2）共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别。
②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同。
③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同。
2．给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上。
其中正确命题的序号是________。
探究二、向量的表示及应用
1．（1）如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量。
（2）在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°处；
②，使||＝4，点B在点A正东处；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°处。
[规律方法]
（1）向量的两种表示方法
①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点。
②字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等。
（2）两种向量表示方法的作用
①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础。
②用字母表示法表示向量，便于向量的运算。
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点。
（1）作出向量，，；
（2）求的模。
探究三、相等向量和共线向量
3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝C．
（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与a共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与a，b，c相等的向量。
[互动探究]
1．[变问法]本例条件不变，试写出与向量相等的向量。
2．[变条件，变问法]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长。
[规律方法]
相等向量与共线向量的探求方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线。
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。
3．如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形。
（1）找出与向量共线的向量；
（2）找出与向量相等的向量。
【达标测评】
1．下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是（ ）
A．相等的向量
B．平行的向量
C．有相同起点的向量
D．模相等的向量
3．在下列判断中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向向量；
⑤任意向量与零向量都共线。
A．①②③
B．②③④
C．①②⑤
D．①③⑤
4．在下列命题中：
①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量。
正确命题的序号是________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×
（2）√
（3）×
（4）√
2．解析：选B．①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量。
3．答案：A
4．答案：①④
探究一：向量的有关概念
1．【解】（1）不正确。因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小。
（2）不正确。由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系。
（3）正确。因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．
（4）不正确。因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定。
2．解析：①错误。若b＝0，则①不成立。
②错误。起点相同的单位向量，终点未必相同。
③正确。对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的。
④错误。共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可。并不要求两个向量，必须在同一直线上。
答案：③
探究二、向量的表示及应用
1．【解】（1）可以写出12个向量，分别是：，，，，，，，，，，，，故填12．
（2）①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等。又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示。
②由于点B在点A正东处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示。
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示。
2．解：（1）作出向量，，，如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米。△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5（米），所以||＝5米。
3．【解】（1）与a的长度相等、方向相反的向量有，，，。
（2）与a共线的向量有，，，，，，，，。
（3）与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，。
[互动探究]
1．解：与向量相等的向量有，，。
2．解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1．
3．解：（1）依据图形可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，。
（2）由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和。
【达标测评】
1．解析：选B．①错误。温度是数量不是向量；②错误。零向量的模为0.③正确。因为零向量与任意向量共线；④错误。向量不能比较大小。
2．解析：选D．由正方形的性质知||＝||＝||＝||。
3．解析：选D．由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确。显然③⑤正确，④不正确，故选D．
4．解析：由向量的相关概念可知④⑥正确。
答案：④⑥
向量的加法
【学习目标】
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律。
2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算。
3．数的加法与向量的加法的联系与区别。
【学习重难点】
1．向量加法的概念。
2．向量加法的运算法则。
3．数与向量的类比。
【学习过程】
问题导学
预习教材P137－P141的内容，思考以下问题：
1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
2．向量的加法如何定义？
3．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
【新知初探】
1．向量加法的三角形法则
一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和（也称为向量a与b的和向量），向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝。
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。
对任意向量a，有a＋00＋a＝A．
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|。
2．向量加法的平行四边形法则
一般地，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此＝＋＝＋。
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则。
由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋A．
3．多个向量相加
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序。例如
（a＋b）＋（c＋d）＝a＋[（b＋c）＋d]＝[（d＋c）＋a]＋B．
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）a＋（b＋c）＝（a＋b）＋C．（ ）
（2）＋＝0.（ ）
（3）求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则。（ ）
2．＋＋等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．边长为1的正方形ABCD中，|＋|＝（ ）
A．2
B．
C．1
D．2
4．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________。
解析：由平行四边形法则可知＋＝。
探究点一：向量加法运算法则的应用
1．（1）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）：
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________。
（2）①如图甲所示，求作向量和a＋B．
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋C．
[互动探究]
1．[变问法]在例1（1）条件下，求＋。
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝。
2．[变问法]在例1（1）图形中求作向量＋＋。
解：过A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延长线于点G，
则＋＝。作＝，连接，
则＝＋＋，如图所示。
[规律方法]
（1）三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量。
（2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合。
（3）求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单。
1．如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心。
则（1）＋＝________；
（2）＋＋＝________；
（3）＋＋＝________。
探究点二：向量加法运算律的应用
2．（1）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有________。（将正确结论的序号填在横线上）
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|。
（2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋。
[规律方法]
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的。实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
（2）应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。
1．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________。
解析：|＋＋＋|＝|（＋）＋（＋）|＝|＋|＝2||＝2。
答案：2
探究点三：向量加法的实际应用
3．如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）。
[规律方法]
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
4．如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和。
【达标反馈】
1．化简＋＋等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是（ ）
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________。
答案：1
4．若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）√
（2）√
（3）×
2．解析：选C．。
3．答案：B
4．解析：由平行四边形法则可知＋＝。
答案：
探究点一：向量加法运算法则的应用
1．解析：（1）＋＝＋＝；
（2）＋＋＝＋＝＋＝；
（3）＋＋＝＋＋＝。
答案：（1）（2）（3）
2．【解】（1）由条件得，（＋）＋（＋）＝0＝a，故①③正确。
（2）①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
3．【解】如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10N的重力用表示，则＋＝。
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°。
所以||＝||·cos30°
＝10×＝5，
||＝||cos60°＝10×＝5．
所以A处所受的力为5N，B处所受的力为5N。
4．解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝。
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600（km），
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以
＝800（km）。
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°。
所以飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800km，方向为北偏东80°。
【达标反馈】
1．解析：选C．＋＋＝。
2．解析：选C．在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝。
3．解析：在菱形ABCD中，连接BD（图略），
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
又因为||＝1，所以||＝1，
|＋|＝||＝1．
4．解析：如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝。
所以|a＋b|＝||
＝＝8（km），
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向。
答案：8km东北方向
向量的减法
【学习目标】
1．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算。
2．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义。
3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算。
【学习重难点】
1．相反向量。
2．向量的减法。
3．与向量加法的关系。
【学习过程】
问题导学
预习教材P142－P144的内容，思考以下问题：
1．一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？
2．任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？
3．向量的减法运算及其几何意义是什么？
【新知初探】
1．一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－B．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a与b的差（也称为向量a与b的差向量），即－＝。上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则。
2．给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－A．因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0.
不难看出，a＋（－a）＝0，＋（－）＝0.
向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即a－b＝a＋（－b）。
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若b是a的相反向量，则a与b一定不相等。（ ）
（2）若b是a的相反向量，则a∥b．（ ）
（3）向量的相反向量是，且＝－。（ ）
（4）－＝。（ ）
2．化简－＋＋的结果等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________。
4．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________。
探究点一：向量减法的几何意义
1．如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－C．
【解】法一：（几何意义法）如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－C．
法二：（定义法）如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－C．
[规律方法]
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可。
（2）也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量。
1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－C．
探究点二：向量加减法的运算及简单应用
2．（1）化简：①＋－＝________；
②＋（＋）＋＝________；
③－－－＝________。
（2）如图，①用a，b表示；
②用b，c表示。
[规律方法]
（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和。
②起点相同且为差。
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用。
（3）与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量相等、平行等关系辅助化简运算。
3．如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示下列向量。
（1）＝________；（2）＝________；
（3）＝________；（4）＝________。
探究点三：向量减法几何意义的应用
4．已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围。
[互动探究]
[变条件，变问法]将本例的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围。
解：因为＝－，||＝8，||＝5，
|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以3≤||≤13，
当与同向时，||＝3，
当与反向时，||＝13，
所以||的取值范围是[3，13]。
[规律方法]
（1）用向量法解决平面几何问题的步骤
①将平面几何问题中的量抽象成向量。
②化归为向量问题，进行向量运算。
③将向量问题还原为平面几何问题。
（2）用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可。
②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键。
5．在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．不确定
【达标反馈】
1．在平行四边形ABCD中，－等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列等式：
①0－a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋（－b）；⑥a＋（－a）＝0.
正确的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．化简－＋－＝________。
4．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×
（2）√
（3）√
（4）×
2．解析：选B．原式＝（＋）＋（＋）＝＋0＝。
3．解析：由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－A．
答案：a＋bb－a
4．答案：，
探究点一：向量减法的几何意义
1．解：法一：先作a－b，再作a－b－c即可。
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝B．连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量。则向量即为所求作的向量a－b－C．
法二：先作－b，－c，再作a＋（－b）＋（－c），如图②。
（1）作＝－b和＝－c；
（2）作＝a，则＝a－b－C．
2．【解】（1）①＋－＝＋（－）＝＋＝0；
②＋（＋）＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝0；
③－－－＝（－）－（＋）＝。
故填①0，0，。
（2）因为＝a，＝b，＝C．
①＝－＝－－＝－a－B．
②＝－＝－（＋）＝－b－C．
3．解析：因为四边形ACDE为平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
所以＝＋＝b－a＋C．
答案：（1）c（2）b－a（3）c－a（4）b－a＋c
探究点三：向量减法几何意义的应用
4．【解】因为|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，
所以3≤|－|≤15．
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15．
所以|－|的取值范围为[3，15]。
5．解析：选B．因为＝，
所以四边形ABCD为平行四边形，
因为|－|＝|－|，所以||＝||。
所以四边形ABCD为矩形。
【达标反馈】
1．解析：选A．－＝＝。
2．解析：选C．由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确；⑥错误。
3．解析：－＋－
＝（＋）＋（－）
＝＋
＝0.
答案：0
4．解析：如图，在矩形OACB中，－＝，则|a－b|＝||＝＝＝13．
答案：13
数乘向量
【学习目标】
1．通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义；
2．解两个向量共线的判定定理。
【学习重难点】
1．向量的概念、几何意义和运算律。
2．向量共线的判定定理。
【学习过程】
一、学习新知
1．数乘向量的概念与几何意义：
一般地，实数与向量的乘积是一个向量，记作，它的长度是。它的方向是：
①当＞0时，与的方向＿＿＿＿；
②当＜0时，与的方向＿＿＿＿；
③当=0时，=＿＿＿＿，方向＿＿＿＿。
④当||＞1时，表示的有向线段在原方向（＞0）或反方向（＜0）上伸长为原来的倍；
⑤当||＜1时，表示的有向线段在原方向（＞0）或反方向（＜0）上缩短为原来的倍。
2．数乘向量的运算律：
设、μ为实数，、为向量，则有如下运算律：
=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
特别地，，。
3．向量共线定理：
是一个＿＿＿向量，若存在一个实数，使得＿＿＿＿＿＿＿，则向量与非零向量共线；若向量与＿＿＿向量共线，则存在一个实数，使得＿＿＿＿＿＿＿。即就是：存在实数，使得。
二、自主训练
1．计算：
2．已知不共线，则下列各组中，与不共线的是（ ）
3．设两个非零向量与不共线，。求证：A．B．D三点共线；
4．在中点D在边AB上，且，若，求。
向量的线性运算
【学习目标】
理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算.
【学习重难点】
向量的运算律.
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？
数乘向量的定义及其几何意义是什么？
向量线性运算满足哪些运算律？
二、新知初探
1．向量的线性运算
（1）若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
（2）化简下列各式：
①3(6a＋b)－9；②[(3a＋2b)－]－2；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．
【解】（1）由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a．故填4b－3a．
（2）①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．
②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．
2．利用已知向量表示相关向量
（1）如图，?ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
（2）如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
【解】（1）选D．＝＋＝＋
＝－＝a－b．
（2）由三角形中位线定理，知DE=BC，故＝，即＝a．
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b．
＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b．
3．利用向量判断三点共线
已知非零向量e1．e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线．
【证明】因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．
三、学习小结
向量的线性运算：
（1）向量的加法与数乘向量的混合运算
一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a．
一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb．
（2）向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．
四、精炼反馈
1．下列命题中正确的个数是( )
①＋＝0；②－＝；③0·＝0.
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选A．由两相反向量的和为零向量知①正确；
由向量的减法运算法则知，－＝，②错；
由数乘向量的意义知0·＝0，③错；
即正确的个数是1，故选A．
2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
解析：选A．法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A．
法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A．
3．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．
其中，向量a，b一定共线的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：选A．对于①，b＝－a，有a∥b；
对于②，b＝－2a，有a∥b；
对于③，a＝4b，有a∥b；
对于④，a与b不共线．
4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b．
解析：由题意知a＝－b．
答案：－
向量基本定理
【学习目标】
1．掌握共线向量基本定理．
2．理解平面向量基本定理．
【学习重难点】
1．向量基本定理．
2．平面向量基本定理．
【学习过程】
一、导学提问
预习教材内容，思考以下问题：
1．共线向量基本定理是怎样表述的？
2．用向量证明三点共线有哪些方法？
3．平面向量基本定理的内容是什么？
4．如何定义平面向量基底？
二、新知探究
1．共线向量基本定理
已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？
解：若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ（6m－8n）．
因为m，n不共线，所以
因为不存在λ同时满足此方程组，所以a与b不共线．
2．用基底表示向量
如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，．
解：由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b．
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b．
3．直线的向量参数方程式的应用
已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有＝3λ＋（1－3λ）（λ∈R，点O为直线AB外的一点），则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由．
解：法一：3λ＋（1－3λ）＝1且λ∈R，结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB．
法二：将已知向量等式两边同时减去，得
－＝（3λ－1） ＋（1－3λ）
＝（1－3λ）（－）
＝（1－3λ），
即＝（1－3λ），λ∈R，
所以A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB．
三、学习小结
1．共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ．
2．平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得c＝xa＋yb．
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．
四、精炼反馈
1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解析：选D．由于，不共线，所以可以作为一组基底．
2．设D为△ABC所在平面内一点，若＝3，则（ ）
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A．因为＝3，
所以－＝3（－）＝3－3，
所以3＝4－，
所以＝－＝－＋．
3．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，
所以解得
所以x－y＝3．
答案：3
直线上向量的坐标及其运算
【学习目标】
理解直线上向量的坐标的含义及其运算.
【学习重难点】
直线上向量的坐标及其运算.
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考问题：实数与直线上的向量建立了什么关系？
二、新知探究
1．已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1．
（1）x2＝－5，的坐标为－3；
（2）x2＝－1，||＝2．
【解】（1）因为的坐标为x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8．
（2）因为||＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3．
【规律小结】
直线上向量的坐标及长度计算的方法：
（1）直线上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．
（2）直线上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．
2．已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3，7，求，，的坐标和长度．
解：的坐标为(－3)－(－8)＝5，||＝5；
的坐标为7－(－3)＝10，||＝10；
的坐标为(－8)－7＝－15，||＝15．
三、学习小结
直线上向量的运算与坐标的关系：
假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即
a＝x1e，b＝x2e，则a＝b?x1＝x2;__a＋b＝(x1＋x2)e．
如果u，v是两个实数，那么ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，
ua－vb的坐标为ux1－vx2．
设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1e，＝x2e，因此，
＝－＝x2e－x1e＝(x2－x1)e．
AB＝||＝|x2－x1|．
四、精炼反馈
1．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4．若xM＝－3，则xN等于( )
A．1 B．2
C．－7 D．1或－7
解析：选D．|MN|＝|xN－(－3)|＝4，
所以xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7．
2．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d．
（1）若||＝6，求d的值；
（2）若＝－3，求证：3＝－4.
解：（1）因为||＝6，
所以|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
所以d＝4或d＝－8．
（2）证明：因为的坐标为c＋4，的坐标为d＋4，
所以c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16．
因为3的坐标为3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，
－4的坐标为－4[c－(－4)]＝－4c－16
＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，
所以3＝－4.
平面向量的坐标及其运算
【学习目标】
1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．
2．理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．
3．掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．
4．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法．
【学习重难点】
1．向量的正交分解．
2．平面向量的坐标．
【学习过程】
一、问题预习
预习教材，思考以下问题：
1．两个向量垂直如何定义？
2．一个向量如何正交分解？
3．向量的坐标定义是什么？
4．如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？
5．如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？
二、新知探究
1．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形．
（1）求向量a，b的坐标；
（2）求向量的坐标；
（3）求点B的坐标．
解：（1）作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin45°＝4×＝2，
所以A（2，2），故a＝（2，2）．
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°．又OC＝AB＝3，
所以C，
所以＝＝，
即b＝．
（2）＝－＝．
（3）因为＝＋
＝（2，2）＋
＝．
所以点B的坐标为（2－，2＋）．
2．平面向量的坐标运算
（1）已知a＋b＝（1，3），a－b＝（5，7），则a＝________，b＝________．
（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
解：（1）由a＋b＝（1，3），a－b＝（5，7），
所以2a＝（1，3）＋（5，7）＝（6，10），
所以a＝（3，5），
2b＝（1，3）－（5，7）＝（－4，－4），
所以b＝（－2，－2）．
（2）法一（待定系数法）：由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
可得＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3），
所以＝3＝3（1，8）＝（3，24），
＝2＝2（6，3）＝（12，6）．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），x1＝0，y1＝20；
＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），x2＝9，y2＝2，
所以M（0，20），N（9，2），
＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）．
法二（几何意义法）：设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，
可得－＝3（－），－＝2（－），
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），
＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2），
即点M（0，20），N（9，2），
故＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）．
3．判定直线平行、三点共线
（1）已知A，B，C三点共线，且A（3，－6），B（－5，2），若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为（ ）
A．－13 B．9
C．－9 D．13
（2）已知A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：（1）选C．设C（6，y），因为∥，
又＝（－8，8），＝（3，y＋6），
所以－8×（y＋6）－3×8＝0，所以y＝－9．
（2）因为＝（1－（－1），3－（－1））＝（2，4），
＝（2－1，7－5）＝（1，2）．
又2×2－4×1＝0，所以∥．
又＝（2，6），＝（2，4），所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以AB∥CD．
4．已知平面向量共线求参数
已知a＝（1，2），b＝（－3，2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：法一（共线向量定理法）：ka＋b＝k（1，2）＋（－3，2）＝（k－3，2k＋2），
a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4），
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ（a－3b）．
由（k－3，2k＋2）＝λ（10，－4），
所以解得k＝λ＝－．
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－（a－3b），
因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．
法二（坐标法）：由题知ka＋b＝（k－3，2k＋2），a－3b＝（10，－4），
因为ka＋b与a－3b平行，
所以（k－3）×（－4）－10×（2k＋2）＝0，
解得k＝－．
此时ka＋b＝＝－（a－3b），
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
三、学习小结
1．平面向量的坐标
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称（x，y）为向量a的坐标，记作a＝（x，y）．
方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为（x，y）（通常记为A（x，y）），那么向量对应的坐标也为（x，y），即＝（x，y）；反之结论也成立．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
设平面上两个向量a，b满足a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a＝b? x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）．
设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝（ux1＋vx2，uy1＋vy2），ua－vb＝（ux1－vx2，uy1－vy2）．
如果向量a＝（x，y），则|a|＝．
4．向量平行的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b? x2y1＝x1y2．
四、精炼反馈
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．a＝（0，0），b＝（2，3）
B．a＝（1，－3），b＝（2，－6）
C．a＝（4，6），b＝（6，9）
D．a＝（2，3），b＝（－4，6）
解析：选D．只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D．
3．已知两点A（2，－1），B（3，1），则与平行且方向相反的向量a可以是（ ）
A．（1，－2） B．（9，3）
C．（－2，4） D．（－4，－8）
解析：选D．由题意，得＝（1，2），所以a＝λ＝（λ，2λ）（其中λ＜0）．符合条件的只有D项，故选D．
4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A（2，1），B（1，3），则点C的坐标为________．
解析：设C的坐标为（x，y），则由已知得＝，所以（x，y）＝（－1，2）．
答案：（－1，2）
5．已知点A（1，3），B（4，－1），则与向量同方向的单位向量为________．
解析：＝（3，－4），则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝．
答案：
平面向量线性运算的应用
【学习目标】
1．能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
2．熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用.
【学习重难点】
用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
【学习过程】
1．用向量解决平面几何问题
【例1】 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
（1）求AO∶OF与CO∶OE的值；
（2）证明AF，BD，CE交于一点O.
（1）解 因为＝＋＝＋，
又因为E，F都是中点，所以
＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，即
(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1．
（2）证明 要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可.
由（1）可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－＝(＋)，
又＝(＋)，∴∥，又与有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点.
【规律方法】利用向量线性运算解决几何问题的思路：
（1）把几何元素化为向量；
（2）进行向量的线性运算；
（3）把结果翻译成几何问题.
2．用向量坐标解决平面几何问题
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).
设||＝λ(λ>0)，
则F，P，
E.
所以＝，
＝，
因为||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
所以||＝||，即PA＝EF.
【规律方法】用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键.
3．平面向量在物理中的应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
解 设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0.
以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝－f2，＝－f1，＝f.
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∠FCE＝90°，
∴四边形CEWF为矩形.
∴||＝||cos 30°＝5，
||＝||cos 60°＝5．
即A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.
【规律方法】由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.
【学习小结】
1．向量在平面几何中的应用
在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用.实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题.
证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
2．向量在物理中的应用
我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成.
（1）力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
（2）力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则.
（3）动量mv就是数乘向量，符合数乘向量的运算律.
【精炼反馈】
1．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9，1) B．(1，9)
C．(9，0) D．(0，9)
解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
＝＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).
答案 A
2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析 由||2＝16，得||＝4，
|＋|＝|－|＝||＝4，
而|＋|＝2||，故||＝2，故选C．
答案 C
3．若＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为________.
解析 ∵F1＋F2＝(0，5)，∴|F1＋F2|＝＝5．
答案 5
4．如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上.
证明 设＝m，＝n，由＝＝，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋＝(m＋n)－m
＝m＋n.∴＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
