实数指数幂及其运算
【学习目标】
1．理解次方根及根式的概念．正确运用根式的运算性质进行根式运算
2．学会根式与分数指数幂之间的相互转化，掌握用有理指数幂的运算性质化简求值
【学习重难点】
1．根式的概念及运算性质
2．实数指数幂
【学习过程】
预习教材P3-P8的内容，思考以下问题：
1．n次方根是怎样定义的？
2．根式的定义是什么？它有哪些性质？
3．有理指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
一、新知初探
1．有理指数幂
（1）一般地，中的称为底数，称为指数．
（2）一般地，给定大于1的正整数和实数，如果存在实数，使得，则称为的次方根．
①0的任意正整数次方根均为0，记为．
②正数的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为的次算术根，记为，负的方根记为；负数的偶数次方根在实数范围内不存在．
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
（3）当有意义的时候，称为根式，称为根指数，称为被开方数．
一般地，根式具有以下性质：．
②
（4）一般地，如果是正整数，那么：当有意义时，规定；当没有意义时，称没有意义．
对于一般的正分数，也可作类似规定，即．但值得注意的是，这个式子在不是既约分数（即，有大于1的公因数）时可能会有歧义．
负分数指数幂：若是正分数，有意义且时，规定．
（5）有理指数幂的运算法则：,,．
【名师点拨】
（1）中当为奇数时，；当为偶数时，，但中．
（2）分数指数幂不可以理解为个相乘．
实数指数幂
一般地，当且是无理数时，都是一个确定的实数．因此，当时，为任意实数时，可以认为实数指数幂都有意义．
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）当时，都有意义．（ ）
（2）任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．（ ）
（3）（ ）
（4）0的任何指数幂都等于0．（ ）
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．化简：________．
探究一、根式与分数指数幂的互化
（1）若有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）化简得（ ）
A．6
B．
C．6或
D．6或或
（3）用分数指数幂表示下列各式（，）．
①；②；
③；④．
【规律方法】
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．
1．将下列根式与分数指数幂进行互化．
（1）；（2）；（3）．
探究二、根式、分数指数幂的化简与求值
2．计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【规律方法】
（1）化简结果的一个要求和两个不能
（2）幂的运算的常规方法
①化负指数幂为正指数幂．
②化根式为分数指数幂．
③化小数为分数进行运算．
3．化简下列各式（其中字母均表示正数）．
（1）；
（2）．
探究三、指数式的条件求值问题
4．已知，求下列各式的值：
【规律方法】
（1）在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
（2）在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
5．已知，则________．
【达标检测】
1．化简等于（ ）
A．
B．
C．
D．0
2．下列各式中成立的一项是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．计算：________．
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×
（2）×
（3）√
（4）×
2．解析：选D．；；
当时，无意义；
当时，．
3．解析：原式
．
答案：4
探究一、根式与分数指数幂的互化
【解】（1）选C．由负分数指数幂的意义可知，，所以，即，所以的取值范围是．
（2）选C．原式，
（3）①原式
②原式．
③原式．
④原式
．
1．解：（1）．
（2）．
（3）．
探究二、根式、分数指数幂的化简与求值
2．【解】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式
．
3．解：（1）原式．
（2）原式．
探究三、指数式的条件求值问题
4．【解】（1）将两边平方，得，所以．
（2）将两边平方，得，故．
5．解析：因为，又因为，
所以．
答案：3
【达标检测】
1．解析：选A．
2．解析：选D．A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中当时不成立；D正确．
3．解析：选D．原式．
4．解析：原式
．
答案：
指数函数的性质与图像
【第1课时】
【学习目标】
1．理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性。
2．掌握指数函数的性质和图像。
3．会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域。
【学习重难点】
1．指数函数的概念。
2．指数函数的性质与图像。
3．指数函数的定义域、值域。
【学习过程】
预习教材P9-P13的内容，思考以下问题：
1．指数函数的概念是什么？
2．结合指数函数的图像，可归纳出指数函数具有哪些性质？
3．指数函数的图像过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？
一、指数函数
（1）一般地，函数y=ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1．
（2）指数函数y=ax（a>0且a≠1）具有下列性质：
①定义域是R．
②值域是（0，+∞），即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方．
③函数图像一定过点（0，1）．
④当a>1时，y=ax是增函数；当0
⑤指数函数的图像．
[名师点拨]
底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图像是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图像是“下降”的．
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）y=x2是指数函数．（ ）
（2）指数函数y=ax中，a可以为负数．（ ）
（3）指数函数的图像一定在x轴的上方．（ ）
2．函数y=（-1）x在R上是（ ）
A．增函数
B．奇函数
C．偶函数
D．减函数
3．函数y=2-x的图像是（ ）
4．函数f（x）=2x+3的值域为________．
探究一、求指数函数的解析式
1．已知指数函数f（x）的图像过点（3，π），求函数f（x）的解析式．
2．已知指数函数y=（2b-3）ax经过点（1，2），求a，b的值．
探究二、指数型函数的定义域、值域问题
命题角度一：y=f（ax）型
3．求下列函数的定义域和值域．
（1）y=；（2）y=4x-2x+1．
[规律方法]
解此类题的要点是设ax=t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y=f（t）的问题．
4．求下列函数的定义域与值域．
（1）y=；
（2）y=（a>0，且a≠1）．
5．求函数y=的定义域与值域．
[规律方法]
y=af（x）的定义域即f（x）的定义域，求y=af（x）的值域可先求f（x）的值域，再利用y=at的单调性结合t=f（x）的范围求y=at的范围．
6．求下列函数的定义域与值域：
（1）y=0．3；（2）y=3．
探究三、指数函数图像的应用
命题角度一：指数函数整体图像
7．在如图所示的图像中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=的图像可能是（ ）
【总结升华】
函数y=ax的图像主要取决于01．但前提是a>0且a≠1．此题主要考虑二次函数的系数与指数函数底数大小关系．
1．已知函数f（x）=4+ax+1的图像经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．（-1，5）
B．（-1，4）
C．（0，4）
D．（4，0）
命题角度二：指数函数局部图像
2．若直线y=2a与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．
[规律方法]
指数函数是一种基本初等函数，与其他函数一起可以衍生出很多函数，体现了指数函数图像的“原料”作用．此题目考查图像变换，同时要注意指数函数中的“渐近线”对交点个数的影响．
3．函数y=a|x|（a>1）的图像是（ ）
4．下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．y=（-3）x
B．y=-3x
C．y=3x-1
D．y=
5．若函数y=（2a-1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（ ）
A．a>0，且a≠1
B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1
D．a≥
6．函数y=3-x2的值域是（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，0]
C．（0，1]
D．[-1，0）
7．函数f（x）=ax-b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．08．函数f（x）=+的定义域为（ ）
A．（-3，0]
B．（-3，1]
C．（-∞，-3）∪（-3，0]
D．（-∞，-3）∪（-3，1]
【巩固提升】
[A基础达标]
1．下列函数中，指数函数的个数为（ ）
①y=；②y=ax（a>0，且a≠1）；③y=1x；
④y=-1．
A．0
B．1
C．3
D．4
2．函数y=的定义域是（ ）
A．（-∞，0）
B．（-∞，0]
C．[0，+∞）
D．（0，+∞）
3．当a＞0，且a≠1时，函数f（x）=ax+1-1的图像一定过点（ ）
A．（0，1）
B．（0，-1）
C．（-1，0）
D．（1，0）
4．函数f（x）=ax与g（x）=-x+a的图像大致是（ ）
5．指数函数y=ax与y=bx的图像如图，则（ ）
A．a＜0，b＜0
B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1
D．0＜a＜1，0＜b＜1
6．若函数f（x）=（a2-2a+2）（a+1）x是指数函数，则a=________．
7．已知函数f（x）=ax+b（a＞0，且a≠1）经过点（-1，5），（0，4），则f（-2）的值为________．
8．若函数f（x）=则函数f（x）的值域是________．
9．求下列函数的定义域和值域：
（1）y=2-1；（2）y=．
10．已知函数f（x）=ax-1（x≥0）的图像经过点，其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
[B能力提升]
11．函数y=的值域是（ ）
A．[0，+∞）
B．[0，4]
C．[0，4）
D．（0，4）
12．函数y=2-1的定义域、值域分别是（ ）
A．R，（0，+∞）
B．{x|x≠0}，{y|y＞-1}
C．{x|x≠0}，{y|y＞-1，且y≠1}
D．{x|x≠0}，{y|y＞-1，且y≠0}
13．已知函数f（x）=-1．
（1）作出f（x）的简图；
（2）若关于x的方程f（x）=3m有两个解，求m的取值范围．
13．解：（1）f（x）=如图所示．
（2）作出直线y=3m，当-1＜3m＜0时，即-＜m＜0时，函数y=f（x）与y=3m有两个交点，即关于x的方程f（x）=3m有两个解．
[C拓展探究]
14．已知-1≤x≤2，求函数f（x）=3+2×3x+1-9x的最大值和最小值．
【第2课时】
【学习目标】
1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断。
2．能借助指数函数性质比较大小，会解简单的指数方程、不等式。
【学习重难点】
1．与指数函数有关的复合函数。
2．指数函数性质的应用。
【学习过程】
一、自我检测
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数是指数函数．（ ）
（2）函数是指数函数．（ ）
（3）函数是指数函数．（ ）
2．（2019·南昌检测）如果指数函数f（x）=（a-1）x是R上的减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a<2
B．a>2
C．1D．03．（2019·吉林省实验中学期中）已知集合A={x|x<3}，B={x|2x>4}，则A∩B=（ ）
A．?
B．{x|0C．{x|1D．{x|24．已知a>0，且a≠1，若函数f（x）=2ax-4在区间[-1，2]上的最大值为10，则a=________．
探究一、解指数方程
1．解下列关于x的方程：
（1）81×32x=；
（2）22x+2+3×2x-1=0．
[规律方法]
（1）型方程通常化为同底来解．
（2）解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．
2．解下列方程．
（1）33x-2=81；
（2）=；
（3）52x-6×5x+5=0．
探究二、指数函数单调性的应用
命题角度一：比较大小
3．比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.7-2.5，1.7-3；（2）1.70.3，1.50.3；（3）1.70.3，0.83.1．
[规律方法]
当两个指数底数相同时，利用指数函数的单调性直接比较大小；当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1．
4．比较下列各题中两个值的大小．
（1）0．8-0．1，1．250．2；（2），1．
命题角度二：解指数不等式
5．解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5（a>0，且a≠1）．
[规律方法]
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
6．已知（a2+a+2）x>（a2+a+2）1-x，则x的取值范围是________．
命题角度三：与指数函数复合的单调性问题
7．（1）求函数y=的单调区间；
（2）求函数y=-8·+17的单调区间．
[规律方法]
复合函数单调性问题归根结底是由x18．求下列函数的单调区间．
（1）；
（2）．
【达标测评】
1．若，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．a＜b＜c
C．a＜c＜b
D．b＜c＜a
2．方程42x-1=16的解是（ ）
A．x=-
B．x=
C．x=1
D．x=2
3．函数f（x）=的单调递增区间为（ ）
A．（-∞，0]
B．[0，+∞）
C．（-1，+∞）
D．（-∞，-1）
4．设0＜a＜1，则关于x的不等式3的解集为________．
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×（2）×（3）√
2．答案：D
3．答案：B
4．答案：（3，+∞）
探究一、求指数函数的解析式
1．【解】设f（x）=ax，将点（3，π）代入，得到f（3）=π，
即a3=π，解得，所以
[规律方法]
根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1．指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．
要求指数函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
2．解：由指数函数定义可知2b-3=1，即b=2．
将点（1，2）代入y=ax，得a=2．
3．【解】（1）函数y=的定义域为R（因为对一切x∈R，3x≠-1）．
因为y==1-，
又因为3x>0，1+3x>1，
所以0<<1，所以-1<-<0，
所以0<1-<1，所以y=的值域为（0，1）．
（2）定义域为R，y=（2x）2-2x+1=+，
因为2x>0，所以当2x=时，即x=-1时，y取最小值，
所以y=4x-2x+1的值域为．
4．解：（1）因为1-≥0，所以≤1，解得x≥0，
所以y=的定义域为[0，+∞）．
令t=1-（x≥0），则0≤t<1，所以0≤<1，
所以y=的值域为[0，1）．
（2）y=的定义域为R．
法一：设ax=t，则t∈（0，+∞）．
y===1-．
因为t>0，所以t+1>1，
所以0<<1，所以-2<<0，
所以-1<1-<1．
即y=的值域为（-1，1）．
法二：由y=（a>0，且a≠1），得ax=-．
因为ax>0，所以->0，所以-1所以y=的值域是（-1，1）．
命题角度二：y=af（x）型
5．【解】要使函数有意义，
则x应满足32x-1-≥0，即32x-1≥3-2．
因为y=3x在R上是增函数，所以2x-1≥-2，解得x≥-．
故所求函数的定义域为．
当x∈时，32x-1∈．
所以32x-1-∈[0，+∞）．所以原函数的值域为[0，+∞）．
6．解：（1）由x-1≠0，得x≠1，
所以所求函数的定义域为{x|x≠1}．
由≠0，得y≠1，
所以所求函数的值域为{y|y>0且y≠1}．
（2）由5x-1≥0，得x≥，
所以所求函数的定义域为．
由≥0，得y≥1，所以所求函数的值域为{y|y≥1}．
探究三、指数函数图像的应用
7．【解析】根据选项中二次函数图像可知c=0，
所以二次函数y=ax2+bx，因为>0，
所以二次函数的对称轴为x=-<0，
排除B、D．
对于A，C，都有0<<1，所以-<-<0，C不符合．
故选A．
【答案】A
【总结升华】
1．解析：选A．当x+1=0，即x=-1时，ax+1=a0=1，为常数，此时f（x）=4+1=5．即点P的坐标为（-1，5）．
2．【解】y=|2x-1|=
图像如图：
由图可知，要使直线y=2a与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点，
需0<2a<1，即03．解析：选B．函数y=a|x|是偶函数，当x>0时，y=ax．由已知a>1，故选B．
4．答案：D
5．答案：C
6．答案：C
7．答案：D
8．解析：选A．由题意，自变量x应满足
解得-3【巩固提升】
[A基础达标]
1．解析：选B．由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．解析：选C．由2x-1≥0，得2x≥20，所以x≥0．
3．解析：选C．当x=-1时，显然f（x）=0，因此图像必过点（-1，0）．
4．解析：选A．因为g（x）=-x+a的斜率为-1，所以g（x）=-x+a在定义域内单调递减，所以C、D选项错误．当a＞1时，函数f（x）=ax单调递增，当x=0时，g（0）=a＞1，此时两函数的图像大致为选项A．
5．解析：选C．由图像知，函数y=ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y=bx在R上单调递增，故b＞1．
6．解析：由指数函数的定义得解得a=1．
答案：1
7．解析：由已知得解得
所以f（x）=+3，所以f（-2）=+3=4+3=7．
答案：7
8．解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，所以-x＜0，0＜2-x＜1，所以-1＜-2-x＜0．所以函数f（x）的值域为（-1，0）∪（0，1）．
答案：（-1，0）∪（0，1）
9．解：（1）要使y=2-1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2-1＞-1且2-1≠0，故函数y=2-1的定义域为{x|x≠0}，函数y=2-1的值域为（-1，0）∪（0，+∞）．
（2）函数y=的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2-2≥-2，故0＜≤9，所以函数y=的值域为（0，9]．
10．解：（1）函数图像经过点，所以a2-1=，则a=．
（2）由（1）知f（x）=（x≥0），由x≥0，得x-1≥-1．于是0＜≤=2，所以函数的值域为（0，2]．
[B能力提升]
11．解析：选C．要使函数式有意义，则16-4x≥0．又因为4x＞0，所以0≤16-4x＜16，即函数y=的值域为[0，4）．
12．解析：选C．要使y=2-1有意义，只需有意义，即x≠0．若令u==1-，则可知u≠1，所以y≠21-1=1．又因为y=2-1＞0-1=-1，所以函数y=2-1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞-1，且y≠1}．
13．解：（1）f（x）=如图所示．
（2）作出直线y=3m，当-1＜3m＜0时，即-＜m＜0时，函数y=f（x）与y=3m有两个交点，即关于x的方程f（x）=3m有两个解．
[C拓展探究]
14．解：设t=3x，因为-1≤x≤2，所以≤t≤9，则f（x）=g（t）=-（t-3）2+12，故当t=3，即x=1时，f（x）取得最大值12；当t=9，即x=2时，f（x）取得最小值-24．
【第2课时】
一、自我检测
1．答案：（1）×（2）×（3）×
2．解析：选C．由题意知03．解析：选D．因为函数y=2x是增函数，所以B={x|2x>4}={x|x>2}，故A∩B={x|24．解析：若a>1，则函数y=ax在区间[-1，2]上是递增的，当x=2时，f（x）取得最大值f（2）=2a2-4=10，即a2=7，又a>1，所以a=．
若0答案：或
探究一、解指数方程
1．【解】（1）因为81×32x=，
所以32x+4=3-2（x+2），所以2x+4=-2（x+2），所以x=-2．
（2）因为22x+2+3×2x-1=0，
所以4×（2x）2+3×2x-1=0．
令t=2x（t＞0），则方程可化为4t2+3t-1=0，
解得t=或t=-1（舍去）．
所以2x=，解得x=-2．
2．解：（1）因为81=34，所以33x-2=34，
所以3x-2=4，解得x=2．
（2）因为=，所以5=5，
所以=，解得x=．
（3）令t=5x，则t>0，
原方程可化为t2-6t+5=0，
解得t=5或t=1，即5x=5或5x=1，
所以x=1或x=0．
探究二、指数函数单调性的应用
3．【解】（1）因为1．7＞1，
所以y=1．7x在（-∞，+∞）上是增函数．
因为-2．5＞-3，所以1．7-2．5＞1．7-3．
（2）法一：因为1．7＞1．5，所以在（0，+∞）上，y=1．7x的图像位于y=1．5x的图像的上方．
而0．3＞0，所以1．70．3＞1．50．3．
法二：因为1．50．3＞0，且=，
又＞1，0．3＞0，所以＞1，
所以1．70．3＞1．50．3．
（3）因为1．70．3＞1．70=1，0．83．1＜0．80=1，
所以1．70．3＞0．83．1．
4．解：（1）因为0＜0．8＜1，所以y=0．8x在R上是减函数．
因为-0．2＜-0．1，所以0．8-0．2=1．250．2＞0．8-0．1，
即0．8-0．1＜1．250．2．
（2）因为0＜＜1，所以函数y=在R上是减函数．
又因为-π＜0，所以＞=1，
即＞1．
5．【解】（1）当0所以2x+1≥x-5，解得x≥-6．
（2）当a>1时，因为a2x+1≤ax-5，
所以2x+1≤x-5，解得x≤-6．
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤-6}．
6．解析：因为a2+a+2=+>1，
所以（a2+a+2）x>（a2+a+2）1-x?x>1-x?x>．
所以x∈．
答案：
7．【解】（1）y=的定义域为R．
在（-∞，3]上，y=x2-6x+17是减函数，
所以y=在（-∞，3]上是增函数．
在上，是增函数，
所以在上是减函数．
所以的增区间是，减区间是．
（2）设，又在上单调递减，在上单调递增．
令≤4，得x≥-2．
所以当时，，
即4≥t1>t2，所以t-8t1+17所以y=-8·+17的单调增区间是[-2，+∞）．
同理可得减区间是（-∞，-2）．
8．解：（1）设，，由，得u在（-∞，-1]上为减函数，在（-1，+∞）上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；
当0所以当a>1时，原函数的增区间为（-1，+∞），减区间为（-∞，-1]；
当0（2）已知函数y=的定义域为{x|x≠0}．
设y=，u=0．2x，易知u=0．2x为减函数．
而根据y=的图像可知在区间（-∞，1）和（1，+∞）上，y是关于u的减函数，所以原函数的增区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
【达标测评】
1．解析：选B．因为y=0．5x在R上是减函数，且＞＞，
所以．
2．解析：选B．42x-1=42，所以2x-1=2，x=．
3．解析：选A．因为f（x）=，0<<1，所以f（x）的单调递增区间为u（x）=x2-1的单调递减区间，即（-∞，0]．
4．解析：因为0＜a＜1，所以y=ax在R上是减函数，
又因为，
所以2x2-3x+2＜2x2+2x-3，解得x＞1．
答案：（1，+∞）
对数的运算
【学习目标】
1．了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化。
2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值。
【学习重难点】
1．对数的概念。
2．对数的基本性质。
【学习过程】
预习教材P15－P18的内容，思考以下问题：
1．对数的概念是什么？对数有哪些性质？
2．什么是常用对数、自然对数？
3．对数恒等式是什么？
4．如何进行对数式和指数式的互化？
一、对数的概念
（1）在表达式ab=N（a>0且a≠1，N∈（0，＋∞））中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数。
（2）当a>0且a≠1时，b=logaN的充要条件是ab=N，由此可知，只有N>0时，logaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数。
（3）loga1=0；logaa=1；alogaN=N；logaab=B．
2．常用对数和自然对数
（1）以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N简写为lgN。
（2）以无理数e（e=2．71828…）为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为lnN。
[名师点拨]
logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）根据对数的定义，因为（－2）4=16，所以log（－2）16=4．（ ）
（2）对数式log32与log23的意义一样。（ ）
（3）因为1a=1，所以log11=A．（ ）
（4）log（－2）（－2）=1．（ ）
2．若log8x=－，则x的值为（ ）
A．
B．4
C．2
D．
3．2log23=________。
4．若log3（log2x）=0则x=________。
探究一、对数的概念
1．在N=log（5－b）（b－2）中，实数b的取值范围是（ ）
A、B<2或b>5
B．2C．4D．2[规律方法]
由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax=N，而ax>0，所以N>0.
2．求f（x）=logx的定义域。
探究二、对数式与指数式的互化
3．（1）将下列指数式化成对数式：
①54=625；②2－6=；③3a=27；④=5．73．
（2）将下列对数式化成指数式并求x的值：
①log64x=－；②logx8=6；③lg100=x。
[规律方法]
（1）指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
（2）要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。
4．如果a=b2（b>0，b≠1），则有（ ）
A．log2a=b
B．log2b=a
C．logba=2
D．logb2=a
5．计算：（1）log927；（2）log81；（3）log625．
探究三、对数基本性质的应用
6．求下列各式中x的值：
（1）log2（log5x）=0；（2）log3（lgx）=1．
[规律方法]
logaN=0?N=1；logaN=1?N=a使用频繁，应在理解的基础上牢记。
7．若log2（log3x）=log3（log4y）=log4（log2z）=0，则x＋y＋z的值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【达标测评】
1．logbN=a（b>0，b≠1，N>0）对应的指数式是（ ）
A．ab=N
B．ba=N
C．aN=b
D．bN=a
2．若logax=1，则（ ）
A．x=1
B．a=1
C．x=a
D．x=10
3．已知logx16=2，则x等于（ ）
A．±4
B．4
C．256
D．2
4．设10lgx=100，则x的值等于（ ）
A．10
B．0.01
C．100
D．1000
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×（2）×（3）×（4）×
2．解析：选A．因为log8x=－，
所以x=8－=2－2=，故选A．
3．解析：由对数恒等式得，2log23=3．
答案：3
4．解析：因为log3（log2x）=0，所以log2x=30=1，所以x=2，即x=。
答案：
探究一、对数的概念
1．【解析】因为所以2【答案】D
2．解：要使函数式f（x）有意义，需
解得0所以f（x）=logx的定义域为（0，1）。
探究二、对数式与指数式的互化
3．【解】（1）①log5625=4；②log2=－6；③log327=a；④log5．73=m。
（2）①x=64－=（43）－=4－2=。
②因为x6=8，所以x=（x6）=8=（23）=2=。
③因为10x=100=102，所以x=2．
4．解析：选C．logba=2，故选C．
5．解：（1）设x=log927，则9x=27，32x=33，所以x=。
（2）设x=log81，则（）x=81，3=34，所以x=16．
（3）令x=log625，则（）x=625，5x=54，所以x=3．
探究三、对数基本性质的应用
6．【解】（1）因为log2（log5x）=0.
所以log5x=20=1，所以x=51=5．
（2）因为log3（lgx）=1，所以lgx=31=3，所以x=103=1000.
7．解析：选A．因为log2（log3x）=0，
所以log3x=1．
所以x=3．同理y=4，z=2．所以x＋y＋z=9．
【达标测评】
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：B
4．答案：C
对数运算法则
【学习目标】
1．掌握对数运算性质，理解其推导过程和成立条件。
2．掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。
【学习重难点】
1．对数运算法则。
2．换底公式。
【学习过程】
问题导学
预习教材P20－P23的内容，思考以下问题：
1．对数运算法则是什么？
2．换底公式是如何表述的？
新知初探
1．对数运算法则
loga（MN）=logaM＋logaN，
logaMα=αlogaM，
loga=logaM－logaN。
（其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R）
2．换底公式
logab=。（其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1）
■名师点拨
对数的这三条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）积、商的对数可以化为对数的和、差。（ ）
（2）logaxy=logax·logay。（ ）
（3）loga（－2）3=3loga（－2）。（ ）
2．计算log916·log881的值为（ ）
A．18 B． C． D．
3．若lg5=a，lg7=b，用a，b表示log75等于（ ）
A．a＋b
B．a－b
C．
D．
4．lg20＋lg50的值为________。
【探究】
一、具体数的化简求值
1．计算：（1）log345－log35；
（2）log2（23×45）；
（3）；
（4）log29·log38．
[规律方法]
具体数的化简求值主要遵循两个原则：
（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式。
（2）不同底化为同底。
2．计算：（1）2log63＋log64；
（2）÷100－；
（3）log43·log98；
（4）log2．56．25＋ln－0.064。
二、代数式的化简
命题角度一：代数式恒等变换
化简loga。
【解】因为>0且x2>0，>0，
所以y>0，z>0.
loga=loga（x2）－loga=logax2＋loga－loga=2loga|x|＋logay－logaz。
[规律方法]
使用公式要注意成立条件：
如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10（－10）2=2log10（－10）是不成立的。要特别注意loga（MN）≠logaM·logaN，loga（M±N）≠logaM±logaN。
1．已知y>0，化简loga。
命题角度二：用代数式表示对数
2．已知log189=a，18b=5，求log3645．
[规律方法]
用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元。
3．已知log23=a，log37=b，用a，b表示log4256．
【达标反馈】
1．log5＋log53等于（ ）
A．0 B．1
C．－1 D．log5
2．（2019·广西南京市期中）在对数式b=loga－2（5－a）中，实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a>5或a<2}
B．{a|2C．{a|2D．{a|33．log29×log34等于（ ）
A．
B．
C．2
D．4
4．log3＋lg25＋lg4＋7log72＋（－9.8）0=________。
解析：原式=log333＋lg（25×4）＋2＋1=＋2＋3=。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）√（2）×（3）×
2．解析：选C．原式=log3224·log2334=log32·log23=。
3．解析：选D．log75==。
4．解析：lg20＋lg50=lg1000=3．
答案：3
【探究】
一、具体数的化简求值
1．【解】（1）log345－log35=log3=log39=log332
=2log33=2．
（2）log2（23×45）=log2（23×210）=log2（213）
=13log22=13．
（3）原式=
==
==。
（4）log29·log38=log2（32）·log3（23）
=2log23·3log32
=6·log23·=6
2．解：（1）原式=log632＋log64=log6（32×4）
=log6（62）=2log66=2．
（2）原式=÷102×（－）=lg102÷10－1=2×10=20.
（3）原式=·=·=。
（4）原式=log2.5（2.5）2＋－
=2＋－
=。
二、代数式的化简
1．解：因为>0，y>0，所以x>0，z>0.
所以loga=loga－loga（yz）=logax－logay－logaz。
2．【解】法一：因为log189=a，18b=5，
所以log185=b，
所以log3645===
==。
法二：因为log189=a，18b=5，所以log185=b，
所以log3645==
==。
法三：因为log189=a，18b=5，
所以lg9=alg18，lg5=blg18，
所以log3645===
==。
3．解：因为log23=a，则=log32，
又因为log37=b，
所以log4256===。
【达标反馈】
1．答案：A
2．解析：选C．由题意得解得23．答案：D
4．答案：
对数函数的性质与图像
【第1课时】
【学习目标】
1．理解对数函数的概念，会判断对数函数。
2．初步掌握对数函数的图像与性质。
3．能利用对数函数的性质解决与之有关的问题。
【学习重难点】
1．对数函数的概念。
2．对数函数的图像。
3．对数函数的简单应用。
【学习过程】
问题导学
预习教材P24－P27的内容，思考以下问题：
1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪些性质？
【新知初探】
对数函数
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1．
对数函数y＝logax的性质：
（1）定义域是（0，＋∞），因此函数图像一定在y轴的右边。
（2）值域是实数集R。
（3）函数图像一定过点（1，0）。
（4）当a>1时，y＝logax是增函数；当0（5）对数函数的图像
■名师点拨
底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图像“下降”。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y＝logx是对数函数。（ ）
（2）函数y＝2log3x是对数函数。（ ）
（3）函数y＝log3（x＋1）的定义域是（0，＋∞）。（ ）
2．函数f（x）＝＋lgx的定义域是（ ）
A．（0，＋∞）
B．（0，1）
C．[1，＋∞）
D．（1，＋∞）
3．下列不等号连接错误的一组是（ ）
A．log0.52．2>log0.52．3
B．log34>log65
C．log34>log56
D．logπe>logeπ
4．函数y＝log（3a－1）x是（0，＋∞）上的减函数，则实数a的取值范围是________。
探究一、对数函数的概念
1．判断下列函数哪些是对数函数？
（1）y＝3log2x；（2）y＝log6x；（3）y＝logx3；（4）y＝log2x＋1．
[规律方法]
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax（a＞0且a≠1）的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1．
（2）底数为大于0且不等于1的常数。
（3）对数的真数仅有自变量x。
2．若某对数函数的图像过点（4，2），则该对数函数的解析式为（ ）
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
探究二、对数函数的图像
3．如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取，，，，则对应于c1、c2、c3、c4的a值依次为（ ）
A．、、、
B．、、、
C．、、、
D．、、、
[规律方法]
函数y＝logax（a＞0且a≠1）的
底数变化对图像位置的影响
观察图像，注意变化规律：
（1）上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴。
（2）左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大。
4．函数y＝loga（x＋2）＋1的图像过定点（ ）
A．（1，2）
B．（2，1）
C．（－2，1）
D．（－1，1）
5．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图像，则（ ）
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
探究三、与对数函数有关的定义域问题
6．若f（x）＝，则f（x）的定义域为（ ）
A．
B．
C．∪（0，＋∞）
D．
[规律方法]
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式。
7．函数y＝ln（1－x）的定义域为（ ）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．（0，1]
D．[0，1]
【达标反馈】
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝loga（2x）
B．y＝log22x
C．y＝log2x＋1
D．y＝lgx
2．函数f（x）＝＋lg（3x＋1）的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数y＝ax与y＝－logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图像形状可能是（ ）
4．若a＞0且a≠1，则函数y＝loga（x－1）＋1的图像过定点为________。
5．比较下列各组数的大小：
（1）log2________log2；
（2）log32________1；
（3）log4________0.
[A基础达标]
1．函数f（x）＝＋lg（1＋x）的定义域是（ ）
A．（－∞，－1）
B．（1，＋∞）
C．（－1，1）∪（1，＋∞）
D．（－∞，＋∞）
2．对数函数的图像过点M（16，4），则此对数函数的解析式为（ ）
A．y＝log4x
B．y＝logx
C．y＝logx
D．y＝log2x
3．函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为（ ）
A．（0，＋∞）
B．[0，＋∞）
C．（1，＋∞）
D．[1，＋∞）
4．函数y＝lg（x＋1）的图像大致是（ ）
5．已知函数f（x）＝loga（x－m）的图像过点（4，0）和（7，1），则f（x）在定义域上是（ ）
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
6．若f（x）＝logax＋（a2－4a－5）是对数函数，则a＝________。
7．已知函数y＝loga（x－3）－1的图像过定点P，则点P的坐标是________。
8．若f（x）是对数函数且f（9）＝2，当x∈[1，3]时，f（x）的值域是________。
9．若函数y＝loga（x＋a）（a＞0且a≠1）的图像过点（－1，0）。
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域。
10．求下列函数的定义域与值域：
（1）y＝log2（x－2）；
（2）y＝log4（x2＋8）。
[B能力提升]
11．函数y＝2＋log2x（x≥1）的值域为（ ）
A．（2，＋∞）
B．（－∞，2）
C．[2，＋∞）
D．[3，＋∞）
12．函数f（x）＝的定义域是（ ）
A．[4，＋∞）
B．（10，＋∞）
C．（4，10）∪（10，＋∞）
D．[4，10）∪（10，＋∞）
13．如果函数f（x）＝（3－a）x，g（x）＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________。
14．已知f（x）＝log3x。
（1）作出这个函数的图像；
（2）若f（a）[C拓展探究]
15．求y＝（logx）2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值。
【第2课时】
【学习目标】
1．进一步加深理解对数函数的概念。
2．掌握对数函数的性质及其应用。
【学习重难点】
1．对数函数的概念。
2．对数函数的性质。
对数值的大小比较。
比较下列各组中两个值的大小。
（1）ln0.3，ln2；
（2）loga3．1，loga5．2（a＞0，且a≠1）；
（3）log30.2，log40.2；
（4）log3π，logπ3．
【解】（1）因为函数y＝lnx是增函数，且0.3＜2，
所以ln0.3＜ln2．
（2）当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，又3．1＜5．2，所以loga3．1＜loga5．2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，又3．1＜5．2，所以loga3．1＞loga5．2．
（3）法一：因为0＞log0.23＞log0.24，
所以＜，
即log30.2＜log40.2．
法二：如图所示。
由图可知log40.2＞log30.2．
（4）因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1．
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3．
比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性。
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较。
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论。
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较。
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较。
1．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（ ）
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
2．已知a＝log23．6，b＝log43．2，c＝log43．6，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
对数函数单调性的应用
求函数y＝log（1－x2）的单调增区间，并求函数的最小值。
【解】要使y＝log（1－x2）有意义，则1－x2＞0，所以x2＜1，即－1＜x＜1，
因此函数y＝log（1－x2）的定义域为（－1，1）。
令t＝1－x2，x∈（－1，1）。
当x∈（－1，0]时，若x增大，则t增大，y＝logt减小，
所以x∈（－1，0]时，y＝log（1－x2）是减函数；
同理当x∈[0，1）时，y＝log（1－x2）是增函数。
故函数y＝log（1－x2）的单调增区间为[0，1），且函数的最小值ymin＝log（1－02）＝0.
（1）求形如y＝logaf（x）的函数的单调区间，一定要树立定义域优先意识，即由f（x）＞0，先求定义域。
（2）求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f（x）和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf（x）的单调性。
3．设函数f（x）＝则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
A．[－1，2]
B．[0，2]
C．[1，＋∞）
D．[0，＋∞）
与对数函数有关的值域与最值问题
求下列函数的值域：
（1）y＝log2（x2＋4）；
（2）y＝log（3＋2x－x2）。
【解】（1）y＝log2（x2＋4）的定义域为R。
因为x2＋4≥4，
所以log2（x2＋4）≥log24＝2．
所以y＝log2（x2＋4）的值域为[2，＋∞）。
（2）设u＝3＋2x－x2＝－（x－1）2＋4≤4．
因为u>0，所以0又y＝logu在（0，＋∞）上为减函数，
所以logu≥log4＝－2，
所以y＝log（3＋2x－x2）的值域为[－2，＋∞）。
求对数型函数值域（最值）的方法
对于形如y＝logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数，其值域（最值）的求解步骤如下：
（1）分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数。
（2）求f（x）的定义域。
（3）求u的取值范围。
（4）利用y＝logau的单调性求解。
4．（2019·厦门检测）若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________。
对数函数性质的综合应用
已知函数f（x）＝loga（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数的奇偶性和单调性。
【解】（1）要使此函数有意义，
则有或
解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）。
（2）f（－x）＝loga＝loga
＝－loga＝－f（x）。
又由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
所以f（x）为奇函数。
f（x）＝loga＝loga（1＋），
函数u＝1＋在区间（－∞，－1）和区间（1，＋∞）上单调递减。
所以当a＞1时，f（x）＝loga在（－∞，－1），（1，＋∞）上递减；
当0＜a＜1时，f（x）＝loga在（－∞，－1），（1，＋∞）上递增。
（1）判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称。
（2）求函数的单调区间有两种思路：①易得到单调区间的，可用定义法来求证；②利用复合函数的单调性求得单调区间。
5．已知函数f（x）＝loga（1＋x），g（x）＝loga（1－x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）＝f（x）－g（x）。
（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（3）＝2，求使h（x）＜0成立的x的集合。
1．函数y＝lnx的单调递增区间是（ ）
A．[e，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，＋∞）
D．[1，＋∞）
2．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（ ）
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
3．函数f（x）＝的定义域是（ ）
A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2]
4．函数f（x）＝的值域为________。
5．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×（2）×（3）×
2．解析：选C．因为，所以x≥1．
3．解析：选D．函数y＝logπx在定义域上单调递增，e<π，则logπelogee＝1，则logπe4．解析：由题意可得0<3a－1<1，
解得所以实数a的取值范围是。
答案：
探究一、对数函数的概念
1．【解】（1）log2x的系数是3，不是1，不是对数函数。
（2）符合对数函数的结构形式，是对数函数。
（3）自变量在底数位置上，不是对数函数。
（4）对数式log2x后又加1，不是对数函数。
2．解析：选A．设对数函数的解析式为y＝logax（a＞0且a≠1），由题意可知loga4＝2，
所以a2＝4，所以a＝2，
所以该对数函数的解析式为y＝log2x。
3．【解析】法一：观察在（1，＋∞）上的图像，先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图像靠近x轴的底大，c1、c2对应的a分别为、。然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图像靠近x轴的底小，c3、c4对应的a分别为、。综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、。故选A．
法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、，故选A．
【答案】A
4．解析：选D．令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga（x＋2）＋1的图像过定点（－1，1）。
5．解析：选B．作直线y＝1，则直线y＝1与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1．
探究三、与对数函数有关的定义域问题
6．【解析】由题意知
解得x＞－且x≠0.
【答案】C
7．解析：选B．因为y＝ln（1－x），所以解得0≤x＜1．
【达标反馈】
1．解析：选D．选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax（a＞0且a≠1）”的形式，只有D选项符合。
2．解析：选D．由可得－＜x＜1．
3．解析：选A．函数y＝－logax恒过定点（1，0），排除B项；当a＞1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，排除C项，当04．解析：函数图像过定点，则与a无关，故loga（x－1）＝0，
所以x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga（x－1）＋1过定点（2，1）。
答案：（2，1）
5．解析：（1）底数相同，y＝log2x是增函数，
所以log2＜log2。（2）log32＜log33＝1．（3）log4＜log1＝0.
答案：（1）＜（2）＜（3）＜
[A基础达标]
1．解析：选C．由题意知解得x>－1且x≠1．
2．解析：选D．由于对数函数的图像过点M（16，4），所以4＝loga16，得a＝2．所以此对数函数的解析式为y＝log2x，故选D．
3．解析：选A．因为3x＞0，所以3x＋1＞1．所以log2（3x＋1）＞0.所以函数f（x）的值域为（0，＋∞）。
4．解析：选C．由底数大于1可排除A、B，y＝lg（x＋1）可看作是y＝lgx的图像向左平移1个单位（或令x＝0得y＝0），而且函数为增函数，故选C．
5．解析：选A．将点（4，0）和（7，1）代入函数解析式，有解得a＝4和m＝3，则有f（x）＝log4（x－3）。由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f（x）在定义域上是增函数。
6．解析：由对数函数的定义可知，
解得a＝5．
答案：5
7．解析：y＝logax的图像恒过点（1，0），令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1．
答案：（4，－1）
8．解析：设f（x）＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f（x）＝log3x。又因为x∈[1，3]，所以0≤f（x）≤1．
答案：[0，1]
9．解：（1）将（－1，0）代入y＝loga（x＋a）（a＞0，a≠1）中，
有0＝loga（－1＋a），则－1＋a＝1，所以a＝2．
（2）由（1）知y＝log2（x＋2），由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}。
10．解：（1）由x－2＞0，得x＞2，
所以函数y＝log2（x－2）的定义域是（2，＋∞），值域是R。
（2）因为对任意实数x，log4（x2＋8）都有意义，
所以函数y＝log4（x2＋8）的定义域是R。
又因为x2＋8≥8，
所以log4（x2＋8）≥log48＝，即函数y＝log4（x2＋8）的值域是。
11．解析：选C．当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2．
所以函数y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞）。
12．解析：选D．由解得所以x≥4且x≠10，
所以函数f（x）的定义域为[4，10）∪（10，＋∞）。故选D．
13．解析：若f（x），g（x）均为增函数，则即1＜a＜2，
若f（x），g（x）均为减函数，则无解。
所以a的取值范围是（1，2）。
答案：（1，2）
14．解：（1）作出函数y＝f（x）＝log3x的图像如图所示。
（2）令f（x）＝f（2），
即log3x＝log32，解得x＝2．
由图像知：当0恒有f（a）所以所求a的取值范围为（0，2）。
15．解：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2．
设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝。
【第2课时】
1．解析：选D．利用对数函数的性质求解。
a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知log52＜log32，所以b＜a＜c，故选D．
2．解析：选B．a＝log23．6＝log43．62，函数y＝log4x在（0，＋∞）上为增函数，3．62＞3．6＞3．2，所以a＞c＞b，故选B．
3．解析：选D．f（x）≤2?或
?0≤x≤1或x＞1，故选D．
4．解析：当0所以f（x）在[0，1]上为减函数，
所以f（x）max＝f（0）＝1，f（x）min＝f（1）＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，
解得a＝；
同理，
当a>1时，f（x）在[0，1]上为增函数，
所以f（x）max＝f（1）＝a＋loga2，f（x）min＝f（0）＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝，与a>1矛盾。
综上，a＝。
答案：
5．解：（1）因为f（x）＝loga（1＋x）的定义域为{x|x＞－1}，
g（x）＝loga（1－x）的定义域为{x|x＜1}，
所以h（x）＝f（x）－g（x）的定义域为{x|x>－1}∩{x|x＜1}
＝{x|－1＜x＜1}。
函数h（x）为奇函数，理由如下：
因为h（x）＝f（x）－g（x）＝loga（1＋x）－loga（1－x），
所以h（－x）＝loga（1－x）－loga（1＋x）
＝－[loga（1＋x）－loga（1－x）]＝－h（x），
所以h（x）为奇函数。
（2）因为f（3）＝loga（1＋3）＝loga4＝2，所以a＝2．
所以h（x）＝log2（1＋x）－log2（1－x），
所以h（x）＜0等价于log2（1＋x）＜log2（1－x），
所以解之得－1＜x＜0.
所以使得h（x）＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}。
1．解析：选B．函数y＝lnx的定义域为（0，＋∞），在（0，＋∞）上是增函数，故该函数的单调递增区间为（0，＋∞）。
2．解析：选D．因为1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，
所以1＞a＝log54＞log53＞（log53）2＝B．
又因为c＝log45＞log44＝1．所以c＞a＞B．
3．解析：选D．由题意有解得1＜x≤2．
4．解析：当x≥1时，logx≤log1＝0，所以当x≥1时，f（x）≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，即0＜f（x）＜2．因此函数f（x）的值域为（－∞，2）。
答案：（－∞，2）
5．答案：
指数函数与对数函数的关系
【学习目标】
1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系。
2．利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题。
【学习重难点】
1．反函数。
2．指数、对数函数的图像与性质的应用。
【学习过程】
问题导学
预习教材P30－P31的内容，思考以下问题：
1．反函数是如何定义的？
2．互为反函数的函数有哪些性质？
【新知初探】
1．一般地，如果在函数y＝f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f（x）的反函数。
2．一般地，函数y＝f（x）的反函数记作y＝f－1（x）。y＝f（x）的定义域与y＝f－1（x）的值域相同，y＝f（x）的值域与y＝f－1（x）的定义域相同，y＝f（x）与y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称。
3．如果y＝f（x）是单调函数，那么它的反函数一定存在。如果y＝f（x）是增函数，则y＝f－1（x）也是增函数；如果y＝f（x）是减函数，则y＝f－1（x）也是减函数。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y＝的反函数是y＝logx。（ ）
（2）函数y＝log3x的反函数的值域为R。（ ）
（3）函数y＝ex的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称。（ ）
2．函数f（x）＝的反函数为g（x），那么g（x）的图像一定过点________。
3．函数y＝x＋3的反函数为________。
探究一、求反函数
1．写出下列函数的反函数：
（1）y＝lgx；（2）y＝5x＋1；（3）y＝（）x；（4）y＝x2（x≤0）。
[规律方法]
求反函数的一般步骤
（1）求值域：由函数y＝f（x）求y的范围。
（2）解出x：由y＝f（x）解出x＝f－1（y）。若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个。
（3）得反函数：将x，y互换得y＝f－1（x），注意定义域。
2．函数y＝＋1（x≥1）的反函数是（）
A．y＝x2－2x＋2（x<1）
B．y＝x2－2x＋2（x≥1）
C．y＝x2－2x（x<1）
D．y＝x2－2x（x≥1）
探究二、互为反函数的性质应用
3．已知函数y＝ax＋b（a＞0且a≠1）的图像过点（1，4），其反函数的图像过点（2，0），求a，b的值。
[规律方法]
互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点（a，b）在函数y＝f（x）的图像上，则点（b，a）必在其反函数y＝f－1（x）的图像上。
4．已知f（x）＝log3x，则f－1（4）＝________。
解析：由log3x＝4，得x＝34＝81．即f－1（4）＝34＝81．
三、探究三：指数、对数函数图像与性质的应用
5．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值。
[规律方法]
形如ax＋kx＝b（a＞0且a≠0）或logax＋kx＝b（a＞0且a≠1）的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题。
6．函数f（x）＝lgx＋x－3的零点所在区间为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，＋∞）
【达标反馈】
1．函数y＝logx（x＞0）的反函数是（）
A．y＝x，x＞0
B．y＝，x∈R
C．y＝x2，x∈R
D．y＝2x，x∈R
2．若函数f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）等于（）
A．log2x
B．
C．logx
D．2x－2
3．已知函数y＝ax与y＝logax（a＞0且a≠1），下列说法不正确的是（）
A．两者的图像关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内的增减性相同
D．y＝ax的图像经过平移可得到y＝logax的图像
4．已知y＝的反函数为y＝f（x），若f（x0）＝－，则x0等于（）
A．－2
B．－1
C．2
D．
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×（2）×（3）×
2．解析：f（x）＝的反函数为g（x）＝logx，所以g（x）的图像一定过点（1，0）。
答案：（1，0）
3．解析：由y＝x＋3得x＝y－3，
x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3．（x∈R）。
答案：y＝x－3（x∈R）
1．【解】（1）y＝lgx的底数为10，
它的反函数为指数函数y＝10x。
（2）由y＝5x＋1，得x＝，
所以反函数为y＝（x∈R）。
（3）y＝（）x的底数为，它的反函数为对数函数y＝logx（x＞0）。
（4）由y＝x2得x＝±。
因为x≤0，
所以x＝－。
所以反函数为y＝－（x≥0）。
2．解析：选B．由y＝＋1，得x＝（y－1）2＋1，
即x＝y2－2y＋2，
因为x≥1，所以y＝＋1≥1，
所以反函数为y＝x2－2x＋2（x≥1）。
3．【解】因为y＝ax＋b的图像过点（1，4），
所以a＋b＝4．①
又因为y＝ax＋b的反函数图像过点（2，0），
所以点（0，2）在原函数y＝ax＋b的图像上。
所以a0＋b＝2．②
联立①②得a＝3，b＝1．
4．答案：81
5．【解】将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3．
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标。
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图像关于直线y＝x对称，
由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，
于是A、B两点的坐标为A（a，b），B（b，a）。
而A、B都在直线y＝－x＋3上，
所以b＝－a＋3（A点坐标代入），
或a＝－b＋3（B点坐标代入），故a＋b＝3．
6．解析：选C．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lgx与y＝－x＋3的图像。它们交点的横坐标x0显然在区间（1，3）内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于手工画图精确性的限制，单凭直观想象很难做出判断。实际上这是要比较x0与2的大小。
当x＝2时，lgx＝lg2，－x＋3＝1，
由于lg2＜1，因此x0＞2，从而得到x0∈（2，3），故选C．
【达标反馈】
1．解析：选B．互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同。
2．解析：选A．y＝ax的反函数f（x）＝logax，
则1＝loga2，
所以a＝2．所以f（x）＝log2x。
3．解析：选D．由反函数的定义及互为反函数的函数图像间的对称关系可知A、B、C选项均正确。
4．解析：选C．y＝的反函数是f（x）＝logx，
所以f（x0）＝logx0＝－。
所以x0＝＝－＝2．
幂函数
【学习目标】
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式。
2．结合幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x的图像，掌握它们的性质。
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小。
【教学重难点】
1．幂函数的概念。
2．幂函数的性质。
3．幂函数性质的应用。
【学习过程】
问题导学
预习教材P33－P36的内容，思考以下问题：
1．幂函数是如何定义的？
2．幂函数的解析式具有什么特点？
3．常见幂函数的图像是什么？它具有哪些性质？
【新知初探】
1．一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数。
■名师点拨
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量。
2．幂函数的图像与性质
（1）五个常见幂函数的图像
（2）五个常见幂函数的性质：
函数
性质
y=x
y=x
y=x2
y=x3
y=x－1
定义域
R
[0，＋∞）
R
R
（－∞，0）∪（0，＋∞）
值域
R
[0，＋∞）
（0，＋∞）
R
（－∞，0）∪（0，＋∞）
奇偶性
奇
非奇非偶
偶
奇
奇
单调性
R上增
[0，＋∞）上增
（－∞，0）上减
[0，＋∞）上增
R上增
（－∞，0）上减
（0，＋∞）上减
公共点
（1，1）
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y=x－是幂函数。（ ）
（2）函数y=2－x是幂函数。（ ）
（3）幂函数的图像都不过第二、四象限。（ ）
2．下列所给函数中，是幂函数的是（ ）
A．y=－x3
B．y=3x
C．y=x
D．y=x2－1
3．下列函数中，在（－∞，0）上是增函数的是（ ）
A．y=x3
B．y=x2
C．y=
D．y=x
4．已知幂函数f（x）的图像经过点（2，），则f（4）=________。
探究一、幂函数的概念
1．函数f（x）=（m2－m－1）xm2＋m－3是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，求f（x）的解析式。
（1）本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1=1”这一等量关系，导致解题受阻。
（2）幂函数y=xα（α∈R）中，α为常数，系数为1，底数为单一的x。这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准。幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错。
2．已知幂函数f（x）=xα的图像经过点（9，3），则f（100）=________。
探究二、幂函数的图像
3．如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为（ ）
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2，2，
D．2，，－2，－
[规律方法]
幂函数图像的特征
（1）在第一象限内，直线x=1的右侧，y=xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x=1的左侧，y=xα的图像由上到下，指数α由小变大。
（2）当α＞0时，幂函数的图像都经过（0，0）和（1，1）点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过（1，1）点，在第一象限内，曲线下凸。
4．如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像，则（ ）
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜－1，0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
探究三、比较幂的大小
5．比较下列各组数中两个数的大小：
（1）与；（2）与；
（3）0.25－与6．25；（4）0.20.6与0.30.4
[规律方法]
（1）比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数。
（2）若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量。
6．比较下列各组数的大小：
（1）与；（2）－3．143与－π3；
（3）与。
【达标反馈】
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=5x
B．y=x5
C．y=5x
D．y=（x＋1）3
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A．y=x
B．y=x－
C．y=x
D．y=x
3．设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为（ ）
A．1，3
B．－1，1
C．－1，3
D．－1，1，3
4．若a=，b=，c=（－2）3，则a、b、c的大小关系为________。
5．已知幂函数f（x）=（n2＋2n－2）xn2－3n（n∈Z）的图像关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）√（2）×（3）×
2．解析：选C．幂函数的形式为y=xα，只有C符合。
3．解析：选A．结合函数图像，易知y=x3在（－∞，0）上为增函数，故选A．
4．解析：设f（x）=xα，所以α=，所以f（4）=4=2．
答案：2
探究一、幂函数的概念
1．【解】根据幂函数定义得，
m2－m－1=1，解得m=2或m=－1，
当m=2时，f（x）=x3在（0，＋∞）上是增函数，
当m=－1时，f（x）=x－3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求。
所以f（x）的解析式为f（x）=x3．
2．解析：由题意可知f（9）=3，即9α=3，所以α=，
所以f（x）=x，所以f（100）=100=10.
答案：10
3．【解析】考虑幂函数在第一象限内的增减性。注意当n＞0时，对于y=xn，n越大，y=xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小。根据幂函数y=xn的性质，故c1的n=2，c2的n=，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n=－，曲线c4的n=－2，故选B．
【答案】B
4．解析：选B．在（0，1）内取同一值x0，作直线x=x0，与各图像有交点，如图所示。根据点低指数大，所以0＜m＜1，n＜－1．
5．【解】（1）因为y=x是[0，＋∞）上的增函数，且＞，
所以＞。
（2）因为y=x－1是（－∞，0）上的减函数，且－＜－，
所以＞。
（3）0.25－==2，6．25=2．5，
因为y=x是[0，＋∞）上的增函数，且2＜2．5，
所以2＜2．5，即0.25－＜6．25。
（4）由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y=0.3x是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4．
6．解：（1）因为y=x0.5在[0，＋∞）上是增函数且＞，
所以＞。
（2）因为y=x3是R上的增函数，且3．14＜π，
所以3．143＜π3，所以－3．143＞－π3．
（3）因为y=是减函数，所以＜。y=x是[0，＋∞）上的增函数，所以＞。
所以＞。
【达标反馈】
1．解析：选B．函数y=5x是指数函数，不是幂函数；函数y=5x是正比例函数，不是幂函数；函数y=（x＋1）3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y=x5是幂函数。
2．解析：选D．y=x=，其定义域为R，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同。
3．解析：选A．可知当α=－1，1，3时，y=xα为奇函数，又因为y=xα的定义域为R，则α=1.3．
4．解析：因为y=x在（0，＋∞）上为增函数。
所以＞，即a＞b＞0.
而c=（－2）3=－23＜0，
所以a＞b＞C．
答案：a＞b＞c
5．解析：由于f（x）为幂函数，
所以n2＋2n－2=1，
解得n=1或n=－3，
经检验只有n=1适合题意。
答案：1
增长速度的比较
【学习目标】
1．了解平均变化率描述增长速度的概念.
2．了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.
【学习重难点】
1．平均变化率.
2．模型增长差异.
【学习过程】
一、问题预习
预习教材，思考以下问题：
1．平均变化率是如何定义的？
2．如何用平均变化率描述增长速度？
3．线性增长、指数增长、对数增长有什么关系？
二、新知探究
1．平均变化率的比较
（1）在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2．③y＝x3．④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③ C．② D．①
（2）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
【解析】（1）Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2．3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3．99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4，故应选B．
（2）v1＝＝kOA，
v2＝＝kAB，
v3＝＝kBC，
又因为kBC＞kAB＞kOA，
所以v3＞v2＞v1．
【答案】（1）B（2）v3＞v2＞v1
2．函数模型增长差异的比较
甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：
①当x＞1时，甲走在最前面；
②当x＞1时，乙走在最前面；
③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为________．
【答案】③④⑤
3．不同增长函数模型的图像特征
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
（1）指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；
（2）比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解】（1）由函数图像特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
（2）当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
三、学习小结
1．平均变化率
函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)上的平均变化率为
＝.也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢．
2．几类不同增长的函数模型
（1）一次函数模型
一次函数模型y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
（2）指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
（4）幂函数模型
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长速度就越快．
四、精炼反馈
1．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为( )
A．x0＋Δx B．1＋Δx
C．2＋Δx D．2
解析：选D．由题意，可得平均变化率＝＝2，故选D．
2．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( )
A．y＝x2 B．y＝log2x
C．y＝2x D．y＝2x
答案：D
3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10．2)，则应选用________作为函数模型．
答案：甲
函数的应用（二）
【学习目标】
1．会利用已知函数模型解决实际问题。
2．能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题。
【学习重难点】
1．指数、对数函数模型在实际问题中的应用。
2．根据实际问题建立函数模型。
【学习过程】
问题导学
预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：
1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？
2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
【新知初探】
几类常见的函数模型
名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c
顶点式：y＝a＋
a≠0
指数函数模型
y＝b·ax＋c
a＞0且a≠1，b≠0
对数函数模型
y＝mlogax＋n
a＞0且a≠1，m≠0
幂函数模型
y＝axn＋m
a≠0，n≠1
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质。（ ）
（2）在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性。（ ）
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆。若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝0.2x（0≤x≤4000）
B．y＝0.5x（0≤x≤4000）
C．y＝－0.1x＋1200（0≤x≤4000）
D．y＝0.1x＋1200（0≤x≤4000）
3．某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（）
A．2022年
B．2023年
C．2024年
D．2025年
探究一、利用已知函数模型解决问题
1．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益满足函数：
R（x）＝，其中x为月产量。
（1）将利润表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？
[规律方法]
理解所给函数模型中各量的意义，利用已知量求解析式，进而求函数的问题来解释实际问题。
2．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一个单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R（Q）＝4Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为________单位。
探究二、构造函数模型解决问题
3．目前某县有100万人，经过x年后为y万人。如果年平均增长率是1．2%，请回答下列问题：
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万。（精确到1年）
[规律方法]
建立函数模型应把握的三个关口
（1）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口。
（2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系。
（3）数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题。
4．某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租。该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用）。
（1）求函数y＝f（x）的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？
探究三、拟合函数模型解决问题
5．某经营商经营了A、B两种商品，逐月投资金额与所获纯利润列表如下：
投资A种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算。请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。
[规律方法]
函数拟合与预测的一般步骤
（1）根据原始数据、表格，绘出散点图。
（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线。
（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式。
（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。
6．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，还可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场。某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt。
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。
【达标反馈】
1．某市的房价（均价）经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（）
A．600元
B．50%
C．－1
D．＋1
2．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概。当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定。已知射出2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为________米。
3．某游乐场每天的盈利额y元与销售的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
（1）求y与x的函数解析式；
（2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）√（2）√
2．答案：C
3．答案：D
探究一、利用已知函数模型解决问题
1．【解】（1）设月产量为x台，则总成本G（x）＝20000＋100x，利润
f（x）＝R（x）－G（x）＝。
（2）由0≤x≤400时，f（x）＝－（x－300）2＋25000.
所以当x＝300时，f（x）取得最大值25000元。
当x＞400时，f（x）＝60000－100x是减函数，
f（x）＜60000－100×400＝20000＜25000.
所以当x＝300时，f（x）的最大值为25000元。
即每月生产300台仪器时，能获得最大利润，最大利润为25000元。
2．解析：总利润＝总收入－成本，L（Q）＝4Q－Q2－（200＋Q）＝－（Q－300）2＋250.
所以产品的生产数量为300单位时，总利润L（Q）的最大值是250万元。
答案：250
300
3．【解】（1）当x＝1时，y＝100＋100×1．2%＝100（1＋1．2%）；
当x＝2时，y＝100（1＋1．2%）＋100（1＋1．2%）×1．2%＝100（1＋1．2%）2；
当x＝3时，y＝100（1＋1．2%）2＋100（1＋1．2%）2×1．2%
＝100（1＋1．2%）3；…
故y关于x的函数解析式为y＝100（1＋1．2%）x（x∈N*）。
（2）当x＝10时，y＝100×（1＋1．2%）10＝100×1．01210≈112．7．故10年后该县约有112．7万人。
（3）设x年后该县的人口总数为120万，即100×（1＋1．2%）x＝120，解得x＝log1．012≈16．
故大约16年后该县的人口总数将达到120万。
4．解：（1）当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2．3．
因为x∈N*，所以3≤x≤6，x∈N*，
当x＞6时，y＝[50－3（x－6）]x－115．
令[50－3（x－6）]x－115＞0，得3x2－68x＋115＜0.
又x∈N*，解得2≤x≤20，所以6＜x≤20，x∈N*，
故y＝
定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}。
（2）对于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈N*），
显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115
＝－3＋（6＜x≤20，x∈N*）。
当x＝11时，ymax＝270，因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多。
5．【解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出A，B两种商品的散点图分别如图①②所示。
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟。
取点（4，2）为最高点，则y＝a（x－4）2＋2，
再把点（1，0.65）代入，得0.65＝a（1－4）2＋2，
解得a＝－0.15，所以y＝－0.15（x－4）2＋2．
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟。
设y＝kx＋b，取点（1，0.25）和点（4，1），代入得
解得所以y＝0.25x。
故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15（x－4）2＋2，前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x。
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB（万元），总利润为W（万元），那么
所以W＝－0.15＋0.15×＋2．6．
所以当xA≈3．2时W最大约为4．1，
此时xB≈8．8．
即该经营者第七个月把12万元中的3．2万元投资A种商品，8．8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4．1万元。
6．解：（1）由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得
解得a＝，b＝－，c＝。
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋。
（2）当t＝－＝150（天）时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100（元/10kg）。
【达标反馈】
1．解析：选C．设6年间平均增长率为x，则有1200（1＋x）6＝4800，解得x＝－1．
2．解析：由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60.
所以x＝60t－5t2．
由x＝－5t2＋60t＝－5（t－6）2＋180，
知当t＝6时，x取得最大值为180，
即弓箭能达到的最大高度为180米。
答案：180
3．解：（1）由图像知，可设y＝kx＋b，x∈[0，200]时，过点（0，－1000）和（200，1000），解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈（200，300]时，过点（200，500）和（300，2000），解得k＝15，b＝－2500，从而y＝15x－2500，
所以y＝
（2）每天的盈利额超过1000元，则x∈（200，300]，由15x－2500＞1000得，x＞，故每天至少需要卖出234张门票。
数学建模活动：生长规律的描述
【学习目标】
1．收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义.
2．通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养.
【学习重难点】
何借助函数刻画实际问题.
【学习过程】
一、预习设问
问题：你知道什么是数学建模吗？
提示：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.
二、合作探究：生长规律的描述
1．发现问题，提出问题
生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度.例如，香港特别行政区卫生署2010年发布的《香港特别行政区7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，香港7岁以下女童身高(长)的中位数如下表所示(0岁指刚出生时)
年龄/岁
0
0.5
1
1．5
2
2．5
3
身高/cm
49．7
66．8
75
81．5
87．2
92．1
96．3
年龄/岁
3．5
4
4．5
5
5．5
6
6．5
身高/cm
99．4
103．1
106．7
110．2
113．5
116．6
119．4
以上数据可用下图表示
从数据和图都可以看出，香港地区7岁以下女童身高的增长速度越来越慢，能否利用数学语言来描述类似的生长规律呢？
2．分析问题、建立模型
3．确定参数、计算求解
4．验证结果、改进模型
【学习小结】
1．用函数构建数学模型解决实际问题的步骤
（1）观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析；
（2）发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系；
（3）收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；
（4）选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；
（5）求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型；
（6）检验模型： 利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.
2．数学建模活动的要求
（1）组建团队；（2）开展研究报告；（3）撰写研究报告；（4）交流展示.
