实数指数幂及其运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
根式的概念及运算性质
理解n次方根及根式的概念．正确运用根式的运算性质进行根式运算
数学抽象
实数指数幂
学会根式与分数指数幂之间的相互转化，掌握用有理指数幂的运算性质化简求值
数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
根式与分数指数幂的互化
例1：（1）若（x－2）－有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞） B．（－∞，2]
C．（2，＋∞） D．（－∞，2）
（2）化简－得（ ）
A．6 B．－2x
C．6或－2x D．6或2x或－2x
（3）用分数指数幂表示下列各式（a>0，b>0）．
①·；②；
③·；④（）2·．
解：（1）选C．由负分数指数幂的意义可知，（x－2）－＝，所以x－2>0，即x>2，所以x的取值范围是（2，＋∞）．
（2）选C．原式＝|x＋3|－（x－3）＝
（3）①原式．
②原式．
③原式．
④原式．
规律方法：
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．
探究点2：
根式、分数指数幂的化简与求值
例2：计算下列各式：
（1）0.064－－＋[（－2）3]－＋16－0．75；
（2）×（a>0，b>0）；
（3）·．
解：（1）原式＝0.4－1－1＋（－2）－4＋2－3＝－1＋＋＝．
（2）原式．
（3）原式．
规律方法：
（1）化简结果的一个要求和两个不能
（2）幂的运算的常规方法
①化负指数幂为正指数幂．
②化根式为分数指数幂．
③化小数为分数进行运算．
探究点3：
指数式的条件求值问题
例3：已知，求下列各式的值：
（1）a＋a－1；
（2）a2＋a－2．
解：（1）将两边平方，得a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14．
（2）将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194．
规律方法：
（1）在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
（2）在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
二、课堂总结
1．有理指数幂
（1）一般地，an中的a称为底数，n称为指数．
（2）一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．
①0的任意正整数次方根均为0，记为＝0．
②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在．
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
（3）当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
一般地，根式具有以下性质：
①（）n＝a．
②＝
（4）一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义．
对于一般的正分数，也可作类似规定，即a＝（）m＝．但值得注意的是，这个式子在不是既约分数（即m，n有大于1的公因数）时可能会有歧义．
负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝．
（5）有理指数幂的运算法则：asat＝as＋t，（as）t＝ast，（ab）s＝asbs．
■名师点拨
（1）（）n中当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0，但中a∈R．
（2）分数指数幂a不可以理解为个a相乘．
2．实数指数幂
一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0时，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义．
三、课堂检测
1．化简等于（ ）
A．e－e－1 B．e－1－e
C．e＋e－1 D．0
解析：选A．
＝＝＝＝|e－1－e|＝e－e－1．
2．下列各式中成立的一项是（ ）
A．＝n7m B．＝
C．＝（x＋y） D．＝
解析：选D．A中应为＝n7m－7；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中当x＝y＝1时不成立；D正确．
3．（a>0）的值是（ ）
A．1 B．a
C．a D．a
解析：选D．原式＝a3·a－·a－＝a3－－＝a．
4．计算：－（－9.6）0－＋（1.5）－2＝________．
解析：原式＝－1－＋
＝－1－＋＝．
答案：
指数函数的性质与图像
【第1课时】
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
指数函数的概念
理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性
数学抽象
指数函数的性质与图像
掌握指数函数的性质和图像
数学运算
指数函数的定义域、值域
会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域
数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
求指数函数的解析式
例1：已知指数函数f（x）的图像过点（3，π），求函数f（x）的解析式．
解：设f（x）＝ax，将点（3，π）代入，得到f（3）＝π，
即a3＝π，解得a＝π，所以f（x）＝π．
规律方法：
根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1．指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．
要求指数函数f（x）＝ax（a>0且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
探究点2：
指数型函数的定义域、值域问题
命题角度一：y＝f（ax）型
例2：求下列函数的定义域和值域．
（1）y＝；（2）y＝4x－2x＋1．
解：（1）函数y＝的定义域为R（因为对一切x∈R，3x≠－1）．
因为y＝＝1－，
又因为3x>0，1＋3x>1，
所以0<<1，所以－1<－<0，
所以0<1－<1，所以y＝的值域为（0，1）．
（2）定义域为R，y＝（2x）2－2x＋1＝＋，
因为2x>0，所以当2x＝时，即x＝－1时，y取最小值，
所以y＝4x－2x＋1的值域为．
规律方法：
解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y＝f（t）的问题．
命题角度二：y＝af（x）型
例3：求函数的定义域与值域．
解：要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－2．
因为y＝3x在R上是增函数，所以2x－1≥－2，解得x≥－．
故所求函数的定义域为．
当x∈时，32x－1∈．
所以32x－1－∈[0，＋∞）．所以原函数的值域为[0，＋∞）．
规律方法：
y＝af（x）的定义域即f（x）的定义域，求y＝af（x）的值域可先求f（x）的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f（x）的范围求y＝at的范围．
探究点3：
指数函数图像的应用
命题角度一：指数函数整体图像
例4：在如图所示的图像中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝的图像可能是（ ）
解析：根据选项中二次函数图像可知c＝0，所以二次函数y＝ax2＋bx，因为>0，所以二次函数的对称轴为x＝－<0，排除B、D．对于A，C，都有0<<1，所以－<－<0，C不符合．故选A．
答案：A
总结升华：
函数y＝ax的图像主要取决于0
1．但前提是a>0且a≠1．此题主要考虑二次函数的系数与指数函数底数大小关系．
命题角度二：指数函数局部图像
例5：若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．
解：y＝|2x－1|＝
图像如图：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，
需0<2a<1，即0规律方法：
指数函数是一种基本初等函数，与其他函数一起可以衍生出很多函数，体现了指数函数图像的“原料”作用．此题目考查图像变换，同时要注意指数函数中的“渐近线”对交点个数的影响．
1．下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝（－3）x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝
答案：D
2．若函数y＝（2a－1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（ ）
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
答案：C
3．函数y＝3－x2的值域是（ ）
A．（0，＋∞） B．（－∞，0]
C．（0，1] D．[－1，0）
答案：C
4．函数f（x）＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0答案：D
5．函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A．（－3，0]
B．（－3，1]
C．（－∞，－3）∪（－3，0]
D．（－∞，－3）∪（－3，1]
解析：选A．由题意，自变量x应满足
解得－3二、课堂总结
指数函数
（1）一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1．
（2）指数函数y＝ax（a>0且a≠1）具有下列性质：
①定义域是R．
②值域是（0，＋∞），即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方．
③函数图像一定过点（0，1）．
④当a>1时，y＝ax是增函数；当0⑤指数函数的图像．
三、课堂检测
1．下列函数中，指数函数的个数为（ ）
①y＝；②y＝ax（a>0，且a≠1）；③y＝1x；
④y＝－1．
A．0 B．1
C．3 D．4
解析：选B．由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．函数y＝的定义域是（ ）
A．（－∞，0） B．（－∞，0]
C．[0，＋∞） D．（0，＋∞）
解析：选C．由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0．
3．当a＞0，且a≠1时，函数f（x）＝ax＋1－1的图像一定过点（ ）
A．（0，1） B．（0，－1）
C．（－1，0） D．（1，0）
解析：选C．当x＝－1时，显然f（x）＝0，因此图像必过点（－1，0）．
4．函数f（x）＝ax与g（x）＝－x＋a的图像大致是（ ）
解析：选A．因为g（x）＝－x＋a的斜率为－1，所以g（x）＝－x＋a在定义域内单调递减，所以C、D选项错误．当a＞1时，函数f（x）＝ax单调递增，当x＝0时，g（0）＝a＞1，此时两函数的图像大致为选项A．
5．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则（ ）
A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1 D．0＜a＜1，0＜b＜1
解析：选C．由图像知，函数y＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx在R上单调递增，故b＞1．
6．若函数f（x）＝（a2－2a＋2）（a＋1）x是指数函数，则a＝________．
解析：由指数函数的定义得解得a＝1．
答案：1
7．已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）经过点（－1，5），（0，4），则f（－2）的值为________．
解析：由已知得解得
所以f（x）＝＋3，所以f（－2）＝＋3＝4＋3＝7．
答案：7
8．若函数f（x）＝则函数f（x）的值域是________．
解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，所以－x＜0，0＜2－x＜1，所以－1＜－2－x＜0．所以函数f（x）的值域为（－1，0）∪（0，1）．
答案：（－1，0）∪（0，1）
9．求下列函数的定义域和值域：
（1）y＝2－1；（2）y＝．
解：（1）要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数y＝2－1的值域为（－1，0）∪（0，＋∞）．
（2）函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9，所以函数y＝的值域为（0，9]．
10．已知函数f（x）＝ax－1（x≥0）的图像经过点，其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）（x≥0）的值域．
解：（1）函数图像经过点，所以a2－1＝，则a＝．
（2）由（1）知f（x）＝（x≥0），由x≥0，得x－1≥－1．于是0＜≤＝2，所以函数的值域为（0，2]．
【第2课时】
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
与指数函数有关的复合函数
掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断
数学运算
指数函数性质的应用
能借助指数函数性质比较大小，会解简单的指数方程、不等式
数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究1：:
解指数方程
例1：解下列关于x的方程：
（1）81×32x＝；
（2）22x＋2＋3×2x－1＝0．
解：（1）因为81×32x＝，
所以32x＋4＝3－2（x＋2），所以2x＋4＝－2（x＋2），所以x＝－2．
（2）因为22x＋2＋3×2x－1＝0，
所以4×（2x）2＋3×2x－1＝0．
令t＝2x（t＞0），则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1（舍去）．
所以2x＝，解得x＝－2．
规律方法：
（1）af（x）＝b型方程通常化为同底来解．
（2）解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．
探究点2：
指数函数单调性的应用
命题角度一：比较大小
例2：比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.7－2.5，1.7－3；（2）1.70.3，1.50.3；（3）1.70.3，0.83.1．
解：（1）因为1.7＞1，所以y＝1．7x在（－∞，＋∞）上是增函数．
因为－2.5＞－3，所以1.7－2.5＞1.7－3．
（2）法一：因为1.7＞1.5，所以在（0，＋∞）上，y＝1.7x的图像位于y＝1.5x的图像的上方．而0.3＞0，所以1.70.3＞1.50.3．
法二：因为1.50.3＞0，且＝，又＞1，0.3＞0，所以＞1，
所以1.70.3＞1.50.3．
（3）因为1.70.3＞1.70＝1，0.83.1＜0.80＝1，所以1.70.3＞0.83.1．
规律方法：
当两个指数底数相同时，利用指数函数的单调性直接比较大小；当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1．
命题角度二：解指数不等式
例3：解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5（a>0，且a≠1）．
解：（1）当0（2）当a>1时，因为a2x＋1≤ax－5，所以2x＋1≤x－5，解得x≤－6．
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
规律方法：
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
命题角度三：与指数函数复合的单调性问题
例4：（1）求函数y＝的单调区间；
（2）求函数y＝－8·＋17的单调区间．
解：（1）y＝的定义域为R．在（－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，所以y＝在（－∞，3]上是增函数．在（3，＋∞）上，y＝x2－6x＋17是增函数，所以y＝在（3，＋∞）上是减函数．所以y＝的增区间是（－∞，3]，减区间是（3，＋∞）．
（2）设t＝，又y＝t2－8t＋17在（－∞，4]上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增．令≤4，得x≥－2．所以当－2≤x12，即4≥t1>t2，所以t－8t1＋17规律方法：
复合函数单调性问题归根结底是由x1二、课堂检测
1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
解析：选B．因为y＝0.5x在R上是减函数，且＞＞，所以0.5<0.5<0.5．
2．方程42x－1＝16的解是（ ）
A．x＝－ B．x＝
C．x＝1 D．x＝2
解析：选B．42x－1＝42，所以2x－1＝2，x＝．
3．函数f（x）＝的单调递增区间为（ ）
A．（－∞，0] B．[0，＋∞）
C．（－1，＋∞） D．（－∞，－1）
解析：选A．因为f（x）＝，0<<1，所以f（x）的单调递增区间为u（x）＝x2－1的单调递减区间，即（－∞，0]．
4．设0＜a＜1，则关于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3的解集为________．
解析：因为0＜a＜1，所以y＝ax在R上是减函数，
又因为a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3，
所以2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1．
答案：（1，＋∞）
对数运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
对数的概念
了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化
数学抽象、数学运算
对数的基本性质
理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值
数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
对数的概念
例1：在N＝log（5－b）（b－2）中，实数b的取值范围是（ ）
A．b<2或b>5 B．2C．4解析：因为所以2答案：D
规律方法：
由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0．
探究点2：
对数式与指数式的互化
例2：（1）将下列指数式化成对数式：
①54＝625；②2－6＝；③3a＝27；④＝5.73．
（2）将下列对数式化成指数式并求x的值：
①log64x＝－；②logx8＝6；③lg100＝x．
解：（1）①log5625＝4；②log2＝－6；③log327＝a；④log5.73＝m．
（2）①x＝64－＝（43）－＝4－2＝．
②因为x6＝8，所以x＝（x6）＝8＝（23）＝2＝．
③因为10x＝100＝102，所以x＝2．
规律方法：
（1）指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
（2）要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
探究点3：
对数基本性质的应用
例3：求下列各式中x的值：
（1）log2（log5x）＝0；（2）log3（lgx）＝1．
解：（1）因为log2（log5x）＝0．
所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5．
（2）因为log3（lgx）＝1，所以lgx＝31＝3，所以x＝103＝1 000．
规律方法：
logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
二、课堂总结
1．对数的概念
（1）在表达式ab＝N（a>0且a≠1，N∈（0，＋∞））中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．
（2）当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，由此可知，只有N>0时，logaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数．
（3）loga1＝0；logaa＝1；alogaN＝N；logaab＝b．
2．常用对数和自然对数
（1）以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N简写为lgN．
（2）以无理数e（e＝2.71828…）为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为lnN．
三、课堂检测
1．logbN＝a（b>0，b≠1，N>0）对应的指数式是（ ）
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
答案：B
2．若logax＝1，则（ ）
A．x＝1 B．a＝1
C．x＝a D．x＝10
答案：C
3．已知logx16＝2，则x等于（ ）
A．±4 B．4
C．256 D．2
答案：B
4．设10lgx＝100，则x的值等于（ ）
A．10 B．0.01
C．100 D．1 000
答案：C
对数运算法则
教学重难点
教学目标
核心素养
对数运算法则
掌握对数运算性质，理解其推导过程和成立条件
数学运算
换底公式
掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值
数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究1：
具体数的化简求值
例1：计算：（1）log345－log35；
（2）log2（23×45）；
（3）；
（4）log29·log38．
解：（1）log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2log33＝2．
（2）log2（23×45）＝log2（23×210）＝log2（213）＝13log22＝13．
（3）原式＝
＝＝
＝＝．
（4）log29·log38＝log2（32）·log3（23）
＝2log23·3log32
＝6·log23·＝6．
规律方法：
具体数的化简求值主要遵循两个原则：
（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
（2）不同底化为同底．
探究点2：
代数式的化简
命题角度一：代数式恒等变换
例2：化简loga．
解：因为>0且x2>0，>0，所以y>0，z>0．
loga＝loga（x2）－loga＝logax2＋loga－loga＝2loga|x|＋logay－logaz．
规律方法：
使用公式要注意成立条件，如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10（－10）2＝2log10（－10）是不成立的．要特别注意loga（MN）≠logaM·logaN，loga（M±N）≠logaM±logaN．
命题角度二：用代数式表示对数
例3：已知log189＝a，18b＝5，求log3645．
解：法一：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，
所以log3645＝＝＝＝＝．
法二：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，所以log3645＝＝
＝＝．
法三：因为log189＝a，18b＝5，所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
所以log3645＝＝＝＝＝．
规律方法：
用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．
二、课堂总结
1．对数运算法则
loga（MN）＝logaM＋logaN，
logaMα＝αlogaM，
loga＝logaM－logaN．
（其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R）
2．换底公式
logab＝．（其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1）
三、课堂检测
1．log5＋log53等于（ ）
A．0 B．1
C．－1 D．log5
答案：A
2．（2019·广西南京市期中）在对数式b＝loga－2（5－a）中，实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a>5或a<2}
B．{a|2C．{a|2D．{a|3解析：选C．由题意得解得23．log29×log34等于（ ）
A． B．
C．2 D．4
答案：D
4．log3＋lg25＋lg4＋7log72＋（－9.8）0＝________．
解析：原式＝log333＋lg（25×4）＋2＋1＝＋2＋3＝．
答案：
对数函数的性质与图像
【第1课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
对数函数的概念
理解对数函数的概念，会判断对数函数
数学抽象
对数函数的图像
初步掌握对数函数的图像与性质
直观想象、数学运算
对数函数的简单应用
能利用对数函数的性质解决与之有关的问题
数学建模、数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究1：
对数函数的概念
例1：判断下列函数哪些是对数函数？
（1）y＝3log2x；（2）y＝log6x；（3）y＝logx3；（4）y＝log2x＋1．
解：（1）log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
（2）符合对数函数的结构形式，是对数函数．
（3）自变量在底数位置上，不是对数函数．
（4）对数式log2x后又加1，不是对数函数．
规律方法：
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax（a＞0且a≠1）的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1．
（2）底数为大于0且不等于1的常数．
（3）对数的真数仅有自变量x．
探究点2：
对数函数的图像
例2：如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取，，，，则对应于c1、c2、c3、c4的a值依次为（ ）
A．、、、
B．、、、
C．、、、
D．、、、
解析：法一：观察在（1，＋∞）上的图像，先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图像靠近x轴的底大，c1、c2对应的a分别为、．然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图像靠近x轴的底小，c3、c4对应的a分别为、．综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、．故选A．
法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、，故选A．
答案：A
规律方法：
函数y＝logax（a＞0且a≠1）的底数变化对图像位置的影响
观察图像，注意变化规律：
（1）上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．
（2）左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
探究点3：
与对数函数有关的定义域问题
例3：若f（x）＝，则f（x）的定义域为（ ）
A． B．
C．∪（0，＋∞） D．
解析：由题意知解得x＞－且x≠0．
答案：C
规律方法：
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式．
二、课堂总结
对数函数
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1．
对数函数y＝logax的性质：
（1）定义域是（0，＋∞），因此函数图像一定在y轴的右边．
（2）值域是实数集R．
（3）函数图像一定过点（1，0）．
（4）当a>1时，y＝logax是增函数；当0（5）对数函数的图像
■名师点拨
底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图像“下降”．
三、课堂检测
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝loga（2x） B．y＝log22x
C．y＝log2x＋1 D．y＝lgx
解析：选D．选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax（a＞0且a≠1）”的形式，只有D选项符合．
2．函数f（x）＝＋lg（3x＋1）的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
解析：选D．由可得－＜x＜1．
3．函数y＝ax与y＝－logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图像形状可能是（ ）
解析：选A．函数y＝－logax恒过定点（1，0），排除B项；当a＞1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，排除C项，当04．若a＞0且a≠1，则函数y＝loga（x－1）＋1的图像过定点为________．
解析：函数图像过定点，则与a无关，故loga（x－1）＝0，
所以x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga（x－1）＋1过定点（2，1）．
答案：（2，1）
5．比较下列各组数的大小：
（1）log2________log2；
（2）log32________1；
（3）log4________0．
解析：（1）底数相同，y＝log2x是增函数，
所以log2＜log2．（2）log32＜log33＝1．（3）log4＜log1＝0．
答案：（1）＜ （2）＜ （3）＜
指数函数与对数函数的关系
教学重难点
教学目标
核心素养
反函数
了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系
数学抽象
指数、对数函数的图像与性质的应用
利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题
数学抽象、数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
求反函数
例1：写出下列函数的反函数：
（1）y＝lgx；（2）y＝5x＋1；（3）y＝（）x；（4）y＝x2（x≤0）．
解：（1）y＝lgx的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x．
（2）由y＝5x＋1，得x＝，所以反函数为y＝（x∈R）．
（3）y＝（）x的底数为，它的反函数为对数函数y＝logx（x＞0）．
（4）由y＝x2得x＝±．
因为x≤0，所以x＝－．所以反函数为y＝－（x≥0）．
规律方法：
求反函数的一般步骤：
（1）求值域：由函数y＝f（x）求y的范围．
（2）解出x：由y＝f（x）解出x＝f－1（y）．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．
（3）得反函数：将x，y互换得y＝f－1（x），注意定义域．
探究点2：
互为反函数的性质应用
例2：已知函数y＝ax＋b（a＞0且a≠1）的图像过点（1，4），其反函数的图像过点（2，0），求a，b的值．
解：因为y＝ax＋b的图像过点（1，4），所以a＋b＝4．①
又因为y＝ax＋b的反函数图像过点（2，0），
所以点（0，2）在原函数y＝ax＋b的图像上．
所以a0＋b＝2．②
联立①②得a＝3，b＝1．
规律方法：
互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点（a，b）在函数y＝f（x）的图像上，则点（b，a）必在其反函数y＝f－1（x）的图像上．
探究点3：
指数、对数函数图像与性质的应用
例3：设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
解：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3．
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图像关于直线y＝x对称，
由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，
于是A、B两点的坐标为A（a，b），B（b，a）．
而A、B都在直线y＝－x＋3上，
所以b＝－a＋3（A点坐标代入），
或a＝－b＋3（B点坐标代入），故a＋b＝3．
规律方法：
形如ax＋kx＝b（a＞0且a≠0）或logax＋kx＝b（a＞0且a≠1）的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题．
二、课堂总结
1．一般地，如果在函数y＝f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f（x）的反函数．
2．一般地，函数y＝f（x）的反函数记作y＝f－1（x）．y＝f（x）的定义域与y＝f－1（x）的值域相同，y＝f（x）的值域与y＝f－1（x）的定义域相同，y＝f（x）与y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称．
3．如果y＝f（x）是单调函数，那么它的反函数一定存在．如果y＝f（x）是增函数，则y＝f－1（x）也是增函数；如果y＝f（x）是减函数，则y＝f－1（x）也是减函数．
三、课堂检测
1．函数y＝logx（x＞0）的反函数是（ ）
A．y＝x，x＞0 B．y＝，x∈R
C．y＝x2，x∈R D．y＝2x，x∈R
解析：选B．互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同．
2．若函数f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）等于（ ）
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
解析：选A．y＝ax的反函数f（x）＝logax，则1＝loga2，所以a＝2．所以f（x）＝log2x．
3．已知函数y＝ax与y＝logax（a＞0且a≠1），下列说法不正确的是（ ）
A．两者的图像关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内的增减性相同
D．y＝ax的图像经过平移可得到y＝logax的图像
解析：选D．由反函数的定义及互为反函数的函数图像间的对称关系可知A、B、C选项均正确．
4．已知y＝的反函数为y＝f（x），若f（x0）＝－，则x0等于（ ）
A．－2 B．－1
C．2 D．
解析：选C．y＝的反函数是f（x）＝logx，所以f（x0）＝logx0＝－．
所以x0＝＝－＝2．
幂函数
教学重难点
教学目标
核心素养
幂函数的概念
了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式
数学抽象
幂函数的性质
结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，掌握它们的性质
数学运算
幂函数性质的应用
能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小
数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
幂函数的概念
例1：函数f（x）＝是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，求f（x）的解析式．
解：根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f（x）＝x3在（0，＋∞）上是增函数，
当m＝－1时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求．
所以f（x）的解析式为f（x）＝x3．
总结升华
（1）本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．
（2）幂函数y＝xα（α∈R）中，α为常数，系数为1，底数为单一的x．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
探究点2：
幂函数的图像
例2：如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为（ ）
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2，2，
D．2，，－2，－
解析：考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B．
答案：B
规律方法：
幂函数图像的特征：
（1）在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．
（2）当α＞0时，幂函数的图像都经过（0，0）和（1，1）点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过（1，1）点，在第一象限内，曲线下凸．
探究点3：
比较幂的大小
例3：比较下列各组数中两个数的大小：
（1）与；（2）与；
（3）0.25－与6.25；（4）0.20.6与0.30.4．
解：（1）因为y＝x是[0，＋∞）上的增函数，且＞，所以＞．
（2）因为y＝x－1是（－∞，0）上的减函数，且－＜－，所以＞．
（3）0.25－＝＝2，6.25＝2.5，
因为y＝x是[0，＋∞）上的增函数，且2＜2.5，
所以2＜2.5，即0.25－＜6.25．
（4）由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4．
规律方法：
（1）比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
（2）若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
二、课堂总结
1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
2．幂函数的图像与性质
（1）五个常见幂函数的图像
（2）五个常见幂函数的性质：
函数
性质
y＝x
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x-1
定义域
R
[0，＋∞）
R
R
（－∞，0）∪（0，＋∞）
值域
R
[0，＋∞）
（0，＋∞）
R
（－∞，0）∪（0，＋∞）
奇偶性
奇
非奇非偶
偶
奇
奇
单调性
R上增
[0，＋∞）上增
（－∞，0）上减
[0，＋∞）上增
R上增
（－∞，0）上减
（0，＋∞）上减
公共点
（1，1）
三、课堂检测
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝（x＋1）3
解析：选B．函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝（x＋1）3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A．y＝x B．y＝x－
C．y＝x D．y＝x
解析：选D．y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同．
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为（ ）
A．1，3 B．－1，1
C．－1，3 D．－1，1，3
解析：选A．可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1，3．
4．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________．
解析：因为y＝x在（0，＋∞）上为增函数．
所以＞，即a＞b＞0．
而c＝(－2)3＝－23＜0，
所以a＞b＞c．
答案：a＞b＞c
5．已知幂函数f（x）＝（n2＋2n－2）xn2－3n（n∈Z）的图像关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为________．
解析：由于f（x）为幂函数，
所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，
经检验只有n＝1适合题意．
答案：1
增长速度的比较
【教学目标】
1．了解平均变化率描述增长速度的概念.
2．了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.
【教学重难点】
1．平均变化率.
2．模型增长差异.
【教学过程】
一、问题导入
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
（A）5年（B）7年（C）8年（D）9年（E）永远也买不起
你能给出这道题的答案吗？
二、新知探究
1．平均变化率的比较
【例】（1）在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2．③y＝x3．④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③ C．② D．①
（2）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
【解析】（1）Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2．3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3．99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4，故应选B．
（2）v1＝＝kOA，
v2＝＝kAB，
v3＝＝kBC，
又因为kBC＞kAB＞kOA，
所以v3＞v2＞v1．
【教师总结】函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)上的平均变化率为
＝.也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢．
2．函数模型增长差异的比较
【例】甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：
①当x＞1时，甲走在最前面；
②当x＞1时，乙走在最前面；
③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为________．
【答案】③④⑤
【教师总结】几类不同增长的函数模型
（1）一次函数模型
一次函数模型y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
（2）指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
（4）幂函数模型
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长速度就越快．
3．不同增长函数模型的图像特征
【例】函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
（1）指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；
（2）比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解】（1）由函数图像特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
（2）当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
三、课堂检测
1．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为( )
A．x0＋Δx B．1＋Δx
C．2＋Δx D．2
解析：选D．由题意，可得平均变化率＝＝2，故选D．
2．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( )
A．y＝x2 B．y＝log2x
C．y＝2x D．y＝2x
答案：D
3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10．2)，则应选用________作为函数模型．
答案：甲
函数的应用（二）
教学重难点
教学目标
核心素养
指数、对数函数模型在实际问题中的应用
会利用已知函数模型解决实际问题
数学建模
根据实际问题建立函数模型
能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题
数学建模
【教学过程】
一、新知初探
探究1：
利用已知函数模型解决问题
例1：某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益满足函数：
R（x）＝，其中x为月产量．
（1）将利润表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？
解：（1）设月产量为x台，则总成本G（x）＝20 000＋100x，
利润f（x）＝R（x）－G（x）＝．
（2）由0≤x≤400时，f（x）＝－（x－300）2＋25 000.
所以当x＝300时，f（x）取得最大值25 000元．
当x＞400时，f（x）＝60 000－100x是减函数，
f（x）＜60 000－100×400＝20 000＜25 000．
所以当x＝300时，f（x）的最大值为25 000元．
即每月生产300台仪器时，能获得最大利润，最大利润为25 000元．
规律方法：
理解所给函数模型中各量的意义，利用已知量求解析式，进而求函数的问题来解释实际问题．
探究点2：
构造函数模型解决问题
例2：目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万．（精确到1年）
解：（1）当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100（1＋1.2%）；
当x＝2时，y＝100（1＋1.2%）＋100（1＋1.2%）×1.2%＝100（1＋1.2%）2；
当x＝3时，y＝100（1＋1.2%）2＋100（1＋1.2%）2×1.2%
＝100（1＋1.2%）3；…
故y关于x的函数解析式为y＝100（1＋1.2%）x（x∈N*）．
（2）当x＝10时，y＝100×（1＋1.2%）10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．
（3）设x年后该县的人口总数为120万，即100×（1＋1.2%）x＝120，解得x＝log1.012≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万．
规律方法：
建立函数模型应把握的三个关口
（1）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．
（2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．
（3）数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．
探究点3：
拟合函数模型解决问题
例3：某经营商经营了A、B两种商品，逐月投资金额与所获纯利润列表如下：
投资A种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）．
解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出A，B两种商品的散点图分别如图①②所示．
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．
取点（4，2）为最高点，则y＝a（x－4）2＋2，
再把点（1，0.65）代入，得0.65＝a（1－4）2＋2，
解得a＝－0.15，所以y＝－0.15（x－4）2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟．
设y＝kx＋b，取点（1，0.25）和点（4，1），代入得
解得所以y＝0.25x.
故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15（x－4）2＋2，前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB（万元），总利润为W（万元），那么
所以W＝－0.15＋0.15×＋2.6.
所以当xA≈3.2时W最大约为4.1，
此时xB≈8.8.
即该经营者第七个月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
规律方法：
函数拟合与预测的一般步骤
（1）根据原始数据、表格，绘出散点图．
（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
二、课堂总结
几类常见的函数模型
名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c
顶点式：y＝a＋
a≠0
指数函数模型
y＝b·ax＋c
a＞0且a≠1，b≠0
对数函数模型
y＝mlogax＋n
a＞0且a≠1，m≠0
幂函数模型
y＝axn＋m
a≠0，n≠1
三、课堂检测
1．某市的房价（均价）经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（ ）
A．600元 B．50%
C．－1 D．＋1
解析：选C.设6年间平均增长率为x，则有1 200（1＋x）6＝4 800，解得x＝－1.
2．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概．当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定．已知射出2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为________米．
解析：由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60.所以x＝60t－5t2．
由x＝－5t2＋60t＝－5（t－6）2＋180，
知当t＝6时，x取得最大值为180，
即弓箭能达到的最大高度为180米．
答案：180
3．某游乐场每天的盈利额y元与销售的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
（1）求y与x的函数解析式；
（2）要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
解：（1）由图像知，可设y＝kx＋b，x∈[0，200]时，过点（0，－1 000）和（200，1 000），解得k＝10，b＝－1 000，从而y＝10x－1 000；x∈（200，300]时，过点（200，500）和（300，2 000），解得k＝15，b＝－2 500，从而y＝15x－2 500，
所以y＝
（2）每天的盈利额超过1 000元，则x∈（200，300]，由15x－2 500＞1 000得，x＞，故每天至少需要卖出234张门票．
数学建模活动：生长规律的描述
【教学目标】
1．收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义.
2．通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养.
【教学重难点】
何借助函数刻画实际问题.
【教学过程】
一、激趣导入
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.
问题 你知道什么是数学建模吗？
提示 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.
二、合作探究：生长规律的描述
1．发现问题，提出问题
生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度.例如，香港特别行政区卫生署2010年发布的《香港特别行政区7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，香港7岁以下女童身高(长)的中位数如下表所示(0岁指刚出生时)
年龄/岁
0
0.5
1
1．5
2
2．5
3
身高/cm
49．7
66．8
75
81．5
87．2
92．1
96．3
年龄/岁
3．5
4
4．5
5
5．5
6
6．5
身高/cm
99．4
103．1
106．7
110．2
113．5
116．6
119．4
以上数据可用下图表示
从数据和图都可以看出，香港地区7岁以下女童身高的增长速度越来越慢，能否利用数学语言来描述类似的生长规律呢？
2．分析问题、建立模型
要描述生长规律，实际上是要描述当一个量(记为x)变化时，另外一个量(记为y)会怎样变化.例如，随着年龄的增长，身高将怎样变化？
不难想到，我们可以借助函数y＝f(x)来描述生长规律.
因为从生长规律来说，当x增大时，y是增大的，这说明函数y＝f(x)在指定的范围内应该是增函数；又因为不同的时间段有不同的增长速度，所以函数y＝f(x)不能是一次函数.
为了简单起见，可以假设函数的变量x，y都是连续变化的(也就是说可以取某个区间内的任意值).
当然，根据不同对象的生长规律，可以选择不同的函数形式.
对于香港地区7岁以下女童身高来说，考虑到增长速度一开始比较快，后来慢慢变缓，而我们熟悉的函数中，幂函数y＝具有这种性质，因此生长规律可用g(x)＝a＋b来描述.
3．确定参数、计算求解
对于描述香港地区7岁以下女童身高的函数g(x)＝a＋b来说，为了确定a，b的值可以在已有的数据中选择两对代入函数式，然后列方程组求解.
例如，如果选择的是g(0)＝49．7与g（4）＝103．1，则有
由此可解得a＝26．7，b＝49．7，
所以g(x)＝26．7＋49．7．
4．验证结果、改进模型
因为在求解时，我们都只用到了部分已有的数据，因此可以利用其他数据来检验所建立模型的优劣.
例如，对于描述香港地区7岁以下女童身高的函数g(x)＝26．7＋49．7来说，计算函数值，可以得到以下数据的对比表.
年龄/岁
0.5
1
1.5
2
2.5
3
身高/cm
66.8
75
81.5
87.2
92.1
96.3
g(x)
68.6
76.4
82.4
87.5
91.9
95.9
年龄/岁
3.5
4.5
5
5.5
6
6.5
身高/cm
99.4
106.7
110.2
113.5
116.6
119.4
g(x)
99.7
106.3
109.4
112.3
115.1
117.8
由表可以看出，误差都在2 cm以内，因此g(x)＝26．7＋49．7能够较好地反映香港地区7岁以下女童身高的生长规律.
【课堂小结】
1．用函数构建数学模型解决实际问题的步骤
（1）观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析；
（2）发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系；
（3）收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；
（4）选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；
（5）求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型；
（6）检验模型： 利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.
2．数学建模活动的要求
（1）组建团队；（2）开展研究报告；（3）撰写研究报告；（4）交流
