数据的收集
【教学目标】
1．结合具体的实际问题，理解从总体中抽取样本的必要性和重要性.
2．掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数表法的一般步骤.
3．会用分层抽样从总体中抽取样本.
【教学重难点】
1．总体与样本的概念.
2．简单随机抽样.
3．分层抽样.
【教学过程】
一、问题导入
育才中学想在高一年级下学期举办3场心理健康讲座，备选的主题有6个，高一学生共有1356人.学校将备选的6个主题一一列出，做成了调查问卷.为了选出最能满足大家需要的3个主题，以下两种方案各自的优点和缺点是什么？
（1）请每位高一学生完成调查问卷，然后统计有关结果；
（2）随机抽取50位高一学生完成调查问卷，然后统计有关结果.
二、新知探究
1．简单随机抽样的概念
【例】（1）关于简单随机抽样，下列说法正确的是( )
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
（2）下面的抽样方法是简单随机抽样的是________．
①从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本；
②从80台笔记本电脑中一次性抽取6台电脑进行质量检查；
③一福彩彩民买30选7彩票时，从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球，作为购买彩票的号码；
④用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．
【解析】（1）由随机抽样的特征可知①②③④均正确．
（2）①中样本总体数目不确定，不是简单随机抽样；②中样本不是从总体中逐个抽取，不是简单随机抽样；③④符合简单随机抽样的特点，是简单随机抽样．
【教师总结】
总体与样本：
（1）总体：统计中所考察问题涉及的对象全体是总体．
（2）个体：总体中的每个对象都是个体．
（3）样本：抽取的部分对象组成总体的一个样本．
（4）样本容量：一个样本中包含的个体数目是样本容量．
简单随机抽样：
（1）定义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体．当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法．
（2）常见的简单随机抽样方法：抽签法、随机数表法．
（3）抽签法的优缺点：
①优点：简单易行．
②缺点：当总体的容量非常大时，操作起来就比较麻烦，而且如果抽取之前搅拌不均匀，可能导致抽取的样本不具有代表性．
（4）用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤：
①对总体进行编号；
②在随机数表中任意指定一个开始选取的位置；
③按照一定规则选取编号．
2．分层抽样的概念
【例】（1）下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
（2）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
【解析】（1）A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适于用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．
（2）保证每个个体等可能的被抽取是各种基本抽样方法的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
【教师总结】分层抽样的定义：
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)．
3．分层抽样的应用
【例】某网站针对“2019年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持A方案
支持B方案
支持C方案
35岁以下的人数
200
400
800
35岁以上(含35岁)的人数
100
100
400
（1）从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
（2）从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
【解】（1）由题意得
＝，
解得n＝40.
（2）35岁以下的人数为×400＝4，
35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1．
三、课堂检测
1．抽签法中确保样本代表性的关键是( )
A．制签 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
解析：选B．逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键，一次抽取与有放回抽取也不影响样本的代表性，制签也一样，故选B．
2．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是( )
A．总体是240名学生 B．个体是每名学生
C．样本是40名学生 D．样本容量是40
解析：选D．在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每名学生的身高，样本是40名学生的身高，样本容量是40，因此选D．
3．下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是( )
A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
解析：选D．D中总体有明显差异，故用分层抽样．
4．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户，270户，180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A．40 B．30
C．20 D．36
解析：选A．抽样比为＝，
则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×＝40，故选A．
数据的数字特征
【教学目标】
1．理解数据的基本数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差与标准差等.
2．会用数字特征解决相关问题.
【教学重难点】
1．基本数字特征.
2．数字特征的应用.
【教学过程】
一、问题导入
如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比.
高一（1）班期中考试语文成绩
69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81
73 66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88
高一（2）班期中考试语文成绩
76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78
70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84
二、新知探究
1．利用概念求平均数、中位数、众数
【例】某电冰箱专卖店出售容积为182 L、185 L、228 L、268 L四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就做一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．
（1）这组数据的平均数有实际意义吗？
（2）这组数据的中位数、众数分别是多少？
（3）专卖店总经理关心的是中位数还是众数？
【解】（1）这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值．
（2）这组数据共有110个，中位数为228，众数为228．
（3）专卖店总经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228 L型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．
【教师总结】
1．平均数
（1）＝(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝xi＝nt；
其中符号“∑”表示求和，读作“西格玛”.
（2）求和符号的性质：
①(xi＋yi) ＝xi＋yi；
②( kxi) ＝kxi ；
③t＝nt；
④(axi＋b)＝a＋b．
2．中位数、百分位数
（1）如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．
（2）设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，x3，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．
特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．
3．众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
2．利用三数——平均数、众数、中位数解决问题
【例】某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．
【解】（1）甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
所以候选人丙将被录用．
（2）甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76．3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72．2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72．8，
所以候选人甲将被录用．
3．极差、方差与标准差
【例】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．
小宇的作业：
解：甲＝(9＋4＋7＋4＋6)＝6，
s＝[(9－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2]
＝(9＋4＋1＋4＋0)
＝3．6．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
（1）a＝________；乙＝________；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【解】（1）由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则a＝30－7－7－5－7＝4，乙＝30÷5＝6，
故答案为：4，6；
（2）如图所示：
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
s＝[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1．6，
由于s＜s，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
【教师总结】极差、方差与标准差：
（1）极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
（2）方差：s2＝(xi－)2．
（3）如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；
（4）方差的算术平方根为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度．
三、课堂检测
1．已知一组数据2，1，x，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是( )
A．2 B．2．5
C．3 D．5
解析：选B．由众数的意义可知x＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为＝2．5．
2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为( )
A．2， B．2，1
C．4， D．4，3
答案：D
3．样本101，98，102，100，99的标准差为( )
A． B．0
C．1 D．2
解析：选A．样本平均数＝100，方差为s2＝2，
所以标准差s＝，故选A．
4．（2i－1）＝ .
解析：(2i－1)＝1＋3＋5＋7＋9＝25．
答案：25
5．甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．
解析：由题意知乙＝6，s＝6
答案：乙
数据的直观表示
【教学目标】
1．了解分析数据的几种统计图，知道它们的特点.
2．能根据不同情况和不同需要选择相应的统计图进行数据分析.
3．理解频数分布直方图和频率分布直方图.
【教学重难点】
1．统计图的选择.
2．直方图.
【教学过程】
一、问题导入
2015年7月6日的《中国青年报》报道；“根据调查，有担当（76.3%）和踏实（74.5%）的年轻人最被受访者欣赏。奋进（54.7%）、坚毅（54.1%）、有梦想（50.2%）、有闯劲儿（40.1%）、沉稳（36.7%）、直率（34.6%）、幽默（33.4%）、活泼（27.2%）、庄重（20.3%）、洒脱（20.0%）也是受访者欣赏的品质.”
你能将这一调查结果用图表进行形象化表示吗？
二、新知探究
1．柱形图、折线图、扇形图的应用
【例】随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下所示两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调研活动共调研了________名学生，表示“QQ”的扇形圆心角的度数是________度．
（2）请你补充完整条形统计图；
（3）如果该校有2 500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名．
【解】（1）电话占比20%，共40人，所以共调研了学生数：＝200(名)；
QQ占比：＝30%，圆心角：×360°＝108°.
（2）短信人数：5%×200＝10(名)，
微信人数：200－40－10－60－10＝80(名)，
条形统计图如下：
（3）最喜欢用微信沟通所占百分比为，
×2 500＝1 000(名)，
所以该校共2 500名学生中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的学生有1 000名．
【教师总结】
柱形图
柱形图(也称为条形图)可以形象地比较各种数据之间的数量关系．
折线图
一般地，如果数据是随时间变化的，可将数据用折线图来表示．
扇形图
扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况．扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比．
2．茎叶图及其应用
【例】某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95，81，75，89，71，65，76，88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101．
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
【解】
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88分，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段．因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
【教师总结】茎叶图：
一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列．
3．频率分布直方图的综合应用
【例】为了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【解】（1）频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08．
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
【教师总结】频数分布直方图与频率分布直方图：
（1）作直方图的步骤：
①找出最值，计算极差；
②合理分组，确定区间；
③整理数据；
④作出有关图示．
（2）频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1．
（3）频数分布折线图和频率分布折线图：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来．为了方便看图，折线图都画成与横轴相交．
三、课堂检测
1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于( )
A．组距 B．频率
C．组数 D．频数
解析：选B．根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为一组样本数据的频率．
2．(2019·岳阳检测)某校为了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重．将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40～45 kg的人数是( )
A．10 B．2
C．5 D．15
解析：选A．由图可知频率＝×组距，知频率＝0.02×5＝0.1．所以0.1×100＝10(人)．
3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为( )
A．640 B．320
C．240 D．160
解析：选B．依题意得＝0.125，所以n＝＝320.
4．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是____________，____________．
解析：甲组数据为：28，31，39，42，45，55，57，58，66，中位数为45．
乙组数据为：29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46．
答案：45 46
用样本估计总体
教学重难点
教学目标
核心素养
用样本的数字特征估计总体的数字特征
理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法，会分析实际问题
数学抽象、数学运算
用样本分布估计总体分布
能够利用频率分布直方图、茎叶图等解决统计问题
逻辑推理、数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
用样本的数字特征估计总体的数字特征
例1：甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
（1）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
解：（1）甲＝（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，
乙＝（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100，
s＝[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2＋（103－100）2]＝，
s＝[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1.
（2）由（1）知甲＝乙，比较它们的方差，因为s＞s，故乙机床加工零件的质量更稳定．
规律方法：
（1）在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差或标准差），方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．
（2）关于统计的有关性质及规律：
①若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a；
②数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；
③若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．
探究点2：
频率分布直方图与数字特征的综合应用
例2：已知一组数据：
125 121 123 125 127 129 125 128 130 129
126 124 125 127 126 122 124 125 126 128
（1）填写下面的频率分布表：
分组
频数累计
频数
频率
[120.5，122.5）
[122.5，124.5）
[124.5，126.5）
[126.5，128.5）
[128.5，130.5]
合计
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．
解：（1）频率分布表如下：
分组
频数累计
频数
频率
[120.5，122.5）
2
0.1
[122.5，124.5）
3
0.15
[124.5，126.5）
8
0.4
[126.5，128.5）
4
0.2
[128.5，130.5]
3
0.15
合计
20
1
（2）
（3）在[124.5，126.5）中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×＝125.75，事实上，中位数为125.5．使用“组中值”求平均数：＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上，平均数的精确值为＝125.75．
规律方法：
（1）利用频率分布直方图求数字特征：
①众数是最高的矩形的底边的中点；
②中位数左右两侧直方图的面积相等；
③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
（2）利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．
二、课堂总结
1．简单随机抽样的数字特征
一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征．特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大．
一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可．
2．分层抽样的数字特征
我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则＝i，s2＝（xi－）2，＝i，t2＝（yi－）2.
如果记样本均值为，样本方差为b2，则可以算出
＝（xi+i）．
三、课堂检测
1．甲乙两名学生六次数学测验成绩（百分制）如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是（ ）
A．③④ B．①②④
C．②④ D．①③
解析：选A.甲的中位数为81，乙的中位数为87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分＝（76＋72＋80＋82＋86＋90）＝81，乙的平均分′＝（69＋78＋87＋88＋92＋96）＝85，故②错，③对，排除C，故选A.
2．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为（ ）
A．20 B．30
C．40 D．50
解析：选B．样本数据落在[15，20]内的频数为：100×[1－5×（0.04＋0.10）]＝30．
3.如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是________．
解析：设污损的叶对应的成绩为x，由茎叶图可得，89×5＝83＋83＋87＋x＋90＋99，所以x＝3.故污损的数字是3．
答案：3
4．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
（1）填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
（2）请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．
解：（1）乙的打靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.所以乙＝（2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10）＝7；乙的打靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是＝7.5；甲的打靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
（2）①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙打靶成绩比甲好．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上（包含9环）的次数比甲多2次，可知乙的打靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．
数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟
【教学目标】
1．能利用连续编号总体中的一些样本，估计连续编号总体的容量.
2．通过本节探究活动，进一步提升学生的数据分析素养.
【教学重难点】
利用连续编号总体中的一些样本，估计连续编号总体的容量.
【教学过程】
一、问题导入
第二次世界大战期间，德军生产的坦克是连续编号的，盟军从战场上缴获了一些德军坦克，因此获得了一些坦克编号，盟军希望能根据这些样本数据估计出德军所生产的坦克数量.后来统计学家们圆满地解决了这一问题，而且，如下表所示，当时统计学家们的估计比情报部门的估计误差小很多！
时间
统计估计
情报估计
实际数量
1940年6月
169
1 000
122
1941年6月
244
1 550
271
1942年8月
327
1 550
342
问题1 统计学家们能估计比较准确的前提是什么？
问题2 统计学家们之所以估计比较准确除了因为获取了适当容量的样本，还与什么因素有关？
提示1 适当容量的样本.
提示2 科学、合理的统计方法.
二、合作探究
1．任务：已知总体是连续编号的，假设已有的编号样本从小到大依次为x1，x2，…，xm，由这些样本去估计总数n.
2．估计总数的方法步骤
最大值估计：n的值一定不会小于编号的中最大值，所以可以用编号中的最大值作为n的一个估计，即n≈xm.
平均值估计：考虑到样本的平均数与总体的平均数应该相差不大，因此可用样本平均数来给出n的一个估计.记
＝，
又因为＝，所以有≈，从而可以用大于或等于2－1的最小整数作为n的估计.
值得注意的是，这种方法得到的n的估计与xm的相对大小是不确定的，因此有可能出现n3．模拟验证
估计的模拟可以借助计算机来进行.
由编号样本估计总数活动记录表
活动开始时间：2019年X月X日
（1）成员与分工
姓名
分工
王华
（2）（3）
李倩
（4）
郑明
（5）（6）
（2）待估计总数的、有连续编号的实例
某实验中学2009购置了一批新课桌，学校财产办公室统一进行了连续编号，由于长期使用，损坏较为严重，学校2018统一更换，并把一些能继续使用的旧课桌赠送给了某镇中心学校.
（3）获取的编号样本
赠送给某镇中心学校旧课桌的部分编号为
64，87，58，254，212，95
（4）估计总数的方法以及计算过程
最大值估计：n≈254，平均值估计＝
＝256，由1＋2＋3＋…＋n＝＝256，得n＝511
（5）采用模拟的方法以及估计结果的验证
首先在Excel表格中设定一个总数n，然后用随机数函数产生几个编号样本，最后算出估计值，观察误差.
（6）活动总结(包括活动感受等)
团结协作是能圆满完成任务的前提，合理分配任务是关键，如王华同学善于社会调查，李倩同学数学成绩较好，郑明同学很有求实精神且计算机运用的较熟练.
活动结束时间：________________
课下作业
请与其他同学分工合作，寻找生活中有连续编号的实例，获取适当容量的编号样本，在此基础上讨论估计总数的多种办法，并用模拟的办法验证估计方法的准确度，将活动过程记录在下表中.
由编号样本估计总数活动记录表
活动开始时间：____________
（1）成员与分工
姓名
分工
（2）待估计总数的、有连续编号的实例
（3）获取的编号样本
（4）估计总数的方法以及计算过程
（5）采用模拟的方法以及估计结果的验证
（6）活动总结(包括活动感受等)
活动结束时间：____________
样本空间与事件
【教学目标】
1．了解必然现象和随机现象，了解不可能事件、必然事件及随机事件.
2．理解样本点的定义，会求试验中的样本空间以及事件A包含的样本点的个数.
【教学重难点】
事件与样本空间的概念.
【教学过程】
一、问题导入
如果要你将以下日常生活中的现象进行分类，你会依据什么来分？分类的结果是怎样的？
（1）练习投篮5次，命中3次；
（2）早晨太阳从东边升起；
（3）一个小时内接到10个电话；
（4）将一石块抛向空中，石块掉落下来；
（5）走到一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯；
（6）实心铁球丢进水里，铁球会沉到水底；
（7）买一张福利彩票，没中奖.
二、新知探究
1．样本点与样本空间
【例】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点？
【解】
（1）试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
（2）样本点的总数是8．
（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
【教师总结】样本点与样本空间：
（1）必然现象与随机现象
现象
条件
特征
必然现象
在一定条件下
发生的结果事先能确定的现象
随机现象
发生的结果事先不能确定的现象
（2）样本点：随机试验中每一种可能出现的结果．
（3）样本空间
①定义：由所有样本点组成的集合称为样本空间．
②表示：样本空间常用大写希腊字母Ω表示．
2．事件类型的判断
【例】判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
（1）“抛一石块，下落”；
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a＞b，那么a－b＞0”；
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水分，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
【解】
事件（1）（4）（6）是必然事件；事件（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件．
【教师总结】随机事件：
（1）如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集．而且：若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生．
（2）每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集?不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中?一定不发生，从而称?为不可能事件．
（3）一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件．
3．随机事件的概率
【例】做掷红、蓝两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．
（1）写出这个试验的所有可能的结果；
（2）求这个试验共有多少种不同的结果；
（3）写出事件“出现的点数之和大于8”包含的结果；
（4）写出事件“出现的点数相同”包含的结果；
（5）记“出现的点数之和大于8”为A，记“出现的点数相同”为B，从直观上判断P（A）与P（B）的大小．
【解】（1）这个试验所有可能的结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
（2）由（1）知这个试验不同的结果共有36种．
（3）事件“出现的点数之和大于8”包含的结果为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
（4）事件“出现的点数相同”包含的结果为(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．
（5）事件A出现了10次，事件B出现了6次，故P（A）＞P（B）．
【教师总结】随机事件的概率：
事件发生的可能性大小可以用该事件的概率来衡量，概率越大代表越有可能发生．事件A的概率通常用P（A）表示．不可能事件?的概率规定为0，必然事件Ω的概率规定为1，即P(?)＝0，P(Ω)＝1．
对任意事件A，P（A）应该满足不等式0≤P（A）≤1．
三、课堂检测
1．下列现象：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码．
其中是随机现象的是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
解析：选C．由随机现象的定义知②③④正确．
2．下列事件中，是不可能事件的是( )
A．三角形的内角和为180°
B．三角形中大角对大边，小角对小边
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
解析：选C．锐角三角形中两内角和大于90°.
3．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D．有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个样本点．
4．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
（1）写出样本空间；
（2）写出事件“甲赢”；
（3）写出事件“平局”．
解：（1）用(锤、剪)表示甲出锤，乙出剪，其他的样本点用类似方法表示，则Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
（2）记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
（3）记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
事件之间的关系与运算
【教学目标】
1．了解事件间的相互关系.
2．理解互斥事件、对立事件的概念.
【教学重难点】
1．事件间的相互关系.
2．互斥事件、对立事件.
【教学过程】
一、问题导入
某班数学建模课分成5个小组（编号为1，2，3，4，5）采用合作学习的方式进行，课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示。
不难看出，这一试验的样本空间可记为Q=______________
记事件E={1}，F={1，2}，G={1，3}，H={1，2，3}，I={4，5}，说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系.
二、新知探究
1．互斥事件与对立事件的判断
【例】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
（1）恰有1名男生与恰有2名男生；
（2）至少有1名男生与全是男生；
（3）至少有1名男生与全是女生；
（4）至少有1名男生与至少有1名女生．
【解】判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
2．事件的运算
【例】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：（1）事件D与A．B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
【解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A＋B．
（2）对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故CA＝A．
【教师总结】事件的关系及运算：
定义
表示法
图示
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B?A(或A__?B)
并事件
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)
A＋B(或A∪B)
交事件
给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)
AB(或A∩B)
互斥事件
给定事件A，B，若事件A，B不能同时发生，则称A与B互斥
AB＝?(或A∩B＝?)
对立事件
给定样本空间Ω与事件A，由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件记为A
P（A）＋P（A）＝1
3．利用互斥、对立事件求概率
【例】一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13．计算这名射击运动员在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率．
【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P（A）＝0.24，P（B）＝0.28，P（C）＝0.19，P（D）＝0.16，P(E)＝0.13．
（1）P(射中10环或9环)＝P(A＋B)＝P（A）＋P（B）＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52．
（2）事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87．
所以至少射中7环的概率为0.87．
【教师总结】概率加法公式：
（1）如果事件A与事件B互斥，则有P(A＋B)＝P（A）＋P（B）．一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
（2）如果事件A与事件B互为对立事件，那么A＋B为必然事件，则有P(A＋B)＝P（A）＋P（B）＝1．
三、课堂检测
1．掷一枚质地均匀的骰子，记事件M＝{出现的点数是1或2}，事件N＝{出现的点数是2或3或4}，则下列关系成立的是( )
A．M＋N＝{出现的点数是2}
B．MN＝{出现的点数是2}
C．M?N
D．M＝N
解析：选B．M＋N＝{出现的点数是1或2或3或4}，MN＝{出现的点数是2}，A不正确，B正确；当出现的点数是1时，M发生，N不发生，故C，D都不正确．
2．若A与B为互斥事件，则( )
A．P（A）＋P（B）<1 B．P（A）＋P（B）>1
C．P（A）＋P（B）＝1 D．P（A）＋P（B）≤1
解析：选D．若A与B为互斥事件，则P（A）＋P（B）≤1．故选D．
3．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是( )
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有红球也有白球
D．取出的3个球中不止一个红球
解析：选D．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1红2白”“2红1白”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3红或是2红1白”即“3个球不止一个红球”．故选D．
4．从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200克的概率为0.2，质量在[200，300]内的概率为0.5，那么质量超过300克的概率为________．
解析：设质量超过300克的概率为P，因为质量小于200克的概率为0.2, 质量在[200，300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3．
答案：0.3
古典概型
教学重难点
教学目标
核心素养
基本事件
了解基本事件的特点
数学抽象
古典概型的定义
理解古典概型的定义
数学抽象
古典概型的概率公式
会应用古典概型的概率公式解决实际问题
数学运算、数学建模
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
古典概型的判断
例1：判断下列试验是不是古典概型：
（1）口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
（2）从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
（3）射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．
解：（1）每次摸出1个球后，放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
（2）从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．
（3）射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．
规律方法：
古典概型的判断方法
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型．
探究点2：
古典概型的计算
例2：（1）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2018·高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
解析：（1）从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，样本空间为：{（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）}．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4个样本点，故所求概率P＝＝．
（2）记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生样本空间为{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共10个样本点，其中恰好选中2名女生有（a，b），（a，c），（b，c），共3个样本点，故所求概率为．
答案：（1）C（2）
规律方法：
求古典概型概率的步骤
（1）判断是否为古典概型．
（2）求样本空间包含的样本点个数n．
（3）算出事件A中包含的样本点个数m．
（4）算出事件A的概率，即P（A）＝．
探究点3：
古典概型的实际应用
例3：已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
解：（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的样本空间为
{（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G）}，共21种抽取结果．
（ⅱ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（F，G），共5种结果．所以，事件M发生的概率P（M）＝．
规律方法：
（1）在建立概率模型时，把什么看作一个样本点（即一个试验结果）是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现．对于同一个随机试验，可以根据需要（建立概率模型的主观原因）建立满足我们要求的概率模型．
（2）注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①有限性；②等可能性．
（3）求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．
二、课堂总结
1．古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．
2．古典概型概率计算公式
假设样本空间含有n个样本点，事件C包含m个样本点，则P（C）＝．
■名师点拨
古典概型的判断
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
（1）基本事件个数有限，但非等可能．
（2）基本事件个数无限，但等可能．
（3）基本事件个数无限，也不等可能．
三、课堂检测
1．下列关于古典概型的说法中正确的是（ ）
①试验中所有样本点有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P（A）＝．
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
解析：选B．根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B．
2．下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
A．①②③④ B．①②④
C．②③④ D．①③④
解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．
3．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ）
A． B．
C． D．
解析：选A．从1，2，3，4中任取两个不同数字构成一个两位数共有12种不同取法，其中大于30的为31，32，34，41，42，43共6种．故P＝＝．
4．据报道：2019年我国高校毕业生达834万人，创历史新高，就业压力进一步加大．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
解析：记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，样本点有（甲，乙，丙）、（甲，乙，丁）、（甲，乙，戊）、（甲，丙，丁）、（甲，丙，戊）、（甲，丁，戊）、（乙，丙，丁）、（乙，丙，戊）、（乙，丁，戊）、（丙，丁，戊），共10种可能，而A的对立事件A仅有（丙，丁，戊）一种可能，所以A的对立事件A的概率为P（A）＝，所以P（A）＝1－P（A）＝．
答案：
频率与概率
教学重难点
教学目标
核心素养
频率与概率
在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别
数学抽象、数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
概率概念的理解
例1：下列说法正确的是（ ）
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
解析：一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
答案：D
规律方法：
（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
（2）由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
（3）正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
探究点2：
概率与频率的关系及求法
例2：某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91．
（2）由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9．
规律方法：
（1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．
（2）解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算出频率，然后用频率估计概率．
探究点3：
概率的应用
例3：为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
解：设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P（A）＝．
第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P（A）≈，即≈，解得n≈25 000．
所以估计水库中的鱼有25 000尾．
规律方法：
（1）由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
（2）实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
二、课堂总结
1．概率的统计定义
一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）的估计值为，此时0≤P（A）≤1．
2．频率与概率的关系
概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
■名师点拨
名称
区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同
（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
（2）在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率
是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
三、课堂检测
1．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%．下列解释正确的是（ ）
A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败
B．这个手术一定成功
C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术
D．这个手术成功的可能性大小是99%
解析：选D．成功率大约是99%，说明手术成功的可能性大小是99%，故选D．
2．下列叙述中的事件最能体现概率是0.5的是（ ）
A．抛掷一枚骰子10次，其中数字6朝上出现了5次，抛掷一枚骰子数字6向上的概率
B．某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率
C．进行10 000次抛掷硬币试验，出现5 001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率
D．某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率
解析：选C．A，B，D中试验次数较少，只能说明相应事件发生的频率是0.5．
3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
解析：这一年内汽车挡风玻璃破碎的频率为＝0.03，此频率值为概率的近似值．
答案：0.03
4．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是．
其中正确命题的序号为________．
解析：①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．
答案：④
5．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？
解：这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”“反面向上”的可能性都是，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是，而不会大于．
随机事件的独立性
【教学目标】
1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际应用问题.
【教学重难点】
1．独立性的概念.
2．独立性的应用.
【教学过程】
一、问题导入
五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天。
（1）直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？
（2）求出P（A），P（B），P（AB）的值，观察这三个值之间的关系.
二、新知探究
1．相互独立事件的判断
【例】从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，设事件A＝“抽到K”，事件B＝“抽到红牌”，事件C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
（1）A与B；
（2）C与A．
【解】（1）由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．
以下考虑它们是否为相互独立事件：
抽到K的概率为P（A）＝＝，
抽到红牌的概率为P（B）＝＝，
事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P（A）P（B）＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．
（2）从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥，由于P（A）＝≠0.
P（C）＝≠0，P(AC)＝0，所以A与C不是相互独立事件，又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件．
【教师总结】
一般地，当P(AB)＝P（A）P（B）时，就称事件A与B相互独立(简称独立)．如果事件A与B相互独立，那么与B，A与，与也相互独立．
两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．
2．相互独立事件概率的求法
【例】小王某天乘火车从广州到上海去办事，若当天从广州到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．
（1）由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P（B）P（C）＋P（A）P()P（C）＋P（A）P（B）P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．
3．相互独立事件的应用
【例】甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求：
（1）两人都能破译的概率；
（2）两人都不能破译的概率；
（3）恰有一人能破译的概率．
【解】设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与、与B．与均相互独立．
（1）“两人都能破译”为事件AB，则
P(AB)＝P（A）·P（B）＝×＝.
（2）“两人都不能破译”为事件AB，则
P()＝P()·P()＝[1－P（A）]·[1－P（B）]＝×＝.
（3）“恰有一人能破译”为事件((A)∪(B))，
则P((A)∪(B))＝P(A)＋P(B)＝P（A）·P()＋P()·P（B）＝×＋×＝.
三、课堂检测
1．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：
①事件A与事件B相互独立；
②事件B与事件C相互独立；
③事件C与事件A相互独立．
以上命题中，正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D．P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝，
因为P(AB)＝＝P（A）P（B），故A，B相互独立；
因为P(AC)＝＝P（A）P（C），故A，C相互独立；
因为P(BC)＝＝P（B）P（C），故B，C相互独立；
综上，选D．
2．(2019·四川省眉山市期末)三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将元件T2，T3并联后再和元件T1串联接入电路，如图所示，则此电路不发生故障的概率为________．
解析：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
因为电路不发生故障的事件为(A2＋A3)A1，
所以电路不发生故障的概率为
P＝P[(A2＋A3)A1]＝P(A2＋A3)P(A1)＝[1－P(1)·P(3)]·P(A1)＝(1－×)×＝.
答案：
3．在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1(0A．P1P2 B．1－P1P2
C．P1(1－P2) D．(1－P1)(1－P2)
解析：选D．因为甲地不下雨的概率为P1，乙地不下雨的概率为P2，且在这段时间内两地下雨相互独立，
所以这段时间内两地都下雨的概率为P＝(1－P1)(1－P2)．故选D．
4．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，则“星队”至少猜对3个成语的概率为________．
解析：记事件A：“甲第一轮猜对”，事件B：“乙第一轮猜对”，
事件C：“甲第二轮猜对”，事件D：“乙第二轮猜对”，事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意知，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.
由事件的独立性与互斥性，得
P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)
＝P（A）P（B）P（C）P（D）＋P()P（B）P（C）P（D）＋P（A）P()·P（C）P（D）＋P（A）P（B）P()P（D）＋P（A）P（B）P（C）P()
＝×××＋2×＝.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
答案：
统计与概率的应用
【教学目标】
1．通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用.
2．能用统计与概率的知识解决实际生活中的问题.
【教学重难点】
1．统计与概率的意义.
2．统计与概率的应用.
【教学过程】
一、问题导入
我国是一个人口众多、人均能源资源非常匮乏的国家。近些年来，随着经济的持续快速发展，能源的需求越来越大，电力消费也每年都在增长。
我国长期以来实行的是低电价政策，这有效地减轻了人们的负担.然而，另外一方面，“5%的高收入家庭消费了约24%的电量，这就意味着低电价政策的福利更多地由高收入群体享受，这既不利于社会公平，无形中也助长了电力资源的浪费”。因此，“建立‘多用者多付费’的阶梯价格机制，将有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型、环境友好型社会的建设”。
某市准备实行阶梯电价，要求约75%的居民用电量在第一阶梯内，约20%的居民用电量在第二阶梯内，约5%的居民用电量在第三阶梯内.该怎样确定阶梯电价的临界点呢？
二、新知探究
1．统计在决策中的应用
【例】2019年4月20日，福建省人民政府公布了“3＋1＋2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．“2”中记入高考总分的单科成绩是由原始分转化得到的等级分，学科高考原始分在全省的排名越靠前，等级分越高．小明同学是2018级的高一学生．已确定了必选地理且不选政治，为确定另选一科，小明收集并整理了化学与生物近10大联考的成绩百分比排名数据x(如x＝19的含义是指在该次考试中，成绩高于小明的考生占参加该次考试的考生数的19%)，绘制茎叶图如下．
（1）分别计算化学、生物两个学科10次联考的百分比排名的平均数和中位数；
（2）根据已学的统计知识，并结合上面的数据，帮助小明作出选择．并说明理由．
【解】（1）化学学科10大联考的成绩百分比排名的平均数
为＝30.2，
化学学科10大联考百分比排名的中位数为26．
生物学科10大联考百分比排名的平均数
为＝29．6，
生物学科10大联考百分比排名的中位数为31．
（2）从平均数来看，小明的生物学科比化学学科百分比排名靠前，应选生物．
或者：从中位数来看，小明的化学学科比生物学科百分比排名靠前，应选化学．
2．概率在决策中的应用
【例】某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：
男
女
总计
赞成
18
9
27
反对
12
25
37
不发表看法
20
16
36
总计
50
50
100
随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？
【解】用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示“对这次调整不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P（A）＋P（B）＝＋＝＝0.73，因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73．
【教师总结】概率在决策问题中的应用：
（1）由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
（2）实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
3．概率在整体估计中的应用
【例】为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到1 200只这种动物并做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中做过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内约有多少只该种动物．
【解】设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P（A）＝.第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P（A）≈＝，故≈，解得x≈12 000.
所以保护区内约有12 000只该种动物．
【教师总结】利用频率与概率的关系求未知量的步骤：
（1）抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为.
（2）随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为.
（3）用频率近似等于概率，建立等式≈.
（4）求得n≈.
三、课堂检测
1．若经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8 000件产品中的次品件数为( )
A．7 840 B．160
C．16 D．784
解析：选B．8 000×98%＝7 840(件)，8 000－7 840＝160(件)．故次品件数为160件．
2．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．所含的基本事件总数为4，分别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以两胎均是女孩的概率为.
3．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C．10～99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，10～99中有30个能被3整除的数，其中奇数有30÷2＝15(个)，
所以所求的概率为＝.
4．电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，则碰到地雷的概率为________．
解析：由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率为＝.
答案：
5．某栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖品，其余没有奖品，参与游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)．
（1）第一次翻牌获奖的概率是多少？
（2）某观众前两次翻牌均获奖，那么他第三次翻牌获奖的概率是多少？
解：（1）第一次翻牌时有5个有奖品，故获奖的概率为P＝＝.
（2）前两次翻牌均获奖，第三次翻牌时，只有3个有奖品，还有18个商标牌，故获奖的概率为P＝＝.
