河北省武邑中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（　　）
A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3
B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0
C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0
D．命题p的逆否命题是真命题
2．抛物线的焦点坐标是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
3．已知等比数列{an}，a1＝1，，则a5＝（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a＝（　　）
A． B．2 C．4 D．6
5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
6．已知，，且，则x的值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（　　）
A．2 B．0 C．10 D．﹣8
8．焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 的双曲线标准方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．“x≠0”是“x＞0”的（　　）
A．充分而不必要 B．充分必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2） 两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于
（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
11．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1?x2＝﹣，则m等于（　　）
A． B．2 C． D．3
12．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）?，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
二、填空题（本题包括4小题）
13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围　 　．
14．若函数exf（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为　 　．
①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2
15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为　 　．
16．给出下列命题：
①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；
②直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．
其中真命题的是　 　．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题
17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．
（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|?|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（人） 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．
（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；
（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．

20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．
（1）求证：A1B∥平面AEC1；
（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．

22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．
（Ⅰ）证明：BD⊥PA；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．





参考答案
一、选择题（本题包括12小题）
1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（　　）
A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3
B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0
C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0
D．命题p的逆否命题是真命题
【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题真假性进行判断即可．
解：命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，
则命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8＞0，则x＜﹣3，故A错误；
命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0，故B、C错误；
因为命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0是真命题，
所以p的逆否命题也是真命题，D正确．
故选：D．
2．抛物线的焦点坐标是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2＝2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．
解：∵抛物线，即x2＝2y中，p＝1，＝，焦点在y轴上，开口向上，
∴焦点坐标为（0，），
故选：B．
3．已知等比数列{an}，a1＝1，，则a5＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1，，可得q2＝．即可得出a5＝．
解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，，
∴q2＝．
则a5＝＝1×＝．
故选：D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a＝（　　）
A． B．2 C．4 D．6
【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值．
解：∵，A＝45°，B＝60°，
∴由正弦定理，可得：a＝＝＝4．
故选：C．
5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】先确定抛物线与椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，可建立方程，从而可求m的值
解：抛物线的焦点坐标为
椭圆，∵a2＝7，b2＝3，
∴c2＝a2﹣b2＝4，
∴椭圆的左焦点坐标为（﹣2，0）
∵抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，
∴
∴
故选：A．
6．已知，，且，则x的值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合空间向量的数量积坐标计算公式可得?＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，计算可得x的值，即可得答案．
解：根据题意，，，
若，则有?＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，
解可得x＝6，
故选：A．
7．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（　　）
A．2 B．0 C．10 D．﹣8
【分析】求出AB所在直线的斜率，然后利用过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直求得m的值．
解：∵A（﹣2，m），B（m，4），
∴，
直线2x+y﹣1＝0的斜率为﹣2，
由过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，得
，解得：m＝2．
故选：A．
8．焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 的双曲线标准方程是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2＝a2+b2以及离心率然，求出a2，写出双曲线的标准方程．
解：根据题意可知2b＝12，解得b＝6 ①
又因为离心率e＝＝②
根据双曲线的性质可得a2＝c2﹣b2 ③
由①②③得，a2＝64
双所以满足题意的双曲线的标准方程为：
故选：D．
9．“x≠0”是“x＞0”的（　　）
A．充分而不必要 B．充分必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：当x＝﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立，即充分性不成立，
若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立，
故“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件，
故选：C．
10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2） 两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于
（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】根据抛物线定义，把|AB|转化为点A、B到准线的距离之和，由梯形的中位线性质可求．
解：由抛物线定义知，|FB|＝|BB′|，|AA′|＝|AF|，准线x＝﹣1，
设M为AB中点，M（3，y），MN⊥A′B′，垂足为N点，如图所示：
则|AB|＝（|AF|+|BF|）＝（|AA′|+|BB′|）＝2|MN|＝2[3﹣（﹣1）]＝8，
故选：B．

11．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1?x2＝﹣，则m等于（　　）
A． B．2 C． D．3
【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y＝x+m求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．
解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k＝，
而y2﹣y1＝2（x22﹣x12） ①，得x2+x1＝﹣②，且（，）在直线y＝x+m上，
即＝+m，即y2+y1＝x2+x1+2m③
又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y＝2x2上，
所以有2（x22+x12）＝x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]＝x2+x1+2m④，
把①②代入④整理得2m＝3，解得m＝
故选：A．
12．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）?，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【分析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．由此能求出结果．
解：∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，
∴y＝f（x）关于y轴对称，
∴函数y＝xf（x）为奇函数．
∵[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x），
∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x）＜0，函数y＝xf（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．
∵，，，，
∴a＞b＞c．
故选：A．
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）
13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围　（，1）　．
【分析】直接利用圆锥曲线的定义的应用和不等式的应用求出结果．
解：设点P（x0，y0），M（xM，yM），
由于满足＝2，PO⊥F2M，
所以．
整理得，
故：，
即．
联立消去y0，得到．
解得或，
由于﹣a＜x0＜a，
所以，
所以0＜a2﹣ac＜ac，解得e，
故椭圆的离心率为（）．
故答案为：（）
14．若函数exf（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为　①④　．
①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2
【分析】根据题意，对函数y＝exf（x）求导，分析可得若函数f（x）具有M性质，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数，验证f（x）+f′（x）＞0是否成立，综合即可得答案．
解：根据题意，y＝exf（x），其导数y′＝（ex）′f（x）+exf′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]，
若函数f（x）具有M性质，必有y′≥0在函数f（x）的定义域上恒成立，
必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，
据此分析所给的四个函数：
对于①，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）xln＝﹣ln2×，此时f（x）+f′（x）＝﹣ln2×＝（1﹣ln2）＞0，具有M性质，符合题意；
对于②，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）xln＝﹣ln3×，此时f（x）+f′（x）＝﹣ln3×＝（1﹣ln3）＜0，不具有M性质，不符合题意；
对于③，f（x）＝x3，其导数f′（x）＝3x2，此时f（x）+f′（x）＝x3+3x2＝x2（x+3），不能满足f（x）+f′（x）＞0在f（x）在R上恒成立，不具有M性质，不符合题意；
对于④，f（x）＝x2+2，其导数f′（x）＝2x，此时f（x）+f′（x）＝x2+2+2x＝（x+1）2+1＞0，具有M性质，符合题意；
综合可得：具有M性质的函数为：①④；
故答案为：①④．
15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为　　．
【分析】直接利用椭圆的定义的应用求出结果．
解：根据椭圆的定义，知：|PF1|+|PF2|＝10，
由于PF1⊥PF2，所以，
故|PF1|?|PF2|＝42，所以，
所以，
解得d＝，
故答案为：
16．给出下列命题：
①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；
②直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．
其中真命题的是　①④　．（把你认为正确命题的序号都填上）
【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；
②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；
③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；
④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．
解：对于①，∵＝（1，﹣1，2），＝（2，1，﹣），
∴?＝1×2﹣1×1+2×（﹣）＝0，
∴⊥，
∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣1，﹣1），
∴?＝0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，
∴⊥，∴l∥α或l?α，②错误；
对于③，∵＝（0，1，3），＝（1，0，2），
∴与不共线，
∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，1，0），
向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，
∴，
即；
则u+t＝1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．
故答案为：①④．
三、解答题（10+12+12+12+12+12＝70分）
17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．
（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|?|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
【分析】（1）利用已知条件化简双曲线方程，然后求解即可．
（2）利用双曲线的定义，结合已知条件，通过余弦定理转化求解即可．
解：（1）由题知：，a＝3，b＝4，则长轴长为6，渐近线方程是y＝x．
（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，且|PF1|?|PF2|＝32，则
cos∠F1PF2＝＝＝0．

故∠F1PF2＝90°
18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（人） 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．
（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．
（Ⅲ）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．
解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
设抽到相邻两个月的数据为事件A，
试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62＝15种情况，
每种情况都是等可能出现的其中，
满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，
∴P（A）＝＝；
（Ⅱ）由数据求得＝11，＝24，
由公式求得＝＝＝，
再由＝﹣b，求得＝﹣，
∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣，
（Ⅲ）当x＝10时，＝，|﹣22|＝＜2，
当x＝6时，＝，|﹣12|＝＜2，
∴该小组所得线性回归方程是理想的．
19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．
（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；
（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．

【分析】（I）利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；
（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|＝x1+x2+p即可得到k．
解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，，．
由，，可得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），
∴4kl＝4，解得kl＝1．
由y2＝4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y＝x﹣1．
（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，
∴．
∵|AB|＝x1+x2+p＝，解得k＝．
∴直线l的方程为．
20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．
【分析】（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，应有5﹣m＞0．
（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．
解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．
（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圆心C（1，2），半径，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4＝0 的距离为 ，
∵，有 ，
∴，解得 m＝4．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．
（1）求证：A1B∥平面AEC1；
（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．

【分析】（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，推导出EO∥A1B，由此能证明A1B∥平面AEC1．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，
∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，
又E为CB的中点，∴EO∥A1B，
∵EO?平面AEC1，A1B?平面AEC1，
∴A1B∥平面AEC1．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），
设M（0，0，m），（0≤m≤2），则＝（﹣2，0，m﹣2），＝（1，﹣1，﹣2），
∵B1M⊥C1E，∴＝﹣2﹣2（m﹣2）＝0，解得m＝1，
∴M（0，0，1），＝（1，1，﹣1），＝（0，2，1），
设平面MEC1的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝﹣1，得＝（3，﹣1，2），
∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为＝（0，2，0），
∴cos＜＞＝＝﹣，
∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．

22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．
（Ⅰ）证明：BD⊥PA；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM，推导出DM⊥PA，BM⊥PA，从而PA⊥平面BDM，由此能证明BD⊥PA．
（Ⅱ）过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H，推导出PO⊥平面ABCD，从而PO⊥BD，进而BD⊥平面PAO，以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM．
由AD＝PD，得DM⊥PA，由PB＝AB，得BM⊥PA，
∵DM∩BM＝M．∴PA⊥平面BDM．
∵BD?平面BDM，∴BD⊥PA．
解：（Ⅱ）在平面PDC中，过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H．
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，
∴PO⊥平面ABCD．
∴PO⊥BD．
由（1）及PA∩PO＝P，
∴BD⊥平面PAO，∵AO?平面PAO，∴BD⊥AO
在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，即∠ADB＝60°．
∴AH＝PH＝AD?sin60°＝3，DH＝ADcos60°＝．
在Rt△DHO中，HO＝DHtan30°＝1，DO＝2．
∴PO＝＝2．
以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），P（0，2，2），B（2，6，0），C（0，6，0）．
＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣4，2）．
设平面PBC的法向量是＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（0，1，）．
设直线AP与平面PBC所成角为θ，
又＝（2，﹣2，﹣2），则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．
∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．