2020年北师大版八年级下册数学：1.1 等腰三角形同步练习（解析版）

2020年北师大新版八年级下册：1.1 等腰三角形同步练习
一．选择题（共8小题）
1．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
2．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　）
A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50°
3．等腰△ABC中，∠C＝50°，则∠A的度数不可能是（　　）
A．80° B．50° C．65° D．45°
4．等腰三角形的一个外角是130°，它的顶角的度数是（　　）
A．50° B．80° C．50°和80° D．80°或65°
5．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．7或9 D．9或12
6．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）

A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
7．等腰三角形的周长为12，则腰长a的取值范围是（　　）
A．3＜a＜6 B．a＞3 C．4＜a＜7 D．a＜6
8．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若AB＝6，BC＝4，△PBC的周长等于（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
二．填空题（共8小题）
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　 　．
10．△ABC中，∠B＝50°，当∠C＝　 　时，△ABC是等腰三角形．
11．等腰△ABC的腰AB边上的中线CD，把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为　 　．
12．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒．

14．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为　 　（度）．

16．在平面直角坐标系中，已知A （2，﹣2），点P是y轴上一点，若△AOP为等腰三角形，则点P的坐标为　 　．
三．解答题（共8小题）
17．如图，直角三角形ABC中，∠A＝90°，作∠BCF＝45°交边AB于点F，作∠CFE＝∠AFC交边BC于点E，过点E作ED⊥CA于点D，ED交CF于点G，
求证：EF＝EG．

18．如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．

20．如图：△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB．
（1）求证：∠BAC＝2∠EDB；
（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．

21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P为△ABC内一点，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的值．

22．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．

23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．

24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．




2020年北师大新版八年级下册：1.1 等腰三角形同步练习
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
【分析】分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案．
【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，
当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°，
故选：D．
2．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　）
A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50°
【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°＝180°，
解可得，x＝50°，
即该等腰三角形的底角的度数是50°；
故选：A．
3．等腰△ABC中，∠C＝50°，则∠A的度数不可能是（　　）
A．80° B．50° C．65° D．45°
【分析】此题分为三种情况：∠C为顶角、∠A为顶角和∠C、∠A为底角，再根据三角形内角和定理可求得∠A的度数．
【解答】解：当∠C为顶角时，则∠A＝（180°﹣50°）＝65°；
当∠A为顶角时，则∠A＝180°﹣2∠C＝80°；
当∠A、∠C为底角时，则∠C＝∠A＝50°；
∴∠A的度数不可能是45°，
故选：D．
4．等腰三角形的一个外角是130°，它的顶角的度数是（　　）
A．50° B．80° C．50°和80° D．80°或65°
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解答】解：∵一个外角为130°，
∴三角形的一个内角为50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
∴等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：C．
5．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．7或9 D．9或12
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝5+5+2＝12；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是12．
故选：B．
6．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）

A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．

故选：A．
7．等腰三角形的周长为12，则腰长a的取值范围是（　　）
A．3＜a＜6 B．a＞3 C．4＜a＜7 D．a＜6
【分析】根据等腰三角形的腰长为a，则其底边长为：12﹣2a，根据三角形三边关系列不等式，求解即可．
【解答】解：由等腰三角形的腰长为a，则其底边长为：12﹣2a．
∵12﹣2a﹣a＜a＜12﹣2a+a，
∴3＜a＜6．
故选：A．
8．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若AB＝6，BC＝4，△PBC的周长等于（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】先根据等腰三角形的性质得出AC＝AB＝6，再根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，故AP+PC＝AC，由此即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AB＝6，
∴AC＝6，
∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴BP+PC＝AC，
∴△PBC的周长＝（BP+PC）+BC＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　115°或65°　．
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故答案为：115°或65°．

10．△ABC中，∠B＝50°，当∠C＝　50°或80°或65°　时，△ABC是等腰三角形．
【分析】分三种情形分别讨论，依据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：①当AB＝AC时，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝50°，
∴∠C＝80°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝＝65°，
综上所述，∠C的值为50°或80°或65°，
故答案为：50°或80°或65°．
11．等腰△ABC的腰AB边上的中线CD，把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为　7或11　．
【分析】在△ABC中，AB＝AC，且AD＝BD．设AB＝x，BC＝y，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD＝BD．设AB＝x，BC＝y，
①当AC+AD＝15，BD+BC＝12时，则x+x＝15，x+y＝12，
解得x＝10，y＝7．
②当AC+AD＝12，BC+BD＝15时，则x+x＝12，x+y＝15，
解得x＝8，y＝11，
综上所述，这个三角形的底边BC的长为7或11．
故答案为：7或11．

12．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　或　．
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．
【解答】解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°
∴特征值k＝＝
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
∴特征值k＝＝
综上所述，特征值k为或
故答案为或
13．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　4　秒．

【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可．
【解答】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
14．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　．

【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
15．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为　45　（度）．

【分析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，
解得x＝45°，
∴∠DCE＝45°．
故答案为：45．
16．在平面直角坐标系中，已知A （2，﹣2），点P是y轴上一点，若△AOP为等腰三角形，则点P的坐标为　P1（0，2），P2（0，2），P1（0，﹣4），P2（0，﹣2）　．
【分析】由于点P的位置不确定，所以应当讨论，当OA＝OP时，可得到2点，当OA＝AP时，可得到一点．
【解答】解：如图所示：
OA＝2，
分三种情况：当OA＝OP时，可得到2点，P1（0，2），P2（0，2）；当OA＝AP时，可得到一点，P3（0，﹣4）；当OP＝AP时，可得到一点，P4（0，﹣4）．
故答案为：P1（0，2），P2（0，2），P1（0，﹣4），P2（0，﹣2）．

三．解答题（共8小题）
17．如图，直角三角形ABC中，∠A＝90°，作∠BCF＝45°交边AB于点F，作∠CFE＝∠AFC交边BC于点E，过点E作ED⊥CA于点D，ED交CF于点G，
求证：EF＝EG．

【分析】证出ED∥AB，由平行线的性质得出∠DGC＝∠AFC，证出∠EGF＝∠CFE，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠A＝90°，
∴CA⊥AB，
∵ED⊥CA，
∴ED∥AB，
∴∠DGC＝∠AFC，
∵∠EGF＝∠DGC，∠CFE＝∠AFC，
∴∠EGF＝∠CFE，
∴EF＝EG．
18．如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．

【分析】（1）要证明BD平分∠ABC，只要证明∠DBC＝∠ABE即可，根据题目中的条件和三角形外角和内角的关系，可以证明∠DBC＝∠ABE，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和题意，利用三角形内角和可以求得∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，
∴∠EAB＝∠DBC，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABE，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴BD平分∠ABC；
（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，
∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，
∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，
∴∠BAC＝3x，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠C，
∴∠C＝3x，
∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，
∴4x+3x+3x＝180°，
解得，x＝18°，
∴∠C＝3x＝54°，
即∠C的度数是54°．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．

【分析】由条件可先求得∠DAE，再根据等腰三角形的性质可求得∠ADC，则可求得∠EDC．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝28°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．
20．如图：△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB．
（1）求证：∠BAC＝2∠EDB；
（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质以及余角的性质即可求解；
（2）根据三角形面积公式，以及中点的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，D为BC边的中点
∴AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°
∵DE⊥AB
∴∠B+∠EDB＝90°
∴
即∠BAC＝2∠EDB
（2）∵AB＝AC＝6，DE＝2
∴
∵D为BC边的中点
∴S△ADC＝S△ADB＝6
∴S△ABC＝12
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P为△ABC内一点，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的值．

【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，即可求得∠ACB＝∠ABC，则∠PBC+∠PCB即可求得，根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
又∠PBC＝∠PCA，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCA+∠PCB＝∠ACB＝65°，
∴∠BPC＝115°．
22．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．

【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．

23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．

【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；
②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；
③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝＝2（cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．



24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．

【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．