2.2 等差数列 同步测试卷（含答案解析）

等差数列课时测试卷
一、单选题
1．一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
2．首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列中，，公差，则使前项和取最大的正整数是（ ）
A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在
4．数列{an}满足a1＝2，a2＝1并且(n≥2)，则数列{an}的第100项为(　　)
A． B． C． D．
5．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是
A．若d＜0，则数列{S n}有最大项
B．若数列{S n}有最大项，则d＜0
C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S n＞0
D．若对任意的nN*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列
6．若数列满足：，而数列的前项和最大时，的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，，，则数列前10项的和等于（ ）
A．55 B．70 C．85 D．100
8．设是公差为正数的等差数列，若，，则 （ ）
A． B． C． D．

9．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13等于(　　)
A．3 B．6 C．17 D．51
10．在等差数列中，，则（ ）
A．45 B．75 C．180 D．360
11．设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
12．设是等差数列的前n项和，已知，，，则n等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18


二、填空题
13．已知等差数列的前n项和为，且，则=________.
14．在等差数列{ }中，是它的前n项和，且有下列四个命题：
①此数列的公差；②一定小于；
③是各项中最大的一项目；④一定是中的最大值;
其中正确命题的序号是：______________．
15．若等差数列中，则
16．若数列的前n项和分别为，且，则______________．
17．已知数列中， ，，则数列的通项公式为__________．



三、解答题
18．设，d为实数，首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，满足。
（1）若，求及；
（2）求d的取值范围。
19．已知数列满足令．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
20．数列满足，，．
（1）设，证明是等差数列；
（2）求的通项公式．
21．若的前n项和为，点均在函数y＝的图像上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有 都成立的最小正整数m．
22．已知等差数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，求数列的前项和.



参考答案
1．C【解析】中间项为.因为，，所以.故选C.
2．D
【解析】设数列为{an}公差为d，则a1=-24；
a10=a1+9d＞0；即9d＞24，所以d＞
而a9=a1+8d≤0；即d≤3所以＜d≤3故选D
3．B
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则∵|a3|=|a9|，∴|a1+2d|=|a1+8d|解得a1=﹣5d或d=0（舍去）
则a1+5d=a6=0a5＞0故使前n项和取最大值的正整数n是5或6
故答案为：5或6．
4．B
【解析】
∵n≥2)，∴＋＝，∴为等差数列，首项为＝，第二项为＝1，∴d＝，∴＝＋99d＝50，∴a100＝.故答案为：B.
5．C
【解析】特殊值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0，1，2，…，满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn>0不恒成立选C.

6．B【解析】∵，
∴，∴数列是首项为19，公差为-3的等差数列．
则．
所以时，取最大值．选B．

7．C【解析】本题考查了等差数列的通项及前项和计算．

因此，数列也是等差数列，并且前10项和等于：
8．B【解析】设等差数列的公差为d，则d＞0．∵，∴．
又∵，∴．由d＞0及可得
∴，
故选B．
9．A【解析】因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.故选A.
10．C
【解析】由，
得到，则．故选C.
11．C【解析】因为{an}是等差数列，所以S17==17a9＞0，所以a9＞0，又S18==9(a9＋a10)＜0，所以a10＜0，即该等差数列前9项均是正数项，从第10项开始是负数项，则最大，故选C．
12．D
【解析】因为后6项的和等于，
因此
因为，所以选D.

13．【解析】根据题意，由于等差数列的前n项和为，且
故答案为
14．①②④
【解析】略
15．12【解析】．
16．
【解析】由等差数列前n项和的性质得
17． 【解析】由题意得，则 ，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以．
18．（1），；（2）或
【解析】（1）由题意知，，
所以解得。
综上，，。
（2）因为，
所以，即，
所以，所以。
故的取值范围为或。
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】(1)证明：∵an＝4－ (n≥2)，
∴an＋1－2＝2－＝ (n≥1)．
∴＝＝＋ (n≥1)，
即bn＋1－bn＝ (n≥1)．
∴{bn}为等差数列．
(2)解：∵为等差数列，
∴＝＋(n－1)·＝.
∴an＝2＋.∴{an}的通项公式为an＝2＋
20．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明　由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.
又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）解　由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.
于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2,经检验，此式对n=1亦成立，
所以，{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.
21．(1) .(2) .
【解析】（1）由题意知：
当n时，，当n=1时，，适合上式．

（2）


要使．
22．(1) . (2)
【解析】（1）由已知为等差数列,记其公差为.
①当时,,
两式相减可得
解得
②当时,,所以.
则.
（2）

所以














试卷第1页，总3页


试卷第1页，总3页