2.3 等差数列求和 同步测试卷（含答案解析）

等差数列求和课时测试卷
一、单选题
1．等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
A． B． C． D．
2．记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
3．在数列中，若，则数列的前40项的和等于（ ）
A．820 B．840 C．860 D．880
4．等差数列中，，，则数列的前项和取得最大值时的值为（ ）
A．504 B．505 C．506 D．507
5．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（　　）
A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏
6．等差数列中,,,,是前项和,则下列结论中正确的是( )
A．,,均小于零,,,…大于零
B．,,…,均小于零,,,…大于零
C．,,…,均小于零,,,…大于零
D．,,…,均小于零,,,…大于零
7．在等差数列中，前项和满足，则的值是(　　)
A．5 B．7 C．9 D．3
8．在等差数列中，，则数列的前11项和( )
A．8 B．16 C．22 D．44

9．数列首项，且，令，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
10．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是　　
A．46 B．47 C．48 D．49
11．已知是等差数列( )的前项和，且,以下有四个命题：
①数列中的最大项为 ②数列的公差
③ ④
其中正确的序号是（ ）
A．②③ B．②③④ C．②④ D．①③④
12．设为等差数列的前项的和，，则数列的前2017项和为（　　）
A． B． C． D．


二、填空题
13．在等差数列中，为它的前项和，若，，，则当最大时，的值为__________.
14．已知数对按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是_________．
15．等差数列{}前n项和为.已知+-=0，=38,则m=_______.
16．已知是等差数列，为其前项和，．若，，则的值为　　　　　．
17．若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．


三、解答题
18．已知数列的前项和为．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
19．已知数列.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记， 的前项和为，证明：
20．已知数列的前项和，其中为常数，
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
21．已知等差数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
22．已知数列的前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.



参考答案
1．C
【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质，有，故为确定常数，由等差数列前项和公式可知也为确定的常数，故选C.
2．A
【解析】由题知，，解得，∴，故选A．
3．A
【解析】由于数列满足，
故有，，，，
，，．
从而可得，，，
，，，，，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8位首项，以16为公差的等差数列．
的前40项和为：．故选：．
4．B
【解析】∵数列为等差数列，，∴数列的公差，
∴，令，得.
又，∴取最大值时的值为505.
故选：B
5．C
【解析】设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，
，
，
，
，
，，，
，（盏），所以最下面一层有灯，（盏），故选C.
6．C
【解析】,且，

数列的前5项都为负数，
由等差数列的性质及求和公式可得，
，，
由公差可知，均小于都大于.
故选：.
7．A
【解析】因为，所以，即选A.
8．C
【解析】利用等差数列满足,代入,得到
,解得
,故选C.
9．A
【解析】，，则，
，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
因此，.故选：A.
10．A
【解析】∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23?a24＜0
可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0

所以，
故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46，故答案为：A．
B
【解析】
∵，∴，∴
∴数列中的最大项为，
，
∴正确的序号是②③④故选B
12．A
【解析】设等差数列 的公差为 ，
, ，则数列 的前 项和为
，故选A.
13．
【解析】，.
又，，则有.
，所以，等差数列为单调递减数列，且前项均为正数，从第项开始为负数，
因此，当最大时，.故答案为：.
14．
【解析】将所给出的点列在平面直角坐标系内，从点开始，各点分别落在与平行的直线上，且第一组有一个点，第二组有两个点，，以此类推第三组有三个点……,则第11组的最后一个数为第66个数，则第60个点为.
考点：一般数列中的项
15．10
【解析】根据等差数列的性质，可得：+=2，又+-=0，则2=，
解得=0（舍去）或=2.
则，
,所以m＝10.
16．110
【解析】设等差数列的公差为，因为
所以，解得
所以
17．8
【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以
所以，所以，，故数列的前8项最大.

18．（1）证明见试题解析；（2）．
【解析】（1）由，可得，
两式相减可得：，
而由，可得，
因为，所以数列为等差数列．
（2）当时，；
当时，，
故数列的前项和为．
19【解析】（1）依据题设条件，借助等差数列的定义进行推证；（2）依据题设运用列项相消求和法求和再进行简单缩放：
（1）∵，
∴，即，
∴数列是以 为首项， 为公差的等差数列.
（2）由（1）知， ，∴，∴.
∴.
20．(Ⅰ) ；;(Ⅱ) .
【解析】（1）由 及 ，可得的值及；（2）由通项公式变形为 ，用裂项相消的方法可得前项和。
(Ⅰ)由已知,有

又
所以
又因为所以
解得
所以
（Ⅱ）因为
所以
所以


所以数列的前项和.

21．（Ⅰ） ;（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由可得：，
即，所以，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：.


22．(1);(2).
【解析】（1）依据题设条件与等差数列的定义建立方程求出参数，再运用等比数列的定义求解；（2）依据题设条件，借助问题（1）中的结论，运用等差数列的求和公式分析求解：
(1),由，
成等差数列，得，解得，
由，得， ①时，， ② ①-②得时，
，时，， ③ 又时，③ 式也成立，故数列是首项为，公比为得等比数列，.
(2)由(1)知，，
则，
.













试卷第1页，总3页


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