人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.1 三角函数的定义 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.1 三角函数的定义 学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 37.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-20 18:29:56 | ||
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文档简介
三角函数的定义
学习目标 核心素养
1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。（重点） 2．会根据三角函数的定义来求三角函数在各象限内的符号。（难点） 1．通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养。 2．借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．已知角α终边经过P，则cos α等于（ ）。
A． B．
C． D．±
2．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是（ ）。
A．sin α与cos α B．tan α与cot α
C．tan α与sec α D．cot α与csc α
若角α的终边上有一点P（3，4），则sin α＋cos α＝________。
4．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角。
二、合作探究
类型一：任意角三角函数的定义及应用
【例1】（1）若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有（ ）。
A．（－4，3） B．（3，－4）
C．（4，－3） D．（－3，4）
（2）若α＝－，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________。
（3）已知角α的终边过点P（－3a，4a）（a≠0），则2sin α＋cos α＝________。
【思路探究】（1）由定义确定终边位置，结合函数值求解。
（2）在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解。
（3）分α＞0，α＜0两种情况分别求解。
类型二：三角函数符号的判断
【例2】判断下列各式的符号。
（1）sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°；
（2）tan 191°－cos 191°；
（3）sin 2cos 3tan 4．
[思路探究]先确定角所在象限，进一步确定各式的符号。
三、学习小结
1．任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点O的距离是r（r＝＞0）。
三角函数 定义 定义域 名称
sin α R 正弦
cos α R 余弦
tan α 正切
sec α 正割
csc α {α|α≠kπ，k ∈ Z} 余割
cot α {α|α≠kπ，k ∈ Z} 余切
2．三角函数在各象限的符号
四、精炼反馈
1．已知P（1，－5）是α终边上一点，则sin α＝（ ）。
A．1 B．－5
C．－ D．
2．sin 1·cos 2·tan 3的值是（ ）。
A．正数 B．负数
C．0 D．不存在
3．如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是________。
4．已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－，求sin α＋cos α的值。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】B
【解析】由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝。
2．【答案】C
【解析】由三角函数的定义及其定义域可知，对tan α与sec α中角α的取值范围为，故选C。
3．【答案】
【解析】由三角函数定义知，sin α＝，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝。
4．【答案】第三或第四。
【解析】∵cos θ·tan θ<0，∴cos θ，tan θ异号；故由象限角知识可知θ在第三或第四象限。
二、合作探究
例1【答案】（1）A
（2）－；；－；
（3）1或－1
【解析】（1）由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A。
（2）因为角－的终边与单位圆交于点P，
所以sin α＝－，cos α＝，
tan α＝－。
（3）因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限。
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1。
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1．
例2【答案】（1）∵2 015°＝5×360°＋215°，
2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0，
∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
（2）∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0，
∴tan 191°－cos 191°>0.
（3）∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4<0.
四、精炼反馈
1．【答案】C
【解析】∵x＝1，y＝－5，
∴r＝，
∴sin α＝＝－。
2．【答案】A
【解析】∵0<1<，<2<π，<3<π，
∴sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，
∴sin 1·cos 2·tan 3>0.
3．【答案】
【解析】∵sin x＝|sin x|，
∴sin x≥0，
∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k ∈ Z。
4．【答案】根据三角函数的定义，tan α＝＝－，
∴a＝－12，
∴P（5，－12），r＝13，
∴sin α＝－，cos α＝，
从而sin α＋cos α＝－。
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学习目标 核心素养
1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。（重点） 2．会根据三角函数的定义来求三角函数在各象限内的符号。（难点） 1．通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养。 2．借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．已知角α终边经过P，则cos α等于（ ）。
A． B．
C． D．±
2．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是（ ）。
A．sin α与cos α B．tan α与cot α
C．tan α与sec α D．cot α与csc α
若角α的终边上有一点P（3，4），则sin α＋cos α＝________。
4．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角。
二、合作探究
类型一：任意角三角函数的定义及应用
【例1】（1）若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有（ ）。
A．（－4，3） B．（3，－4）
C．（4，－3） D．（－3，4）
（2）若α＝－，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________。
（3）已知角α的终边过点P（－3a，4a）（a≠0），则2sin α＋cos α＝________。
【思路探究】（1）由定义确定终边位置，结合函数值求解。
（2）在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解。
（3）分α＞0，α＜0两种情况分别求解。
类型二：三角函数符号的判断
【例2】判断下列各式的符号。
（1）sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°；
（2）tan 191°－cos 191°；
（3）sin 2cos 3tan 4．
[思路探究]先确定角所在象限，进一步确定各式的符号。
三、学习小结
1．任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点O的距离是r（r＝＞0）。
三角函数 定义 定义域 名称
sin α R 正弦
cos α R 余弦
tan α 正切
sec α 正割
csc α {α|α≠kπ，k ∈ Z} 余割
cot α {α|α≠kπ，k ∈ Z} 余切
2．三角函数在各象限的符号
四、精炼反馈
1．已知P（1，－5）是α终边上一点，则sin α＝（ ）。
A．1 B．－5
C．－ D．
2．sin 1·cos 2·tan 3的值是（ ）。
A．正数 B．负数
C．0 D．不存在
3．如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是________。
4．已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－，求sin α＋cos α的值。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】B
【解析】由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝。
2．【答案】C
【解析】由三角函数的定义及其定义域可知，对tan α与sec α中角α的取值范围为，故选C。
3．【答案】
【解析】由三角函数定义知，sin α＝，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝。
4．【答案】第三或第四。
【解析】∵cos θ·tan θ<0，∴cos θ，tan θ异号；故由象限角知识可知θ在第三或第四象限。
二、合作探究
例1【答案】（1）A
（2）－；；－；
（3）1或－1
【解析】（1）由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A。
（2）因为角－的终边与单位圆交于点P，
所以sin α＝－，cos α＝，
tan α＝－。
（3）因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限。
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1。
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1．
例2【答案】（1）∵2 015°＝5×360°＋215°，
2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0，
∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
（2）∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0，
∴tan 191°－cos 191°>0.
（3）∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4<0.
四、精炼反馈
1．【答案】C
【解析】∵x＝1，y＝－5，
∴r＝，
∴sin α＝＝－。
2．【答案】A
【解析】∵0<1<，<2<π，<3<π，
∴sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，
∴sin 1·cos 2·tan 3>0.
3．【答案】
【解析】∵sin x＝|sin x|，
∴sin x≥0，
∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k ∈ Z。
4．【答案】根据三角函数的定义，tan α＝＝－，
∴a＝－12，
∴P（5，－12），r＝13，
∴sin α＝－，cos α＝，
从而sin α＋cos α＝－。
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