人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.2 单位圆与三角函数线 教案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.2 单位圆与三角函数线 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 95.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-20 18:11:47 | ||
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文档简介
单位圆与三角函数线
教学目标 核心素养
1．了解三角函数线的意义。（重点） 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。（难点） 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养。 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
1．正弦、余弦正切的定义比较抽象，你能给出它们的一个直观表示吗？
2．这节课我们就来学习三角函数的直观表示——三角函数线。
二、新知探究
1．单位圆和三角函数线的概念
【例1】（1）设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是（ ）。
A．总有MP＋OM＞1
B．总有MP＋OM＝1
C．存在角α，使MP＋OM＝1
D．不存在角α，使MP＋OM＜0
（2）分别做出π和－π的正弦线、余弦线和正切线。
【答案】（1）C
【解析】显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C。
（2）解：①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM ⊥ Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sinπ＝MP，cosπ＝OM，tanπ＝AT，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为。
②同理可做出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙。
sin＝M1P1，
cos＝O1M1，
tan＝A1T1，即－π的正弦线为，余弦线为，正切线为。
[教师小结]
（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线。
（2）作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来做正切线。
2．三角函数线的综合应用
[探究问题]
（1）为什么在三角函数线上，点P的坐标为（cos α，sin α），点T的坐标为（1，tan α）呢？
【提示】由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是（cos α，sin α）；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y＝tan α，所以点T的坐标为（1，tan α）。
（2）如何利用三角函数线比较大小？
【提示】利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：（1）角的位置要“对号入座”；（2）比较三角函数线的长度；（3）确定有向线段的正负。
【例2】已知α∈，试比较sinα，α，tanα的大小。
[思路探究]本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决。
【解】如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM ⊥ x轴，PN ⊥ y轴，作AT ⊥ x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，
得sin α＝MP，tan α＝AT，
又α＝的长，
∴S△AOP＝·OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝··OA
＝·＝α，
S△AOT＝·OA·AT＝tan α。
又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，
∴sin α＜α＜tan α。
[教师小结]三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题。
三、课堂总结
1．单位圆
（1）一般地把半径为1的圆叫做单位圆。
（2）角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
2．三角函数线
3．应用三角函数线比较大小的策略
①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值。
②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向。
四、课堂检测
1．已知α（0＜α＜2π）的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为（ ）。
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或。
2．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】画出单位圆（图略），结合正弦线得出sin x≥的取值范围是。
3．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________。
【答案】sin1>cos1
【解析】∵<1<，
∴正弦线大于余弦线的长度，
∴sin 1>cos 1．
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边。
（1）sin α＝；（2）cos α＝－。
【解】（1）作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲。
甲 乙
（2）作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙。
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教学目标 核心素养
1．了解三角函数线的意义。（重点） 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。（难点） 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养。 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
1．正弦、余弦正切的定义比较抽象，你能给出它们的一个直观表示吗？
2．这节课我们就来学习三角函数的直观表示——三角函数线。
二、新知探究
1．单位圆和三角函数线的概念
【例1】（1）设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是（ ）。
A．总有MP＋OM＞1
B．总有MP＋OM＝1
C．存在角α，使MP＋OM＝1
D．不存在角α，使MP＋OM＜0
（2）分别做出π和－π的正弦线、余弦线和正切线。
【答案】（1）C
【解析】显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C。
（2）解：①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM ⊥ Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sinπ＝MP，cosπ＝OM，tanπ＝AT，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为。
②同理可做出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙。
sin＝M1P1，
cos＝O1M1，
tan＝A1T1，即－π的正弦线为，余弦线为，正切线为。
[教师小结]
（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线。
（2）作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来做正切线。
2．三角函数线的综合应用
[探究问题]
（1）为什么在三角函数线上，点P的坐标为（cos α，sin α），点T的坐标为（1，tan α）呢？
【提示】由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是（cos α，sin α）；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y＝tan α，所以点T的坐标为（1，tan α）。
（2）如何利用三角函数线比较大小？
【提示】利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：（1）角的位置要“对号入座”；（2）比较三角函数线的长度；（3）确定有向线段的正负。
【例2】已知α∈，试比较sinα，α，tanα的大小。
[思路探究]本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决。
【解】如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM ⊥ x轴，PN ⊥ y轴，作AT ⊥ x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，
得sin α＝MP，tan α＝AT，
又α＝的长，
∴S△AOP＝·OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝··OA
＝·＝α，
S△AOT＝·OA·AT＝tan α。
又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，
∴sin α＜α＜tan α。
[教师小结]三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题。
三、课堂总结
1．单位圆
（1）一般地把半径为1的圆叫做单位圆。
（2）角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
2．三角函数线
3．应用三角函数线比较大小的策略
①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值。
②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向。
四、课堂检测
1．已知α（0＜α＜2π）的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为（ ）。
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或。
2．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】画出单位圆（图略），结合正弦线得出sin x≥的取值范围是。
3．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________。
【答案】sin1>cos1
【解析】∵<1<，
∴正弦线大于余弦线的长度，
∴sin 1>cos 1．
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边。
（1）sin α＝；（2）cos α＝－。
【解】（1）作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲。
甲 乙
（2）作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙。
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