人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.2 单位圆与三角函数线 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.2 单位圆与三角函数线 学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 108.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-20 18:29:05 | ||
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文档简介
单位圆与三角函数线
学习目标 核心素养
1．了解三角函数线的意义。（重点） 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。（难点） 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养。 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ）。
A．正弦线，正切线
B．正弦线，正切线
C．正弦线，正切线
D．正弦线，正切线
2．角和角有相同的（ ）。
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
3．角的终边与单位圆的交点的坐标是________。
二、问题探究
探究一：三角函数线的概念
【例1】（1）设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是（ ）。
A．总有MP＋OM＞1
B．总有MP＋OM＝1
C．存在角α，使MP＋OM＝1
D．不存在角α，使MP＋OM＜0
（2）分别做出π和－π的正弦线、余弦线和正切线。
探究二：三角函数线的综合应用
[探究问题]
1．为什么在三角函数线上，点P的坐标为（cos α，sin α），点T的坐标为（1，tan α）呢？
【提示】由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是（cos α，sin α）；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y＝tan α，所以点T的坐标为（1，tan α）。
2．如何利用三角函数线比较大小？
【提示】利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：（1）角的位置要“对号入座”；（2）比较三角函数线的长度；（3）确定有向线段的正负。
【例2】已知α∈，试比较sin α，α，tan α的大小。
[思路探究]本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决。
三、学习小结
1．单位圆
（1）一般地把半径为1的圆叫做单位圆。
（2）角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
2．三角函数线
四、精炼反馈
1．已知α（0＜α＜2π）的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为（ ）。
A．或 B．或
C．或 D．或
2．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是（ ）。
A． B．
C． D．
3．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________。
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边。
（1）sin α＝；
（2）cos α＝－。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】C
【解析】由三角函数线的定义知C正确。
2．【答案】C
【解析】与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线。
3．【答案】
【解析】由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝；
∴角的终边与单位圆的交点的坐标是。
二、合作探究
例1．【答案】（1）C
【解析】显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C。
（2）解：①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM ⊥ Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin π＝MP，cos π＝OM，tan π＝AT，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为。
②同理可做出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙。
sin＝M1P1，cos＝O1M1，tan＝A1T1，即－π的正弦线为，余弦线为，正切线为。
例2．【答案】如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM ⊥ x轴，PN ⊥ y轴，作AT ⊥ x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，
得sin α＝MP，tan α＝AT，
又α＝的长，
∴S△AOP＝·OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝··OA
＝·＝α，
S△AOT＝·OA·AT＝tan α。
又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，
∴sin α＜α＜tan α。
四、精炼反馈
1．【答案】C
【解析】由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或。
2．【答案】B
【解析】画出单位圆（图略），结合正弦线得出sin x≥的取值范围是。
3．【答案】sin1>cos1
【解析】∵<1<，
∴正弦线大于余弦线的长度，
∴sin 1>cos 1．
4．【答案】（1）作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲。
甲 乙
（2）作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙。
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学习目标 核心素养
1．了解三角函数线的意义。（重点） 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。（难点） 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养。 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ）。
A．正弦线，正切线
B．正弦线，正切线
C．正弦线，正切线
D．正弦线，正切线
2．角和角有相同的（ ）。
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
3．角的终边与单位圆的交点的坐标是________。
二、问题探究
探究一：三角函数线的概念
【例1】（1）设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是（ ）。
A．总有MP＋OM＞1
B．总有MP＋OM＝1
C．存在角α，使MP＋OM＝1
D．不存在角α，使MP＋OM＜0
（2）分别做出π和－π的正弦线、余弦线和正切线。
探究二：三角函数线的综合应用
[探究问题]
1．为什么在三角函数线上，点P的坐标为（cos α，sin α），点T的坐标为（1，tan α）呢？
【提示】由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是（cos α，sin α）；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y＝tan α，所以点T的坐标为（1，tan α）。
2．如何利用三角函数线比较大小？
【提示】利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：（1）角的位置要“对号入座”；（2）比较三角函数线的长度；（3）确定有向线段的正负。
【例2】已知α∈，试比较sin α，α，tan α的大小。
[思路探究]本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决。
三、学习小结
1．单位圆
（1）一般地把半径为1的圆叫做单位圆。
（2）角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
2．三角函数线
四、精炼反馈
1．已知α（0＜α＜2π）的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为（ ）。
A．或 B．或
C．或 D．或
2．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是（ ）。
A． B．
C． D．
3．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________。
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边。
（1）sin α＝；
（2）cos α＝－。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】C
【解析】由三角函数线的定义知C正确。
2．【答案】C
【解析】与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线。
3．【答案】
【解析】由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝；
∴角的终边与单位圆的交点的坐标是。
二、合作探究
例1．【答案】（1）C
【解析】显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C。
（2）解：①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM ⊥ Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin π＝MP，cos π＝OM，tan π＝AT，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为。
②同理可做出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙。
sin＝M1P1，cos＝O1M1，tan＝A1T1，即－π的正弦线为，余弦线为，正切线为。
例2．【答案】如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM ⊥ x轴，PN ⊥ y轴，作AT ⊥ x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，
得sin α＝MP，tan α＝AT，
又α＝的长，
∴S△AOP＝·OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝··OA
＝·＝α，
S△AOT＝·OA·AT＝tan α。
又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，
∴sin α＜α＜tan α。
四、精炼反馈
1．【答案】C
【解析】由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或。
2．【答案】B
【解析】画出单位圆（图略），结合正弦线得出sin x≥的取值范围是。
3．【答案】sin1>cos1
【解析】∵<1<，
∴正弦线大于余弦线的长度，
∴sin 1>cos 1．
4．【答案】（1）作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲。
甲 乙
（2）作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙。
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