人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.3 同角三角函数的基本关系式 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.3 同角三角函数的基本关系式 学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 23.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-20 18:28:03 | ||
图片预览
文档简介
同角三角函数的基本关系式
学习目标 核心素养
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用。（重点） 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。（难点） 1．通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养。 2．借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝（ ）。
A．－ B．－
C． D．
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为（ ）。
A．－ B．－
C． D．
3．若sin α＋3cos α＝0，则的值为________。
二、合作探究
类型一：应用同角三角函数关系求值
【例1】（1）若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
（2）若cos α＝，求tan α的值；
（3）若tan α＝－，求sin α的值。
[思路探究]对（1）中明确α是第三象限角，所以只有一种结果。对（2），（3）中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果。
类型二：应用同角三角函数关系化简
【例2】若sin α·tan α<0，化简＋。
类型三：三角恒等式的证明
[探究问题]
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
【提示】（1）从右证到左。
（2）从左证到右。
（3）证明左右归一。
（4）变更命题法。如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等。
2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？
【提示】sin2α＋cos2α＝1，tan ＝1．
【例3】求证：（1）＝；
（2）2（sin6 θ＋cos6 θ）－3（sin4 θ＋cos4 θ）＋1＝0.
[思路探究]解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较。关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧。
三、学习小结
同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1．
商数关系：＝tan_α。
（2）语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。
四、精炼反馈
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（ ）。
A．tan α＝－ B、Cos α＝－
C．sin α＝－ D．tan α＝
2．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ）。
A． B．－
C． D．－
3．已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________。
4．已知tan α＝，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】A
【解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算。因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－。
2．【答案】B
【解析】∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝，
∴sin4α－cos4α＝（sin2α＋cos2α）（sin2α－cos2α）＝－＝－。
3．【答案】－
【解析】因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此
原式＝＝＝－。
二、合作探究
例1．【答案】（1）∵sin α＝－，α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
tan α＝＝－×＝。
（2）∵cos α＝>0，
∴α是第一、四象限角。
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝；
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝－。
（3）∵tan α＝－<0，
∴α是第二、四象限角。
由
可得sin2α＝。
当α是第二象限角时，sin α＝；
当α是第四象限角时，sin α＝－。
例2．【答案】∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.
原式＝＋
＝＋＝＋
＝＝－。
例3．【答案】（1）左边。
＝
＝＝
＝＝＝＝右边，
∴原等式成立。
（2）左边＝2[（sin2θ）3＋（cos2θ）3]－3（sin4θ＋cos4θ）＋1
＝2（sin2θ＋cos2θ）（sin4 θ－sin2θcos2θ＋cos4θ）
－3（sin4θ＋cos4θ）＋1
＝（2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ）－（3sin4θ＋3cos4θ）＋1
＝－（sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ）＋1
＝－（sin2θ＋cos2θ）2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立。
四、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确。
2．【答案】B
【解析】由条件知sin α＝－＝－＝－
3．【答案】－
【解析】∵sin α＋cos α＝，
∴（sin α＋cos α）2＝。
∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝。
∴1＋2sin αcos α＝。
∴sin αcos α＝－。
4．【答案】由tan α＝＝得
sin α＝cos α ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1
∴cos2α＝
又∵α是第三象限的角，
∴cos α＝－
∴sin α＝cos α＝－
5 / 6
学习目标 核心素养
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用。（重点） 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。（难点） 1．通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养。 2．借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝（ ）。
A．－ B．－
C． D．
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为（ ）。
A．－ B．－
C． D．
3．若sin α＋3cos α＝0，则的值为________。
二、合作探究
类型一：应用同角三角函数关系求值
【例1】（1）若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
（2）若cos α＝，求tan α的值；
（3）若tan α＝－，求sin α的值。
[思路探究]对（1）中明确α是第三象限角，所以只有一种结果。对（2），（3）中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果。
类型二：应用同角三角函数关系化简
【例2】若sin α·tan α<0，化简＋。
类型三：三角恒等式的证明
[探究问题]
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
【提示】（1）从右证到左。
（2）从左证到右。
（3）证明左右归一。
（4）变更命题法。如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等。
2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？
【提示】sin2α＋cos2α＝1，tan ＝1．
【例3】求证：（1）＝；
（2）2（sin6 θ＋cos6 θ）－3（sin4 θ＋cos4 θ）＋1＝0.
[思路探究]解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较。关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧。
三、学习小结
同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1．
商数关系：＝tan_α。
（2）语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。
四、精炼反馈
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（ ）。
A．tan α＝－ B、Cos α＝－
C．sin α＝－ D．tan α＝
2．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ）。
A． B．－
C． D．－
3．已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________。
4．已知tan α＝，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】A
【解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算。因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－。
2．【答案】B
【解析】∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝，
∴sin4α－cos4α＝（sin2α＋cos2α）（sin2α－cos2α）＝－＝－。
3．【答案】－
【解析】因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此
原式＝＝＝－。
二、合作探究
例1．【答案】（1）∵sin α＝－，α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
tan α＝＝－×＝。
（2）∵cos α＝>0，
∴α是第一、四象限角。
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝；
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝－。
（3）∵tan α＝－<0，
∴α是第二、四象限角。
由
可得sin2α＝。
当α是第二象限角时，sin α＝；
当α是第四象限角时，sin α＝－。
例2．【答案】∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.
原式＝＋
＝＋＝＋
＝＝－。
例3．【答案】（1）左边。
＝
＝＝
＝＝＝＝右边，
∴原等式成立。
（2）左边＝2[（sin2θ）3＋（cos2θ）3]－3（sin4θ＋cos4θ）＋1
＝2（sin2θ＋cos2θ）（sin4 θ－sin2θcos2θ＋cos4θ）
－3（sin4θ＋cos4θ）＋1
＝（2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ）－（3sin4θ＋3cos4θ）＋1
＝－（sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ）＋1
＝－（sin2θ＋cos2θ）2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立。
四、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确。
2．【答案】B
【解析】由条件知sin α＝－＝－＝－
3．【答案】－
【解析】∵sin α＋cos α＝，
∴（sin α＋cos α）2＝。
∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝。
∴1＋2sin αcos α＝。
∴sin αcos α＝－。
4．【答案】由tan α＝＝得
sin α＝cos α ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1
∴cos2α＝
又∵α是第三象限的角，
∴cos α＝－
∴sin α＝cos α＝－
5 / 6