人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.4 诱导公式 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.2.4 诱导公式 学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 32.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-20 18:27:12 | ||
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文档简介
诱导公式
第一学时
学习目标 核心素养
1．掌握诱导公式①、②，并会用公式求任意角的三角函数值。（重点） 2．会用诱导公式一、二进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明。（难点） 1．通过诱导公式①和诱导公式②的推导，培养学生的逻辑推理核心素养。 2．借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．sin（－30°）的值是（ ）。
A． B．－
C． D．－
2．cos的值为（ ）。
A． B．－
C． D．
3．cos－sin＝________。
二、合作探究
类型一：利用诱导公式求值
【例1】
计算：
（1）sintan π－cosπ·tan；
（2）sin＋cosπ·tan 4π；
（3）cosπ＋tan；
（4）cossin＋sincos。
[思路探究]先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果。
类型二：利用诱导公式化简
【例2】化简：。
[思路探究]应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负。
类型三：利用诱导公式证明恒等式
[探究问题]利用诱导公式证明恒等式有哪些方法？
【提示】利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；（3）凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同。
【例3】已知tan（2π－α）＝－2，求证：4sin2（4π－α）－3sin α·cos（－α）－5cos2α＝1．
[思路探究]可以先对所证明的等式的左边利用诱导公式化简，再根据条件求值即可。
三、学习小结
1．诱导公式①
2．诱导公式②
四、精炼反馈
1．sin 690°的值为（ ）。
A． B．
C．－ D．－
2．点P（cos 2 019°，sin 2 019°）落在（ ）。
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
的化简结果为________。
求下列各式的值：
（1）cosπ＋tan；
（2）sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°。
第二学时
学习目标 核心素养
1．掌握诱导公式③~⑧，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值。（重点） 2．能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明。（难点） 1．通过诱导公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养。 2．通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．sin 585°的值为（ ）。
A．－ B．
C．－ D．
2．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝（ ）。
A．a B．－a
C． D．－
3．若cos>0，且sin<0，则θ是（ ）。
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
二、合作探究
类型一：给角求值问题
【例1】（1）求下列各三角函数值。
①sin；②cos π；
（2）求sin ·cos （n ∈ Z）的值。
[思路探究]（1）直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择。
（2）分n为奇数、偶数两种情况讨论。
类型二：给值（式）求值问题
【例2】已知cos（π＋α）＝－，求cos的值。
[思路探究]→→
类型三：诱导公式中的分类讨论思想
[探究问题]（1）利用诱导公式能否直接写出sin（kπ＋α）的值？
【提示】不能。因为k是奇数还是偶数不确定。
当k是奇数时，即k＝2n＋1（n ∈ Z），sin（kπ＋α）＝sin（π＋α）＝－sin α；
当k是偶数时，即k＝2n（n ∈ Z），sin（kπ＋α）＝sin α。
（2）如何化简tan呢？
【提示】当k为奇数时，即k＝2n＋1（n ∈ Z），
tan＝tan＝＝＝；
当k为偶数时，即k＝2n（n ∈ Z），
tan＝tan α。
综上，tan＝
【例3】设k为整数，化简：。
[思路探究]分k为奇数，k为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解。
三、学习小结
1．诱导公式③
sin（π－α）=sin α
cos（π－α）=－cos α
tan（π－α）=－tan α
2．诱导公式④
sin（π +α）=－sin α
cos（π +α）=－cos α
tan（π +α）=tan α
3．诱导公式⑤
sin（π/2－α）=cos α
cos（π/2－α）=sin α
4．诱导公式⑥
sin（π/2+α）=cos α
cos（π/2+α）=－sin α
5．诱导公式⑦
cos（3π/2+α）=sin α
sin（3π/2+α）=－cos α
6．诱导公式⑧
cos（3π/2－α）=－sin α
sin（3π/2－α）=－cos α
四、精炼反馈
1．下列各式不正确的是（ ）。
A．sin（α＋180°）＝－sinα
B．cos（－α＋β）＝－cos（α－β）
C．sin（－α－360°）＝－sinα
D．cos（－α－β）＝cos（α＋β）
2．sin 600°的值为（ ）。
A． B．－
C． D．－
3．cos 1 030°＝（ ）。
A．cos 50° B．－cos 50°
C．sin 50° D．－sin 50°
4．已知sin φ＝，求cos＋sin（3π－φ）的值。
答案解析
第一学时
二、合作探究
例1．【答案】（1）原式＝·tan－cos ·tan
＝－sin·tan －cos ·tan
＝－××－×（－1）＝0
（2）原式＝－sinπ＋cosπ·tan 0
＝－sin＋0＝－sin＝－。
（3）原式＝cos－tanπ
＝cos－tan
＝－tan＝－1＝－。
（4）原式＝cossin＋sin·cos＝cossin ＋sin cos
＝cos ·sin ＋sin cos
＝×＋×
＝＋。
例2．【答案】原式＝
＝＝
＝＝－1
例3．【解】左边＝4sin2（－α）－3sin αcos α－5cos2α＝
＝＝
因为tan（2π－α）＝tan（－α）＝－tan α＝－2，
所以tan α＝2，
所以左边＝＝＝1，
所以4sin2（4π－α）－3sin α·cos（－α）－5cos2α＝1
四、精炼反馈
1．【答案】C
【解析】sin 690°＝sin（720°－30°）＝－sin 30°＝－
2．【答案】C
【解析】2019°＝6×360°－141°，
∴cos2019°＝cos（－141°）＝cos141°<0，
sin2019°＝sin（－141°）＝－sin141°<0，
∴点P在第三象限。
3．【答案】1
【解析】原式＝＝1．
4．【解】（1）cosπ＋tan
＝cos＋tan＝cos＋tan
＝＋1＝。
（2）原式＝sin（2×360°＋90°）＋tan（3×360°＋45°）＋cos（360°＋60°）＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋＝。
第二学时
二、合作探究
例1．【答案】（1）①sin
＝－sin ＝－sin＝－sin
＝－sin＝sin ＝。
②cos π＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－。
（2）①当n为奇数时，
原式＝sin ·＝sin·
＝sin ·cos ＝×＝；
②当n为偶数时，原式＝sin π·cos π
＝sin··cos
＝sin ·
＝×＝－。
＝sin
＝cos＝。
例2．【解】∵cos（π＋α）＝－cos α＝－，
∴cos α＝，
∴α为第一或第四象限角。
①若α为第一象限角，
则cos＝－sin α＝－
＝－＝－。
②若α为第四象限角，
则cos＝－sin α＝
＝＝。
例3．【解】当k为偶数时，
＝＝－1．
当k为奇数时
＝＝－1．
综上可得＝－1．
四、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】cos（－α＋β）＝cos[－（α－β）]＝cos（α－β），故B项错误。
2．【答案】D
【解析】sin 600°＝sin（720°－120°）＝－sin 120°
＝－sin（180°－60°）＝－sin 60°＝－，故选D．
3．【答案】A
【解析】cos 1 030°＝cos（3×360°－50°）
＝cos（－50°）＝cos 50°。
4．【解】∵sin φ＝，
∴cos＝cos
＝cos＝cos＝sin φ＝，
∴cos＋sin（3π－φ）＝＋sin（π－φ）
＝＋sin φ＝。
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第一学时
学习目标 核心素养
1．掌握诱导公式①、②，并会用公式求任意角的三角函数值。（重点） 2．会用诱导公式一、二进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明。（难点） 1．通过诱导公式①和诱导公式②的推导，培养学生的逻辑推理核心素养。 2．借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．sin（－30°）的值是（ ）。
A． B．－
C． D．－
2．cos的值为（ ）。
A． B．－
C． D．
3．cos－sin＝________。
二、合作探究
类型一：利用诱导公式求值
【例1】
计算：
（1）sintan π－cosπ·tan；
（2）sin＋cosπ·tan 4π；
（3）cosπ＋tan；
（4）cossin＋sincos。
[思路探究]先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果。
类型二：利用诱导公式化简
【例2】化简：。
[思路探究]应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负。
类型三：利用诱导公式证明恒等式
[探究问题]利用诱导公式证明恒等式有哪些方法？
【提示】利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；（3）凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同。
【例3】已知tan（2π－α）＝－2，求证：4sin2（4π－α）－3sin α·cos（－α）－5cos2α＝1．
[思路探究]可以先对所证明的等式的左边利用诱导公式化简，再根据条件求值即可。
三、学习小结
1．诱导公式①
2．诱导公式②
四、精炼反馈
1．sin 690°的值为（ ）。
A． B．
C．－ D．－
2．点P（cos 2 019°，sin 2 019°）落在（ ）。
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
的化简结果为________。
求下列各式的值：
（1）cosπ＋tan；
（2）sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°。
第二学时
学习目标 核心素养
1．掌握诱导公式③~⑧，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值。（重点） 2．能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明。（难点） 1．通过诱导公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养。 2．通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．sin 585°的值为（ ）。
A．－ B．
C．－ D．
2．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝（ ）。
A．a B．－a
C． D．－
3．若cos>0，且sin<0，则θ是（ ）。
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
二、合作探究
类型一：给角求值问题
【例1】（1）求下列各三角函数值。
①sin；②cos π；
（2）求sin ·cos （n ∈ Z）的值。
[思路探究]（1）直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择。
（2）分n为奇数、偶数两种情况讨论。
类型二：给值（式）求值问题
【例2】已知cos（π＋α）＝－，求cos的值。
[思路探究]→→
类型三：诱导公式中的分类讨论思想
[探究问题]（1）利用诱导公式能否直接写出sin（kπ＋α）的值？
【提示】不能。因为k是奇数还是偶数不确定。
当k是奇数时，即k＝2n＋1（n ∈ Z），sin（kπ＋α）＝sin（π＋α）＝－sin α；
当k是偶数时，即k＝2n（n ∈ Z），sin（kπ＋α）＝sin α。
（2）如何化简tan呢？
【提示】当k为奇数时，即k＝2n＋1（n ∈ Z），
tan＝tan＝＝＝；
当k为偶数时，即k＝2n（n ∈ Z），
tan＝tan α。
综上，tan＝
【例3】设k为整数，化简：。
[思路探究]分k为奇数，k为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解。
三、学习小结
1．诱导公式③
sin（π－α）=sin α
cos（π－α）=－cos α
tan（π－α）=－tan α
2．诱导公式④
sin（π +α）=－sin α
cos（π +α）=－cos α
tan（π +α）=tan α
3．诱导公式⑤
sin（π/2－α）=cos α
cos（π/2－α）=sin α
4．诱导公式⑥
sin（π/2+α）=cos α
cos（π/2+α）=－sin α
5．诱导公式⑦
cos（3π/2+α）=sin α
sin（3π/2+α）=－cos α
6．诱导公式⑧
cos（3π/2－α）=－sin α
sin（3π/2－α）=－cos α
四、精炼反馈
1．下列各式不正确的是（ ）。
A．sin（α＋180°）＝－sinα
B．cos（－α＋β）＝－cos（α－β）
C．sin（－α－360°）＝－sinα
D．cos（－α－β）＝cos（α＋β）
2．sin 600°的值为（ ）。
A． B．－
C． D．－
3．cos 1 030°＝（ ）。
A．cos 50° B．－cos 50°
C．sin 50° D．－sin 50°
4．已知sin φ＝，求cos＋sin（3π－φ）的值。
答案解析
第一学时
二、合作探究
例1．【答案】（1）原式＝·tan－cos ·tan
＝－sin·tan －cos ·tan
＝－××－×（－1）＝0
（2）原式＝－sinπ＋cosπ·tan 0
＝－sin＋0＝－sin＝－。
（3）原式＝cos－tanπ
＝cos－tan
＝－tan＝－1＝－。
（4）原式＝cossin＋sin·cos＝cossin ＋sin cos
＝cos ·sin ＋sin cos
＝×＋×
＝＋。
例2．【答案】原式＝
＝＝
＝＝－1
例3．【解】左边＝4sin2（－α）－3sin αcos α－5cos2α＝
＝＝
因为tan（2π－α）＝tan（－α）＝－tan α＝－2，
所以tan α＝2，
所以左边＝＝＝1，
所以4sin2（4π－α）－3sin α·cos（－α）－5cos2α＝1
四、精炼反馈
1．【答案】C
【解析】sin 690°＝sin（720°－30°）＝－sin 30°＝－
2．【答案】C
【解析】2019°＝6×360°－141°，
∴cos2019°＝cos（－141°）＝cos141°<0，
sin2019°＝sin（－141°）＝－sin141°<0，
∴点P在第三象限。
3．【答案】1
【解析】原式＝＝1．
4．【解】（1）cosπ＋tan
＝cos＋tan＝cos＋tan
＝＋1＝。
（2）原式＝sin（2×360°＋90°）＋tan（3×360°＋45°）＋cos（360°＋60°）＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋＝。
第二学时
二、合作探究
例1．【答案】（1）①sin
＝－sin ＝－sin＝－sin
＝－sin＝sin ＝。
②cos π＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－。
（2）①当n为奇数时，
原式＝sin ·＝sin·
＝sin ·cos ＝×＝；
②当n为偶数时，原式＝sin π·cos π
＝sin··cos
＝sin ·
＝×＝－。
＝sin
＝cos＝。
例2．【解】∵cos（π＋α）＝－cos α＝－，
∴cos α＝，
∴α为第一或第四象限角。
①若α为第一象限角，
则cos＝－sin α＝－
＝－＝－。
②若α为第四象限角，
则cos＝－sin α＝
＝＝。
例3．【解】当k为偶数时，
＝＝－1．
当k为奇数时
＝＝－1．
综上可得＝－1．
四、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】cos（－α＋β）＝cos[－（α－β）]＝cos（α－β），故B项错误。
2．【答案】D
【解析】sin 600°＝sin（720°－120°）＝－sin 120°
＝－sin（180°－60°）＝－sin 60°＝－，故选D．
3．【答案】A
【解析】cos 1 030°＝cos（3×360°－50°）
＝cos（－50°）＝cos 50°。
4．【解】∵sin φ＝，
∴cos＝cos
＝cos＝cos＝sin φ＝，
∴cos＋sin（3π－φ）＝＋sin（π－φ）
＝＋sin φ＝。
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