正弦函数的性质与图像
教学目标
核心素养
1．能正确使用“五点法”、“几何法”做出正弦函数的图像。（难点）
2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值。（重点）
1．通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养。
2．借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
以摩天轮转轮中心为原点O，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系。设O到地面的高OT为1 m，P点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为r m。记以OP为终边的角为xrad，点P离地面的高度为y m，那么y是x的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？
二、新知探究
1．正弦函数的性质与图像
【例1】用五点法做出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间。
①y>1；②y<1．
（2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
（3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值。
【解】按五个关键点列表
x
－π
－
0
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
（1）由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈（－π，0）时，y>1，当x∈（0，π）时，y<1．
（2）如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1
（3）由图像可知ymax＝3，此时x＝－；ymin＝－1，此时x＝。
[教师小结]
（1）正弦函数图像的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，做出图像。
（2）五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向。
（3）仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题。
2．正弦函数的单调性及应用
【例2】比较下列各组数的大小。
（1）sin194°和cos160°；
（2）sin和cos；
（3）sin和sin。
[思路探究]先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。
解：（1）sin194°＝sin（180°＋14°）＝－sin14°。
cos160°＝cos（180°－20°）＝－cos 20°＝－sin70°。
∵0°<14°<70°<90°，
∴sin14°从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°。
（2）∵cos＝sin，
又<<π<＋<π，
y＝sin x在上是减函数，
∴sin >sin＝cos ，
即sin >cos 。
（3）∵cos ＝sin ，
∴0而y＝sin x在内递增，
∴sin[教师小结]
（1）求出正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性。
（2）比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较。
3．正弦函数的值域与最值问题
[探究问题]
（1）函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值能否为－1？
【提示】不能。因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图像可知函数的最小值为－。
（2）函数y＝A·sinx＋b，x ∈ R的最大值一定是A＋b吗？
【提示】不是。因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋B．
【例3】求下列函数的值域。
（1）y＝3＋2sin；
（2）y＝1－2sin2x＋sin x。
[思路探究]（1）用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围。
（2）用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围。
解：（1）∵－1≤sin≤1，
∴－2≤2sin≤2，
∴1≤2sin＋3≤5，
∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sin的值域为[1，5]。
（2）y＝1－2sin2x＋sin x，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－22＋。
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为。
[教师小结]
（1）换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性。
（2）转化成同一函数，要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定。
三、课堂总结
1．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点
（1）“几何法”就是利用单位圆中正弦线做出弦函数图像的方法。该方法作图较精确，但较为繁琐。
（2）“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法。
2．正弦函数周期性的释疑
由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ（k ∈ Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期为2π。
3．正弦函数的奇偶性
（1）正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点O对称。
（2）正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形。
4．正弦函数单调性的说明
（1）正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间。
（2）求解（或判断）正弦函数的单调区间（或单调性）是求值域（或最值）的关键一步。
（3）确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断。
5．正弦函数最值的释疑
（1）明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1．
（2）对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定。
（3）形如y＝A sin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A·sin z的形式求最值。
四、课堂检测
1．以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是（ ）。
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k ∈ Z上的图像形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
【答案】B
【解析】观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B．
2．函数y＝－sin x，x∈的简图是（ ）。
【答案】D
【解析】可以用特殊点来验证。当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B．
3．若sin x＝2m＋1且x ∈ R，则m的取值范围是__________。
【答案】[－1，0]
【解析】因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，
解得－1≤m≤0.]
4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0，2π]上的简图。
解：列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
-1
0
y＝－2sin x
0
-2
0
2
0
描点、连线得y＝－2sin x的图像如图：
正弦型函数的性质与图像
【教学目标】
1．了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．
2．会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
【教学重难点】
会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值、单调区间．
【教学过程】
一、问题导入
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i=Imsin（wt+φ）的形式.
显然，上述x与i都是t的函数，那么，这种类型的函数具有什么性质呢？怎样研究这种类型的函数的性质？
二、新知探究
1.正弦型函数的图像与性质
【例1】用五点法作函数y＝2sin＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
[思路探究]先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
[解]①列表：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sin＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，
周期为T＝＝2π，频率为f＝＝，初相为φ＝－，最大值为5，最小值为1．
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，(k∈Z)得原函数的减区间为(k∈Z)．
令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋π(k∈Z)．
【教师小结】
（1）用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．
（2）求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围．
2.三角函数的图像变换
【例2】函数y＝2sin－2的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？
[思路探究]由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
【教师小结】三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
3.求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，确定其一个函数解析式．
[思路探究]解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ.
[解]由图像，知A＝3，T＝π，
又图像过点A，
∴所求图像由y＝3sin 2x的图像向左平移个单位得到，
∴y＝3sin 2，即y＝3sin.
【教师小结】确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知(或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性
[探究问题]
如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？
[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？
[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(k∈Z)成中心对称．
【例4】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．
（1）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
（2）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
[思路探究]利用正弦函数的性质解题．
[解]（1）∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋，
又φ∈(0，π)，∴φ＝.
（2）∵f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，
∴f(0)＝f，即sin φ＝sin＝cos φ，
∴tan φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，∴φ＝，∴f(x)＝sin.
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，
对称中心(k∈Z)．
【教师小结】
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等考查．
（2）有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
三、课堂总结
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当04．由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
四、课堂检测
1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B． C．1 D．
A [由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2．
故选A．]
2．要得到y＝3sin的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
C [y＝3sin 2x的图像y＝3sin2
的图像，即y＝3sin的图像．]
3．函数y＝2sin图像的一条对称轴是________．(填序号)
①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.
③ [由正弦函数对称轴可知．
x＋＝kπ＋，k∈Z，
x＝kπ＋，k∈Z，
k＝0时，x＝.]
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，试求该函数的解析式．
[解] 由图像可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝＝.又x＝6时，×6＋φ＝0，∴φ＝－，且|φ|<π.
∴所求函数的解析式为y＝2sin.
余弦函数的性质与图像
【教学目标】
1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
【教学重难点】
会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
【教学过程】
一、问题导入
研究余弦函数y=cosx的性质，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一个方案，研究余弦函数的性质.
二、新知探究
1．用“五点法”作余弦型函数的图像
【例1】用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0,2π]的简图．
[思路探究]在[0,2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．
[解]列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图
【教师小结】
（1）“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点．
（2）列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．
2．求余弦型函数的单调区间
【例2】求函数y＝cos的单调递减区间．
[思路探究]本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝cos化为y＝cos形式，故只需求y＝cos的单调递减区间即可．
[解]y＝cos＝cos，
令z＝x－，则y＝cos z，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝cos的单调递减区间为2kπ＋，2kπ＋π，k∈Z.
【教师小结】
（1）求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
（2）具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．
3．有关三角函数的最值问题
【例3】已知函数y1＝a－bcos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．
[思路探究]欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解．
[解]∵函数y1的最大值是，最小值是－，
当b>0时，由题意得∴
当b<0时，由题意得∴
因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x.
函数的最大值均为2．
【教师小结】
（1）对于求形如y＝acos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围．
（2）求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
4．正、余弦函数的对称性
[探究问题]
观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？
[提示]正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．
正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？
[提示]正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)，(k∈Z)，其对称轴方程为x＝＋kπ，(k∈Z)．
余弦曲线的对称中心坐标为，(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ，(k∈Z)．
如何求y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？
[提示]只需令ωx＋φ＝kπ＋即可求得其对称中心的横坐标．
令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程．
【例4】已知函数y＝2cos.
（1）在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
（2）把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值．
[解]（1）令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－(k∈Z)．
令k＝0，x＝－；
令k＝1，x＝.
∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
（2）设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cos＝2cos.
∵y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称，
∴f(0)＝2cos＝0.
∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.
解得φ＝－(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.
∴φ的最小正值是.
【教师小结】
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
(1(f(x(＝Asin(ωx＋φ((或Acos(ωx＋φ((的图象关于x＝x0对称?f(x0(＝A或－A.
(2(f(x(＝Asin(ωx＋φ((或Acos(ωx＋φ((的图象关于点(x0，0(中心对称?f(x0(＝0.
三、课堂小结
1．余弦曲线和正弦曲线的关系
2．余弦函数周期性的释疑
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
3．余弦函数的奇偶性
(1)余弦函数是偶函数，反映在图象上，余弦曲线关于y轴对称．
(2)余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
4．余弦函数单调性的说明
(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
5．余弦函数最值的释疑
(1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1.
(2)对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
(3)形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acos z的形式最值.
四、课堂检测
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
D [∵T＝＝，∴ω＝4．]
2．函数y＝sin是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
B [∵y＝sin＝sin
＝sin＝cos x，∴函数y＝sin是偶函数．]
3．函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是________．
[0，π] [y＝cos(－x)＝cos x，其单调递减区间为[0，π]．]
4．用五点法作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
[解] 列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点连线，如图．
正切函数的性质与图像
【教学目标】
1．能画出y＝tan x的图像，借助图像理解正切函数在区间上的性质．
2．掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．
【教学重难点】
掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期．
【教学过程】
一、问题导入
你能由正切线得出正切函数y=tanx具有哪些性质吗？
二、新知探究
1．正切函数的定义域、值域问题
【例1】（1）函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域是________．
（2）函数y＝tan(sin x)的值域为________．
（3）求函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈的值域．
[思路探究]（1）列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
（2）利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域．
（3）换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
答案：（1）
（2）[－tan 1，tan 1]
（3）函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈时的值域为[2－2，6]
解析：（1）要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则
即－1≤tan x<1．
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为
（2）因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]?，
所以y＝tan x在[－1,1]上是增函数，
因此tan(－1)≤tan x≤tan 1，
即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．
（3）解：令t＝tan x，
∵x∈，∴t＝tan x∈[－，)，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，
∴t＝1时，取最大值6，
t＝－时，取最小值2－2，
∴函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈时的值域为[2－2，6]．
【教师小结】
（一）求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z；
（2）求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
（二）解正切不等式的两种方法：
（1）图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
（2）三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．
2．正切函数的奇偶性、周期性
【例2】（1）函数y＝4tan的周期为________．
（2）判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝tan＋tan.
[思路探究]（1）可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．
（2）可按定义法的步骤判断．
[提示]（1） [由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝.]
（2）①由
得f(x)的定义域为
，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
②函数定义域为
，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
【教师小结】
（一）函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
（1）定义法．
（2）公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
（3）观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
（二）判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
3．正切函数的单调性
[探究问题]
正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
[提示]不是．函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的．正切函数的图像被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x1正切函数的定义域能写成，(k∈Z)吗？为什么？
[提示]不能．因为正切函数的定义域是，它表示x是不等于＋kπ(k∈Z)的全体实数，而(k∈Z)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集．
【例3】（1）求函数y＝tan的单调区间；
（2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
[思路探究]（1）可先令y＝－tan，从而把x－整体代入，k∈Z这个区间内解出x便可．
（2）可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan x在上的单调性判断大小关系．
[解]（1）y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无增区间．
（2）∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2【教师小结】求y＝Atan(ωx＋φ(的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ三、课堂总结
1．对函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明：
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝.
(2)当ω>0时，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是.
2．“三点两线法”作正切曲线的简图
(1)“三点”分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．
3．解答正切函数图像与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图像的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的.
四、课堂检测
1．函数y＝tan x的值域是( )
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
B [根据函数的单调性可得．]
2．直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B．
C． D．
C [直线y＝3与函数y＝tan ωx的图像的相邻交点间的距离为y＝tan ωx的周期，故距离为.]
3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
[由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．
故定义域为，
且f＝tan＝.]
4．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
(k∈Z) [因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)．]
5．求下列函数的定义域：
（1）y＝；
（2）y＝lg(－tan x)．
[解] （1）要使函数y＝有意义，需使
所以函数的定义域为.
（2）要使函数有意义，则－tan x>0，所以tan x<.
又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图像(图略)，
得kπ－已知三角函数值求角
教学目标
核心素养
1．掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角。（难点）
2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角。（重点）
通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
（1）如果已知sinx=1/2，你能求出满足条件的角x吗？
（2）如果已知sinx≥1/2，你能求出x的取值范围吗？
二、新知探究
1．已知正弦值求角。
【例1】已知sin x＝。
（1）当x∈时，求x的取值集合；
（2）当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
（3）当x ∈ R时，求x的取值集合。
[思路探究]尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解。
【解】（1）∵y＝sin x在上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴是所求集合。
（2）∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin＝，
∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝π，
∴x的取值集合为。
（3）当x ∈ R时，x的取值集合为
。
[教师小结]
（1）给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用。
（2）对于已知正弦值求角有如下规律：
sin x＝a（|a|≤1）
x∈
x∈[0，2π]
x＝arcsin a
0≤a≤1
－1≤a＜0
x1＝arcsin a
x2＝π－arcsin a
x1＝π－arcsin a
x2＝2π＋arcsin a
2．已知余弦值求角
【例2】已知cos x＝－，
（1）当x ∈[0，π]时，求值x；
（2）当x ∈ R时，求x的取值集合。
[思路探究]解答本题可先求出定义arccos a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合。
【解】（1）∵cos x＝－且x∈[0，π]，
∴x＝arccos。
（2）当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解。
∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角。
由（1）知x＝arccos是第二象限角，
又cos
＝cos＝－，
且2π－arccos∈，
所以，由余弦函数的周期性知，
当x＝arccos＋2kπ或
x＝2π－arccos＋2kπ（k ∈ Z）时，
cos x＝－，即所求x值的集合是。
[教师小结]cos x＝a(－1≤a≤1(，当x∈[0，π]时，则x＝arccos a，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}。
3．已知正切值求角
【例3】已知tan α＝－3．
（1）若α∈，求角α；
（2）若α∈R，求角α。
[思路探究]尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解。
【解】（1）由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan（－3）。
（2）α＝kπ＋arctan（－3）（k ∈ Z）。
[教师小结]
（1）已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角。
（2）tan α＝a，a ∈ R的解集为{α|α＝kπ＋arctan a，k ∈ Z}。
三、课堂总结
1．反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围：
名称
反正弦
反余弦
反正切
记法
arcsin α
arccos α
arctan α
取值范围
[0，π]
2．已知三角函数值求角的步骤：
一、定象限，二、找锐角，三、写x∈[0，2π]的角，四、给答案。
3．若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。
四、课堂检测
1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵x∈（π，2π）且cos x＝－，∴x＝。
2．函数y＝＋π－arccos（2x－3）的定义域是________。
【答案】
【解析】由题意可得，
解得1≤x≤，所以函数的定义域为。
3．等腰三角形的一个底角为α，且sinα＝，用含符号arcsin x的关系式表示顶角β＝________。
【答案】π－2arcsin。
【解析】由题意，α∈，又sinα＝，
所以<α<，<2α<，<π－2α<，
所以β＝π－2arcsin。
4．求值：。
【答案】arcsin＝，arccos＝，arctan（－）＝－，
∴原式＝＝1．
