正弦函数的性质与图像
学习目标
核心素养
1．能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图像。（难点）
2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值。（重点）
1．通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养。
2．借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．函数y＝x·sin x是（ ）。
A．奇函数，不是偶函数 B．偶函数，不是奇函数
C．奇函数，也是偶函数 D．非奇非偶函数
2．下列图像中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图像的是（ ）。
3．点M在函数y＝sin x的图像上，则m等于（ ）。
A．0 B．1
C．－1 D．2
二、合作探究
探究一：正弦函数的性质与图像
【例1】用五点法做出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间。
①y>1；②y<1。
（2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
（3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值。
探究二：正弦函数的单调性及应用
【例2】比较下列各组数的大小。
（1）sin 194°和cos 160°；
（2）sin 和cos ；
（3）sin和sin。
[思路探究]先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。
探究三：正弦函数的值域与最值问题
【探究问题】
1．函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值能否为－1？
【提示】不能。因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图像可知函数的最小值为－。
2．函数y＝Asin x＋b，x ∈ R的最大值一定是A＋b吗？
【提示】不是。因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋B．
【例3】求下列函数的值域。
（1）y＝3＋2sin；
（2）y＝1－2sin2x＋sin x。
[思路探究]（1）用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围。
（2）用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围。
三、学习小结
1．正弦函数的性质
（1）函数的周期性
①周期函数：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
②最小正周期：对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期。
（2）正弦函数的性质
函数
y＝sin x
定义域
（－∞，＋∞）
值域
[－1，1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期：2π
单调性
在（k ∈ Z）上递增；
在（k ∈ Z）上递减
最值
x＝2kπ＋，（k ∈ Z）时，y最大值＝1；
x＝2kπ－（k ∈ Z）时，y最小值＝－1
2．正弦函数的图像
（1）利用正弦线可以做出y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，要想得到y＝sin x（x ∈R）的图像，只需将y＝sin x，x∈[0，2π]的图像沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图像叫做正弦曲线。
（2）“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图像时，所取的五点分别是（0，0），，（π，0），和（2π，0）。
四、精炼反馈
1．以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是（ ）。
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k ∈ Z上的图像形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
2．函数y＝－sin x，x∈的简图是（ ）。
3．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是__________。
4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0，2π]上的简图。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】B
【解析】∵f（－x）＝－x·sin（－x）＝－x（－sin x）＝x·sin x＝f（x），
∴y＝x·sin x为偶函数，不是奇函数。
2．【答案】D
【解析】把y＝sin x，x∈[0，2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图像，故选D。
3．【答案】C
【解析】由题意，知－m＝sin ，∴－m＝1，
∴m＝－1．
例1．【解】按五个关键点列表
x
－π
－
0
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
（1）由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈（－π，0）时，y>1，当x∈（0，π）时，y<1．
（2）如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1
（3）由图像可知ymax＝3，此时x＝－；ymin＝－1，此时x＝。
例2．解：（1）sin 194°＝sin（180°＋14°）＝－sin 14°。
cos 160°＝cos（180°－20°）＝－cos 20°＝－sin 70°。
∵0°<14°<70°<90°，
∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°。
（2）∵cos ＝sin，
又<<π<＋<π，
y＝sin x在上是减函数，
∴sin >sin＝cos ，
即sin >cos 。
（3）∵cos ＝sin ，
∴0而y＝sin x在内递增，
∴sin例3．【答案】（1）∵－1≤sin≤1，
∴－2≤2sin≤2，
∴1≤2sin＋3≤5，
∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sin的值域为[1，5]。
（2）y＝1－2sin2x＋sin x，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－22＋。
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为。
四、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B．
2．【答案】D
【解析】可以用特殊点来验证。当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B．
3．【答案】[－1，0]
【解析】因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，
解得－1≤m≤0.
4．解：列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝－2sin x
0
－2
0
2
0
描点、连线得y＝－2sin x的图像如图：
正弦型函数的性质与图像
【学习目标】
1．了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．
2．会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
【学习重难点】
会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值、单调区间．
【学习过程】
一、初试身手
1．函数y＝4sin＋1的最小正周期为( )
A． B．π
C．2π D．4π
2．要得到y＝sin的图像，只要将y＝sin x的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
3．已知函数y＝3sin，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.
二、合作探究
1.正弦型函数的图像与性质
【例1】用五点法作函数y＝2sin＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
[思路探究]先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
[解]①列表：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sin＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，
周期为T＝＝2π，频率为f＝＝，初相为φ＝－，最大值为5，最小值为1．
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，(k∈Z)得原函数的减区间为(k∈Z)．
令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋π(k∈Z)．
2.三角函数的图像变换
【例2】函数y＝2sin－2的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？
[思路探究]由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
3.求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，确定其一个函数解析式．
[思路探究]解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ.
[解]由图像，知A＝3，T＝π，
又图像过点A，
∴所求图像由y＝3sin 2x的图像向左平移个单位得到，
∴y＝3sin 2，即y＝3sin.
4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性
[探究问题]
如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？
[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？
[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(k∈Z)成中心对称．
【例4】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．
（1）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
（2）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
[思路探究]利用正弦函数的性质解题．
[解]（1）∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋，
又φ∈(0，π)，∴φ＝.
（2）∵f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，
∴f(0)＝f，即sin φ＝sin＝cos φ，
∴tan φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，∴φ＝，∴f(x)＝sin.
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，
对称中心(k∈Z)．
【学习小结】
1．正弦型函数
（1）形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．
（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝，频率f＝，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．
2．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
（1）φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响：
（2）ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响：
（3）A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响：
（4）用“变换法”作图：
y＝sin x的图像y＝sin(x＋φ)的图像横坐标变为原来的倍,纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)的图像
y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
【精炼反馈】
1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B． C．1 D．
A [由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2．
故选A．]
2．要得到y＝3sin的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
C [y＝3sin 2x的图像y＝3sin2
的图像，即y＝3sin的图像．]
3．函数y＝2sin图像的一条对称轴是________．(填序号)
①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.
③ [由正弦函数对称轴可知．
x＋＝kπ＋，k∈Z，
x＝kπ＋，k∈Z，
k＝0时，x＝.]
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，试求该函数的解析式．
[解] 由图像可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝＝.又x＝6时，×6＋φ＝0，∴φ＝－，且|φ|<π.
∴所求函数的解析式为y＝2sin.
余弦函数的性质与图像
【学习目标】
1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
【学习重难点】
会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
【学习过程】
一、初试身手
1．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
2．使cos x＝1－m有意义的m的值为( )
A．m≥0 B．0≤m≤2
C．－11
3．比较大小：（1）cos 15°________cos 35°；
（2）cos________cos.
二、合作探究
1．用“五点法”作余弦型函数的图像
【例1】用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0,2π]的简图．
[思路探究]在[0,2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．
[解]列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图
2．求余弦型函数的单调区间
【例2】求函数y＝cos的单调递减区间．
[思路探究]本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝cos化为y＝cos形式，故只需求y＝cos的单调递减区间即可．
[解]y＝cos＝cos，
令z＝x－，则y＝cos z，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝cos的单调递减区间为2kπ＋，2kπ＋π，k∈Z.
3.有关三角函数的最值问题
【例3】已知函数y1＝a－bcos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．
[思路探究]欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解．
[解]∵函数y1的最大值是，最小值是－，
当b>0时，由题意得∴
当b<0时，由题意得∴
因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x.
函数的最大值均为2．
4.正、余弦函数的对称性
[探究问题]
观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？
[提示]正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．
正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？
[提示]正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)，(k∈Z)，其对称轴方程为x＝＋kπ，(k∈Z)．
余弦曲线的对称中心坐标为，(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ，(k∈Z)．
如何求y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？
[提示]只需令ωx＋φ＝kπ＋即可求得其对称中心的横坐标．
令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程．
【例4】已知函数y＝2cos.
（1）在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
（2）把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值．
[解]（1）令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－(k∈Z)．
令k＝0，x＝－；
令k＝1，x＝.
∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
（2）设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cos＝2cos.
∵y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称，
∴f(0)＝2cos＝0.
∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.
解得φ＝－(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.
∴φ的最小正值是.
【学习小结】
1．余弦函数的图像
把正弦函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度就得到余弦函数y＝cos x的图像，该图像叫做余弦曲线．
2．余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，递增；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与
最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
3．余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
【精炼反馈】
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
D [∵T＝＝，∴ω＝4．]
2．函数y＝sin是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
B [∵y＝sin＝sin
＝sin＝cos x，∴函数y＝sin是偶函数．]
3．函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是________．
[0，π] [y＝cos(－x)＝cos x，其单调递减区间为[0，π]．]
4．用五点法作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
[解] 列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点连线，如图．
正切函数的性质与图像
【学习目标】
1．能画出y＝tan x的图像，借助图像理解正切函数在区间上的性质．
2．掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．
【学习重难点】
掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期．
【学习过程】
一、初试身手
1．函数y＝－3tan x＋7的值域是( )
A．R
B．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
C．(0，＋∞)
D．(k∈Z)
2．y＝tan定义域为________．
3．函数y＝tan的单调增区间为________．
二、合作探究
1．正切函数的定义域、值域问题
【例1】（1）函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域是________．
（2）函数y＝tan(sin x)的值域为________．
（3）求函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈的值域．
[思路探究]（1）列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
（2）利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域．
（3）换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
[提示]（1）要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则
即－1≤tan x<1．
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.
（2）因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]?，
所以y＝tan x在[－1,1]上是增函数，
因此tan(－1)≤tan x≤tan 1，
即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．
（3）解：令t＝tan x，
∵x∈，∴t＝tan x∈[－，)，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，
∴t＝1时，取最大值6，
t＝－时，取最小值2－2，
∴函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈时的值域为[2－2，6]．
2．正切函数的奇偶性、周期性
【例2】（1）函数y＝4tan的周期为________．
（2）判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝tan＋tan.
[思路探究]（1）可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．
（2）可按定义法的步骤判断．
[提示]（1） [由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝.]
（2）①由
得f(x)的定义域为
，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
②函数定义域为
，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
3．正切函数的单调性
[探究问题]
正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
[提示]不是．函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的．正切函数的图像被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x1正切函数的定义域能写成，(k∈Z)吗？为什么？
[提示]不能．因为正切函数的定义域是，它表示x是不等于＋kπ(k∈Z)的全体实数，而(k∈Z)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集．
【例3】（1）求函数y＝tan的单调区间；
（2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
[思路探究]（1）可先令y＝－tan，从而把x－整体代入，k∈Z这个区间内解出x便可．
（2）可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan x在上的单调性判断大小关系．
[解]（1）y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无增区间．
（2）∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2【学习小结】
1．正切函数的图像
（1）正切函数的图像：
y＝tan x的图像如图．
（2）正切函数的图像叫做正切曲线．
（3）正切函数的图像特征：
正切曲线是由通过点(k∈Z)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
2．正切函数的性质
（1）函数y＝tan x的图像与性质表：
解析式
y＝tan x
图像
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间k∈Z内都是增函数
（2）函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是.
【精炼反馈】
1．函数y＝tan x的值域是( )
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
B [根据函数的单调性可得．]
2．直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B．
C． D．
C [直线y＝3与函数y＝tan ωx的图像的相邻交点间的距离为y＝tan ωx的周期，故距离为.]
3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
[由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．
故定义域为，
且f＝tan＝.]
4．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
(k∈Z) [因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)．]
5．求下列函数的定义域：
（1）y＝；
（2）y＝lg(－tan x)．
[解] （1）要使函数y＝有意义，需使
所以函数的定义域为
.
（2）要使函数有意义，则－tan x>0，所以tan x<.
又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图像(图略)，
得kπ－已知三角函数值求角
学习目标
核心素养
1．掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角。（难点）
2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角。（重点）
通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．下列说法中错误的是（ ）。
A．arcsin＝－ B．arcsin 0＝0
C．arcsin（－1）＝π D．arcsin 1＝
2．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝（ ）。
A． B．
C．或 D．或
3．已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________。
二、合作探究
类型一：已知正弦值求角
【例1】已知sin x＝。
（1）当x∈时，求x的取值集合；
（2）当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
（3）当x ∈ R时，求x的取值集合。
[思路探究]尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解。
类型二：已知余弦值求角
【例2】已知cos x＝－，
（1）当x∈[0，π]时，求值x；
（2）当x ∈ R时，求x的取值集合。
[思路探究]解答本题可先求出定义arccos a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合。
类型三：已知正切值求角
【例3】已知tan α＝－3．
（1）若α∈，求角α；
（2）若α∈R，求角α。
[思路探究]尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解。
三、学习小结
1．已知正弦值，求角
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y（y∈[－1，1]），那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝
arcsin_y。
2．已知余弦值，求角
对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y（y∈[－1，1]），那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y（其中－1≤y≤1，0≤x≤π）。
3．已知正切值，求角
一般地，如果y＝tan x（y ∈ R）且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan_y。
四、精炼反馈
1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝（ ）。
A． B．
C． D．
2．函数y＝＋π－arccos（2x－3）的定义域是________。
3．等腰三角形的一个底角为α，且sin α＝，用含符号arcsin x的关系式表示顶角β＝________。
4．求值：。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】C
【解析】根据已知正弦值求角的定义知arcsin（－1）＝－，故C项错误。
2．【答案】D因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），当sin α＝时，α＝或，故选D。
3．【答案】或
【解析】∵x∈[0，π]
∴2x∈[0，2π]。
∵tan 2x＝－，
∴2x＝或2x＝，
∴x＝或。
二、合作探究
例1．【答案】（1）∵y＝sin x在上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴是所求集合。
（2）∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin＝，
∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝π，
∴x的取值集合为。
（3）当x ∈ R时，x的取值集合为
。
例2．【解】（1）∵cos x＝－且x∈[0，π]，
∴x＝arccos。
（2）当x ∈ R时，先求出x在[0，2π]上的解。
∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角。
由（1）知x＝arccos是第二象限角，
又cos
＝cos＝－，
且2π－arccos∈，
所以，由余弦函数的周期性知，
当x＝arccos＋2kπ或
x＝2π－arccos＋2kπ（k ∈ Z）时，
cos x＝－，即所求x值的集合是
。
例3．【解】（1）由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan（－3）。
（2）α＝kπ＋arctan（－3）（k ∈ Z）。
四、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】因为x∈（π，2π）且cos x＝－，∴x＝。
2．【答案】
【解析】由题意可得，
解得1≤x≤，所以函数的定义域为。
3．【答案】π－2arcsin
【解析】由题意，α∈，又sin α＝，
所以<α<，<2α<，<π－2α<，
所以β＝π－2arcsin。
4．【答案】∵arcsin＝，arccos＝，
arctan（－）＝－，
∴原式＝＝1．
