人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.4 数学建模活动：周期现象的描述 教案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.4 数学建模活动：周期现象的描述 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 132.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-20 18:12:23 | ||
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文档简介
数学建模活动：周期现象的描述
教学目标 核心素养
1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题。（重点） 2．实际问题抽象为三角函数模型。（难点） 1．通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养。 2．借助实际问题求解，提升数学运算素养。
【教学过程】
一、情境导入
由图片及诗词引入钱塘江大潮，介绍钱塘江大潮是世界三大潮涌之一，通过小学课文《观潮》及视频感受钱塘江大潮的壮观。提出问题——如何描述潮汐变化，初步了解数学建模过程。
二、合作探究
例：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报。
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确0.001 m）。
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4 h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？
解析：（1）以时间x（单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图1）。根据图像，可以考虑用函数y＝A·sin（ωx＋φ）＋h刻画水深与时间之间的对应关系。从数据和图像可以得出：
A＝2．5，h＝5，T＝12．4，φ＝0；
由T＝＝12．4，得ω＝。
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝2．5sinx＋5近似描述。
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表）：
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00
水深/m 5．000 6．213 7．122 7．497 7．245 6．428
时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00
水深/m 4．497 5．748 6．812 7．420 7．420 6．812
时刻 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
水深/m 5．253 4．014 3．023 2．529 2．656 3．372
时刻 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00
水深/m 5．748 4．497 3．372 2．656 2．529 3．023
（2）货船需要的安全水深为4＋1．5＝5．5m，所以当y≥5．5时就可以进港。令
2．5sinx＋5＝5．5，sin·x＝0.2．
由计算器可得
0.2013579208≈0.2014．
如图2，在区间[0，12]内，函数y＝2．5sinx＋5的图像与直线y＝5．5有两个交点A，B，因此x≈0.2014，或π－x≈0.2014。
解得xA≈0.3975，xB≈5．8025．
由函数的周期性易得：
xC≈12．4＋0.3975＝12．7975，
xD≈12．4＋5．8025＝18．2025．
因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港。每次可以在港口停留5小时左右。
（3）设在xh时货船的安全水深为ym，那么y＝5．5－0.3（x－2）（x≥2）。在同一直角坐标系内画出这两个函数的图像，可以看到在6～8时之间两个函数图像有一个交点（图3）。
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为（7．016，3．995），因此为了安全，货船最好在6．6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域。
观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据画出散点图，如图1．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝A·sin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深。根据数据可以确定A，ω，φ，h的值。
[规律方法]
解三角函数应用问题的基本步骤：
提醒：关注实际意义求准定义域。
三、课堂小结
1．曲线y＝A·sin（ωx＋φ）的应用实质上是物理方面的知识。所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行。
2．解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价。
（1）构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题。
（2）对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念和解三角形知识解决问题。
四、当堂达标
1．思考辨析
（1）函数y＝|sinx＋|的周期为π。（ ）
（2）一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s，振幅为5cm，则该振子在2s内通过的路程为50cm。（ ）
（3）电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为A。（ ）
提示：（1）错误。函数y＝|sinx＋|的周期为2π。
（2）错误。一个周期通过路程为20cm，所以2s内通过的路程为20×＝100（cm）。
（3）正确。
答案：（1）×（2）×（3）√
2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动。已知它们在时间t（s）离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由s1＝5sin，s2＝10cos2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是（ ）。
A．s1＞s2
B．s1＜s2
C．s1＝s2
D．不能确定
答案：C。
解析：当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，
当t＝时，s2＝10cos＝10×＝－5，
故s1＝s2．
3．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm。
答案：。
解析：由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝。
4．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化。
（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式；（其中t以年初以来的月为计量单位）
（2）估计当年3月1日动物种群数量。
解：（1）设种群数量y关于t的解析式为y＝A·sin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0），
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×（6－0）＝12，
∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin（π＋φ）＝1，∴sin φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
（2）当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750。
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教学目标 核心素养
1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题。（重点） 2．实际问题抽象为三角函数模型。（难点） 1．通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养。 2．借助实际问题求解，提升数学运算素养。
【教学过程】
一、情境导入
由图片及诗词引入钱塘江大潮，介绍钱塘江大潮是世界三大潮涌之一，通过小学课文《观潮》及视频感受钱塘江大潮的壮观。提出问题——如何描述潮汐变化，初步了解数学建模过程。
二、合作探究
例：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报。
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确0.001 m）。
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4 h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？
解析：（1）以时间x（单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图1）。根据图像，可以考虑用函数y＝A·sin（ωx＋φ）＋h刻画水深与时间之间的对应关系。从数据和图像可以得出：
A＝2．5，h＝5，T＝12．4，φ＝0；
由T＝＝12．4，得ω＝。
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝2．5sinx＋5近似描述。
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表）：
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00
水深/m 5．000 6．213 7．122 7．497 7．245 6．428
时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00
水深/m 4．497 5．748 6．812 7．420 7．420 6．812
时刻 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
水深/m 5．253 4．014 3．023 2．529 2．656 3．372
时刻 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00
水深/m 5．748 4．497 3．372 2．656 2．529 3．023
（2）货船需要的安全水深为4＋1．5＝5．5m，所以当y≥5．5时就可以进港。令
2．5sinx＋5＝5．5，sin·x＝0.2．
由计算器可得
0.2013579208≈0.2014．
如图2，在区间[0，12]内，函数y＝2．5sinx＋5的图像与直线y＝5．5有两个交点A，B，因此x≈0.2014，或π－x≈0.2014。
解得xA≈0.3975，xB≈5．8025．
由函数的周期性易得：
xC≈12．4＋0.3975＝12．7975，
xD≈12．4＋5．8025＝18．2025．
因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港。每次可以在港口停留5小时左右。
（3）设在xh时货船的安全水深为ym，那么y＝5．5－0.3（x－2）（x≥2）。在同一直角坐标系内画出这两个函数的图像，可以看到在6～8时之间两个函数图像有一个交点（图3）。
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为（7．016，3．995），因此为了安全，货船最好在6．6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域。
观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据画出散点图，如图1．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝A·sin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深。根据数据可以确定A，ω，φ，h的值。
[规律方法]
解三角函数应用问题的基本步骤：
提醒：关注实际意义求准定义域。
三、课堂小结
1．曲线y＝A·sin（ωx＋φ）的应用实质上是物理方面的知识。所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行。
2．解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价。
（1）构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题。
（2）对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念和解三角形知识解决问题。
四、当堂达标
1．思考辨析
（1）函数y＝|sinx＋|的周期为π。（ ）
（2）一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s，振幅为5cm，则该振子在2s内通过的路程为50cm。（ ）
（3）电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为A。（ ）
提示：（1）错误。函数y＝|sinx＋|的周期为2π。
（2）错误。一个周期通过路程为20cm，所以2s内通过的路程为20×＝100（cm）。
（3）正确。
答案：（1）×（2）×（3）√
2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动。已知它们在时间t（s）离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由s1＝5sin，s2＝10cos2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是（ ）。
A．s1＞s2
B．s1＜s2
C．s1＝s2
D．不能确定
答案：C。
解析：当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，
当t＝时，s2＝10cos＝10×＝－5，
故s1＝s2．
3．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm。
答案：。
解析：由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝。
4．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化。
（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式；（其中t以年初以来的月为计量单位）
（2）估计当年3月1日动物种群数量。
解：（1）设种群数量y关于t的解析式为y＝A·sin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0），
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×（6－0）＝12，
∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin（π＋φ）＝1，∴sin φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
（2）当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750。
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