向量数量积的概念
教学目标
核心素养
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（难点）
2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系。（重点）
3．掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。（重点）
1．通过向量的夹角、向量数量积概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养。
2．通过向量数量积的应用，培养学生的数学运算核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功。如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s|·m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W=|F||s|cos θ。
（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？
（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由。
二、新知探究
1．与向量数量积有关的概念
【例1】（1）以下四种说法中正确的是________。（填序号）
①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；
③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；
④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2
（2）已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影的数量为________，b在a方向上的投影的数量为________。
（3）已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________。
思路探究：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答。
（1）③④；（2）－；－4；（3）8；[（1）由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ（θ为向量a，b的夹角）。
①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；
②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；
③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；
④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确。
（2）设a与b的夹角为θ，则有
a·b＝|a|·|b|·cos θ＝－12，
所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cos θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|·cos θ＝＝＝－4．
（3）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
因为AB＝AC，
所以BD＝BC＝2，
于是||cos ∠ABC＝||
＝||＝×4＝2，
所以·＝||||cos ∠ABC＝4×2＝8．
[教师小结]
（一）在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写。
（二）求平面向量数量积的方法：
（1）若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ。
（2）若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b。
2．数量积的基本运算
【例2】已知|a|＝4，|b|＝5，当（1）a ∥ b；（2）a ⊥ b；（3）a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积。
思路探究：（1）当a ∥ b时，a与b夹角可能为0°或180°。（2）当a ⊥ b时，a与b夹角为90°。（3）若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b|·cos θ（θ为a，b夹角）求值。
解：设向量a与b的夹角为θ，
（1）a ∥ b时，有两种情况：
①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|，cos 0°＝20；
②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|·cos 180°＝－20.
（2）当a ⊥ b时，θ＝90°，
∴a·b＝0。
（3）当a与b夹角为135°时，
a·b＝|a||b|·cos 135°＝－10。
[教师小结]
（1）求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|·cos θ。
（2）非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|。
3．与向量模有关的问题
【例3】已知x＝1是方程x2＋|a|·x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a与b的夹角为120°。求向量b的模。
解：因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2，
将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉
＝2|b|cos 120°＝－3，所以|b|＝3。
1．（变结论）本例题设条件不变，求b在a方向上的射影的数量。
解：由例题解析可知|b|＝3．
因为|b|·cos〈a，b〉＝3×cos120°＝－。
所以b在a方向上的射影的数量为－。
2．（变条件）将本例中“a与b的夹角θ为120°”改为“|a·b|＝3”。如何求a与b的夹角θ？
解：易求|a|＝2，|b|＝3。
因为a·b＝|a||b|·cos θ，
所以|a·b|＝|a||b||cos θ|＝3，
所以|cos θ|＝，故cos θ＝±。
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝或。
[教师小结]
（1）此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系。
（2）利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化。
4．平面向量数量积的性质
[探究问题]
（1）设a与b都是非零向量，若a ⊥ b，则a·b等于多少？反之成立吗？
提示：a ⊥ b?a·b＝0.
（2）当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
提示：当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝。
（3）|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
提示：|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cos θ。
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|。
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，cos θ＝。
【例4】 已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
思路探究：由条件计算a·b，当c ⊥ d时，c·d＝0列方程求解m。
解：由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3．
由c ⊥ d，知c·d＝0，
即c·d＝（3a＋5b）·（ma－3b）＝3ma2＋（5m－9）a·b－15b2＝27m＋3（5m－9）－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直。
[教师小结]
（1）已知非零向量a，b，若a ⊥ b，则a·b＝0，反之也成立。
（2）设a与b夹角为θ，利用公式cos θ＝可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π]。
三、课堂总结
1．对投影的三点诠释
（1）a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积。其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的。
（2）b在a方向上的投影为|b|·cos θ（θ是a与b的夹角），也可以写成。
（3）投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零。
2．向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c
向量a，b，c
a≠0，a·b＝0?b＝0
a≠0，a·b＝0?/ b＝0
a·b＝b·c（b≠0）?a＝c
a·b＝b·c（b≠0）?/ a＝c
|a·b|＝|a|·|b|
|a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律
不满足乘法结合律
四、课堂检测
1．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是（ ）。
A．－25 B．25
C．－24 D．24
【答案】A
【解析】因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2，
所以∠ABC＝90°，所以原式＝·＋·（＋）＝0＋·＝－2＝－25．]
2．（2019·全国卷Ⅰ）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设a与b的夹角为α，∵（a－b）⊥b，∴（a－b）·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|·cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B。
3．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影的数量为－2，则a与e的夹角为________。
【答案】120°
【解析】因为a在e方向上的射影为－2，
即|a|·cos〈a，e〉＝－2，所以cos〈a，e〉＝＝－，
又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°。]
4．已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a方向上的投影的数量。
【答案】设a，b的夹角为θ，
则b在a方向上的投影的数量就是|b|·cos θ，
因为|a||b|·cos θ＝a·b＝20，
所以|b|·cos θ＝＝＝4，
即b在a方向上的投影的数量是4。
向量数量积的运算律
【教学目标】
1．通过经历探究过程，掌握向量数量积的运算律及其几何意义，特别是分配律的几何意义：两个向量和的投影等于各向量投影的和。
2．通过向量运算律的探究，会用运算律证明简单的几何问题。
3．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力。
【教学重难点】
1．重点：向量数量积的运算律及应用。
2．难点：向量数量积分配律的验证。
【教学过程】
一、复习导入
师：我们上节课学习了数量积的定义和性质，相信大家对于向量的运算已经从向量加减扩充到了向量乘法，也就是数量积。上节课的内容掌握的怎么样？考考大家。向量a与b的数量积定义是什么？
生：。
（学生读错，再次纠正，强调数量积为点乘，不能读成乘。）
师：几何意义？
生：既可以表示b向量在a向量方向的投影的数量乘a向量的模长，也可以表示a向量在b向量投影的长数量乘b向量的模长。（不让生上台写，节约导入时间）
（实际课堂上，学生还描述了应该如何做出投影：从b点向a作垂线，OC就是b的投影的数量，反之，从A点向b作垂线，与OB的延长线相交与D，OD就是向量a的投影的数量。）
师：数量积的性质有哪些？
生：
（学生对于第五条的读法不太准确，强调左右两边的含义）
二、新知探究
师：看来同学们对数量积的定义、性质掌握的很扎实。上节课我们还做了简单的运算，其实只要研究运算，就要研究运算律。运算律是我们的老朋友了，你们知道哪些运算律？
生：交换律、结合律、分配律。（板书）
师：都在什么范围内学过？
生：实数范围内，向量加法、数乘向量
师：那么数量积中有没有运算律？
生：应该有。
师：确实有，所以我们这节课的目标就是掌握平面向量数量积的运算律及应用。
师：实数乘法中的交换律内容是什么？
生：
师：如果将其中所有的实数都换成向量，等式还成立么？
生：成立，将左右两边的数量积定义写出来，左右相等。
师：实数分配律的内容是什么？
生：
师：换成向量后还成立么？
生：和向量在c方向上的投影的数量等于a和b两个向量在c方向上的投影的数量之和。
（学生很容易想到利用图形来理解，但是课堂上学生容易搞错投影相同与等式相同的区别，课上需要加以区别。）
师：数量积的结合律成立吗？
生：不成立，左边是m个c向量，右边师n个a向量，如果a、c都是0向量等式成立，否则不成立。
师：所以数量积不满足结合律。实数还有消去律，数量积满足么？
师：上面我们都是利用定义来证明，消去律可不可以用定义证明呢？
利用定义结合图形，b在a上的投影的数量与c在a上的投影的数量相同即可。画图分析有无数种。
师：所以数量积没有结合律和消去律。
师：现在我们来总结一下数量积到底有哪些运算律？
生：有交换律、分配律、数乘结合律，没有结合律和消去律，还有三个结论。
师：在我们学习实数的运算律的时候，还用运算律推导了几个重要的公式，给我们带来了很大的方便，比如说完全平方式和平方差公式，如果数量积的运算律也能推出常用公式会不会也给我们带来很大方便？这两个公式到底成不成立呢？（生说一说，老师用课件打出来）
师：我们来验证这两个结论对不对？
师：怎么验证？像多项式一样展开试试。
（两向量的和点乘两向量的和，学生很容易错读成乘法，需要强调一下。）
接下来学生自己验证。
师：以上内容是我们这节课的所有重点内容，内容比较多，所以送给大家一个小技巧，减轻大家的记忆负担，三能两不三结论。谁懂我？
生：三个运算律成立，两个不成立，三个结论成立。
师：俗话说“光说不练假把式”，做几个题。
第一类：求数量积。
（学生基本上都能做出来，不过很多学生依然忘记写点乘。）
师：这个题目用到了哪些运算律？
生：分配律、交换律、数乘结合律
师：数乘结合律方才验证结论的时候没用到，这是第一次用，要注意。
第二类：求模长
（大部分学生能够想到先求平方，有一位学生先求的向量a与向量b 的数量积，这一步又利于接下来直接代入，值得所有学生能够学习。本题还容易出错的地方是等式左边是模长，右边是忘记开方，或者反过来，需要强调易错点。）
第三类：夹角和垂直问题
学生基本上都是见垂直求内积，一步步推出夹角余弦，课上时引导学生也可以从问题入手，求什么想什么，逐步倒推到条件。
师：数量积的妙用还在于第四类题型证明题。比如菱形的对角线垂直。
师：总结一下本题有什么规律。将要求的问题转化成已知的几个向量来做，题目求对角线垂直，但是题目给了向量a、b，并且二者的长度相同，所以将两条对角线转化成关于a、b的来做。
师：类似的题目还有证明直径所对的圆周角为直角，证明勾股定理。感兴趣的同学课下自己证明。
师：数量积一直是高考的热点，同学们也比较膜拜高考题，所以我们来体验高考，17年的湖南卷比较典型的一道题目，很多地方用它来改编题目。
师：第二道。
（给学生思考时间，有很多学生能够做出来）
师：我们总结一下这两道题目，高考题并不一定难，他需要从问题出发，从庞大的数量积的知识体系当中抽取对本题有用的知识将问题中的未知量转化成条件中的已知量来解决问题。
师：本节课学习这么多内容，下面来总结一下：
师：课前有学生问我，学运算律干什么呀，现在我可以回答你们了。没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！而这无穷的力量都需要本节课所学的运算律的推动。
师：记一下这节课的作业。
师：这节课上到这，下课。
向量数量积的坐标运算
教学目标
核心素养
1．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算。（重点）
2．能运用数量积表示两个向量的夹角。计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系。（难点）
通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
我们已经学习了向量数量积的概念以及平面向量线性运算的坐标运算方法，那么向量的数量积能不能进行坐标运算呢？如果可以又遵循怎样的运算法则呢？
这节课就让我们来学习——向量数量积的坐标运算。
二、新知探究
1．平面向量数量积的坐标运算
【例1】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，x），且a·b＝－1，则x的值等于（ ）。
A． B．－
C． D．－
（2）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝________，a·(a－b)＝________。
（3）已知a＝（2，－1），b＝（3，2），若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________。
思路探究：根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程（组）来进行求解。
答案：（1）D；（2）1；4；（3）。[（1）因为a＝（1，2），b＝（2，x），所以a·b＝（1，2）·（2，x）＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－。
（2）a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，
a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4．
（3）设c＝（x，y），因为a·c＝2，b·c＝5，
所以解得所以c＝。]
[教师小结]
（1）进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a；（a＋b）（a－b）＝|a|2－|b|2；
（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．
（2）通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系。
（3）向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充。
2．向量的模的问题
【例2】（1）设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a ∥ b，则|2a－b|等于（ ）。
A．4 B．5
C．3 D．4
（2）已知向量a＝（1，2），b＝（－3，2），则|a＋b|＝________，|a－b|＝________。
[思路探究]（1）两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0。
（2）已知a＝（x，y），则|a|＝。
【答案】（1）D；（2）2；4。
【解析】（1）由a ∥ b，得y＋4＝0，
y＝－4，b＝（－2，－4），
∴2a－b＝（4，8），∴|2a－b|＝4。故选D．
（2）由题意知，a＋b＝（－2，4），a－b＝（4，0），
因此|a＋b|＝2，|a－b|＝4．
[教师小结]向量模的问题的解题策略：
（1）字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算。
（2）坐标表示下的运算，若a＝（x，y），则|a|＝。
3．向量的夹角与垂直问题
[探究问题]
（1）设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
【提示】cos θ＝＝。
（2）已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？
【提示】∵a＝（1，－1），b＝（λ，1），
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1．
∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1．
∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）。
【例3】（1）已知向量a＝（2，1），b＝（1，k），且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是（ ）。
A．（－2，＋∞） B．∪
C．（－∞，－2） D．（－2，2）
（2）已知a＝（3，4），b＝（2，－1），且（a＋mb）⊥（a－b），则实数m为何值？
思路探究：（1）可利用a，b夹角为锐角?求解。
（2）可利用两非零向量a ⊥ b?a·b＝0来求m。
【答案】（1）B。
【解析】当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向。由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B。
（2）解：a＋m·b＝（3＋2m，4－m），a－b＝（1，5），因为（a＋m·b）⊥（a－b），所以（a＋m·b）·（a－b）＝0，
即（3＋2m）×1＋（4－m）×5＝0，所以m＝。
[教师小结]
（一）利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：
（1）求向量的数量积。利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积。
（2）求模。利用|a|＝计算两向量的模。
（3）求夹角余弦值。由公式cos θ＝求夹角余弦值。
（4）求角。由向量夹角的范围及cos θ求θ的值。
（二）涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a ⊥ b?a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决。
三、课堂总结
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
（1）向量内积的坐标运算：
已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a·b＝a1b1＋a2b2．
（2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：
设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a ⊥ b?a1b1＋a2b2＝0。
2．向量的长度、距离和夹角公式
（1）向量的长度：
已知a＝（a1，a2），则|a|＝。
（2）两点间的距离：
如果A（x1，y1），B（x2，y2），则
||＝。
（3）两向量的夹角：
设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则cos〈a，b〉＝。
四、课堂检测
1．（2019·全国卷Ⅱ）已知向量a＝（2，3），b＝（3，2），则|a－b|＝（ ）
A． B．2
C．5 D．50
【答案】A。
【解析】∵a－b＝（2，3）－（3，2）＝（－1，1），
∴|a－b|＝＝，故选A。
2．若a＝（3，－1），b＝（x，－2），且〈a，b〉＝，则x等于（ ）。
A．1 B．－1
C．4 D．－4
【答案】A
【解析】∵a·b＝|a|·|b|·cos ，
∴3x＋2＝××，
解得x＝1或x＝－4．
又∵3x＋2>0，∴x>－，故x＝1．
3．设a＝（x，x＋1），b＝（1，2）且a ⊥ b，则x＝________。
【答案】－
【解析】∵a ⊥ b，
∴a·b＝0。
即x＋2（x＋1）＝0，解，得x＝－．
4．已知向量a＝（3，－1），b＝（1，－2），
求：（1）a·b；（2）（a＋b）2；（3）（a＋b）·（a－b）。
【答案】（1）因为a＝（3，－1），b＝（1，－2），
所以a·b＝3×1＋（－1）×（－2）＝3＋2＝5．
（2）a＋b＝（3，－1）＋（1，－2）＝（4，－3），
所以（a＋b）2＝|a＋b|2＝42＋（－3）2＝25．
（3）a＋b＝（3，－1）＋（1，－2）＝（4，－3），
a－b＝（3，－1）－（1，－2）＝（2，1），
（a＋b）·（a－b）＝（4，－3）·（2，1）＝8－3＝5．
