向量数量积的概念
学习目标
核心素养
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（难点）
2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系。（重点）3．掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。（重点）
1．通过向量的夹角、向量数量积概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养。
2．通过向量数量积的应用，培养学生的数学运算核心素养。
【学习过程】
一、新知初探
1．向量的夹角
定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角。
范围
0°≤θ≤180°
特例
θ＝0°
a与b同向
θ＝180°
a与b反向
θ＝90°
a与b垂直，记作a ⊥ b，规定零向量可与任一向量垂直
2．向量的数量积
向量在轴上的投影。已知向量a和轴l，如图。
（1）投影的概念：作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的投影（简称射影）；
（2）投影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量。＝a在轴l上投影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a| cos θ。
3．平面向量数量积的定义
|a||b| cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积，记作|a||b| cos〈a，b〉。
4．数量积的性质
（1）若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a| cos〈a·e〉。
思考1：向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
【提示】向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别。
（2）若a ⊥ b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥ b，通常记作a⊥ b?a·b＝0.
思考2：a·b＝0与ab＝0的区别是什么？
【提示】（1）意义和表达方式不同。
a·b表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”。
（2）推出的结果不同。由a·b＝0可推出以下四种可能
①a＝0，b＝0，②a＝0，b≠0，③a≠0，b＝0，④a≠0，b≠0，但a ⊥ B．而ab＝0可推出a与b中至少有一个为0.
（3）|a|＝。
（4）cos θ＝。（|a|·|b|≠0）
（5）对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|。当且仅当a ∥ b 时等号成立。
二、初试身手
1．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为（ ）。
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是（ ）。
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
3．如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________。
三、合作探究
类型一：与向量数量积有关的概念
【例1】（1）以下四种说法中正确的是________。（填序号）
①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；
③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；
④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2
（2）已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影的数量为________，b在a方向上的投影的数量为________。
（3）已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________。
[思路探究]根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答。
类型二：数量积的基本运算
【例2】已知|a|＝4，|b|＝5，当（1）a ∥ b；（2）a ⊥ b；（3）a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积。
[思路探究]（1）当a ∥ b时，a与b夹角可能为0°或180°。（2）当a ⊥ b时，a与b夹角为90°。（3）若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b| cos θ（θ为a，b夹角）求值。
类型三：与向量模有关的问题
【例3】已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a与b的夹角为120°。求向量b的模。
1．（变结论）本例题设条件不变，求b在a方向上的射影的数量。
【解】由例题解析可知|b|＝3．
因为|b| cos〈a，b〉＝3×cos 120°＝－。
所以b在a方向上的射影的数量为－。
2．（变条件）将本例中“a与b的夹角θ为120°”改为“|a·b|＝3”。如何求a与b的夹角θ？
【解】易求|a|＝2，|b|＝3．
因为a·b＝|a||b| cos θ，
所以|a·b|＝|a||b||cos θ|＝3，
所以|cos θ|＝，故cos θ＝±。
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝或。
类型四：平面向量数量积的性质
[探究问题]
1．设a与b都是非零向量，若a ⊥ b，则a·b等于多少？反之成立吗？
【提示】a⊥ b?a·b＝0.
2．当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
【提示】当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝。
3．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
【提示】|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ。
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|。
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，cos θ＝。
【例4】已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
[思路探究]由条件计算a·b，当c ⊥ d时，c·d＝0列方程求解m。
四、精炼反馈
1．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是（ ）。
A．－25 B．25
C．－24 D．24
2．（2019·全国卷Ⅰ）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为（ ）。
A．
B．
C．
D．
3．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影的数量为－2，则a与e的夹角为________。
4．已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a方向上的投影的数量。
答案解析
二、初试身手
1．【答案】D
【解析】向量a在b方向上的投影为|a| cos θ＝3×cos ＝。故选D。
2．【答案】C
【解析】在△ABC中，因为b·a＝0，所以b ⊥ a，故△ABC为直角三角形。
3．【答案】互补
【解析】根据向量夹角定义可知向量，夹角为∠BAC，而向量，夹角为π－∠BAC，故二者互补。
三、合作探究
例1．【答案】（1）③④；
（2）－；－4；
（3）8
【解析】（1）由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ（θ为向量a，b的夹角）。
①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；
②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；
③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；
④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确。
（2）设a与b的夹角为θ，则有
a·b＝|a|·|b| cos θ＝－12，
所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cos θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|·cos θ＝＝＝－4．
（3）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
因为AB＝AC，
所以BD＝BC＝2，
于是||cos ∠ABC＝||
＝||＝×4＝2，
所以·＝||||cos ∠ABC＝4×2＝8。
例2．【答案】设向量a与b的夹角为θ，
（1）a∥ b时，有两种情况：
①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|，cos 0°＝20；
②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b| cos 180°＝－20.
（2）当a ⊥ b时，θ＝90°，
∴a·b＝0.
（3）当a与b夹角为135°时，
a·b＝|a||b| cos 135°＝－10。
例3．【答案】因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2，
将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b| cos 〈a，b〉
＝2|b|cos 120°＝－3，所以|b|＝3．
例4．【答案】由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3．
由c ⊥ d，知c·d＝0，
即c·d＝（3a＋5b）·（ma－3b）＝3ma2＋（5m－9）a·b－15b2＝27m＋3（5m－9）－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直。
即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有cos θ＝－。]
四、精炼反馈
1．【答案】A
【解析】因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2，
所以∠ABC＝90°，所以原式＝·＋·（＋）＝0＋·＝－2＝－25．
2．【答案】B
【解析】设a与b的夹角为α，∵（a－b）⊥b，∴（a－b）·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝。故选B．
3．【答案】120°
【解析】因为a在e方向上的射影为－2，
即|a| cos〈a，e〉＝－2，所以cos〈a，e〉＝＝－，
又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°。]
4．【答案】设a，b的夹角为θ，
则b在a方向上的投影的数量就是|b| cos θ，
因为|a||b| cos θ＝a·b＝20，
所以|b| cos θ＝＝＝4，
即b在a方向上的投影的数量是4。
向量数量积的运算律
【学习目标】
掌握并且能够熟练运用向量数量积的运算律。
【学习重难点】
1．重点：向量数量积的运算律及应用。
2．难点：向量数量积分配律的验证。
【学习过程】
一、新知导学
1．交换律：?=___________；
2．数乘结合律：（）?=___________=___________；
3．分配律：（+）?=______________________。
说明：（1）一般地，（·）≠（·）；
（2）·＝·，≠＝
（3）有如下常用性质：2＝｜｜2；（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·
（＋）2＝2＋2·＋2．
二、预习自测
1．若=，则对任一向量，有?=0（ ）。
2．若(，则对任一非零向量，有?(0.
3．若(，?=0，则=（ ）。
4．若?=0，则 、至少有一个为零（ ）。
5．若(，?=?，则=（ ）。
6．若? =?，则=当且仅当(时成立（ ）。
7．对任意向量、、，有（?）?(?（?）（ ）。
8．对任意向量，有2 = ||2（ ）。
三、典例分析
例1．已知：｜｜＝3，｜｜＝6，当①∥，②⊥，
③与的夹角是60°时，分别求·。
例2．已知、都是非零向量，且+3与7(5垂直，(4与7(2垂直，
求与的夹角
跟进练习：
1．已知||=1，| |=，且（-）与垂直，则与的夹角是（ ）。
A．60° B．30° C．135° D．45°
2．已知||=2，| |=1， 与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（ ）。
A．2 B． C．6 D．12
例3．求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
跟进练习：
3．若，且在单位向量方向上的投影为，则与夹角为（ ）。
4．若，且，则（ ）。
C．在方向上的投影等于在方向上的投影
当堂检测：
1．已知||=6，| |=4， 与的夹角为60°，则（+2）·（-3）等于（ ）。
A．72 B．-72 C．36 D．-36
2．已知||=3，| |=4，且与b的夹角为150°，则（+）2＝___________。
3．已知｜｜＝2，｜｜＝5，·＝－3，则｜－｜=___________。
4．已知｜｜＝8，｜｜＝10，｜＋｜＝16，求与b的夹角θ。
向量数量积的坐标运算
学习目标
核心素养
1．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算。（重点）
2．能运用数量积表示两个向量的夹角。计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系。（难点）
通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养
【学习过程】
一、初试身手
1．已知a＝（1，－1），b＝（2，3），则a·b＝（ ）。
A．5 B．4
C．－2 D．－1
2．（2019·全国卷Ⅲ）已知向量a＝（2，2），b＝（－8，6），则cos〈a，b〉＝________。
3．已知a＝（3，x），|a|＝5，则x＝________。
二、合作探究
类型一：平面向量数量积的坐标运算
【例1】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，x），且a·b＝－1，则x的值等于（ ）。
A． B．－
C． D．－
（2）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝________，a·（a－b）＝________。
（3）已知a＝（2，－1），b＝（3，2），若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________。
[思路探究]根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程（组）来进行求解。
类型二：向量的模的问题
【例2】（1）设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a ∥ b，则|2a－b|等于（ ）。
A．4 B．5
C．3 D．4
（2）已知向量a＝（1，2），b＝（－3，2），则|a＋b|＝________，|a－b|＝________。
[思路探究]（1）两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.
（2）已知a＝（x，y），则|a|＝。
类型三：向量的夹角与垂直问题
【探究问题】
1．设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
【提示】cos θ＝＝。
2．已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？
【提示】∵a＝（1，－1），b＝（λ，1），
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1．
∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1．
∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）。
【例3】（1）已知向量a＝（2，1），b＝（1，k），且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是（ ）。
A．（－2，＋∞） B．∪
C．（－∞，－2） D．（－2，2）
（2）已知a＝（3，4），b＝（2，－1），且（a＋m·b）⊥（a－b），则实数m为何值？
[思路探究]（1）可利用a，b夹角为锐角?求解。
（2）可利用两非零向量a ⊥ b?a·b＝0来求m。
三、学习小结
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
（1）向量内积的坐标运算：
已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a·b＝a1b1＋a2b2．
（2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：
设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a ⊥ b?a1b1＋a2b2＝0.
2．向量的长度、距离和夹角公式
（1）向量的长度：
已知a＝（a1，a2），则|a|＝。
（2）两点间的距离：
如果A（x1，y1），B（x2，y2），则
||＝。
（3）两向量的夹角：
设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则cos〈a，b〉＝。
四、精炼反馈
1．（2019·全国卷Ⅱ）已知向量a＝（2，3），b＝（3，2），则|a－b|＝（ ）。
A． B．2
C．5 D．50
2．若a＝（3，－1），b＝（x，－2），且〈a，b〉＝，则x等于（ ）。
A．1 B．－1
C．4 D．－4
3．设a＝（x，x＋1），b＝（1，2）且a ⊥ b，则x＝________。
4．已知向量a＝（3，－1），b＝（1，－2），
求：（1）a·b；
（2）（a＋b）2；
（3）（a＋b）·（a－b）。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】D
【解析】a·b＝（1，－1）·（2，3）＝1×2＋（－1）×3＝－1．
2．【答案】－
【解析】∵a＝（2，2），b＝（－8，6），
∴a·b＝2×（－8）＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－。
3．【答案】±4
【解析】|a|＝＝5，∴x2＝16．即x＝±4．
二、合作探究
例1．【答案】（1）D
（2）1 4
（3）
【解析】（1）因为a＝（1，2），b＝（2，x），所以a·b＝（1，2）·（2，x）＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－。
（2）a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，
a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4．
（3）设c＝（x，y），因为a·c＝2，b·c＝5，
所以解得所以c＝
例2．【答案】（1）D
（2）2 4
【解析】（1）由a ∥ b，得y＋4＝0，
y＝－4，b＝（－2，－4），
∴2a－b＝（4，8），∴|2a－b|＝4。故选D．
（2）由题意知，a＋b＝（－2，4），a－b＝（4，0），
因此|a＋b|＝2，|a－b|＝4．
例3：【答案】（1）B
【解析】当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向。由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B．
（2）解：a＋m·b＝（3＋2m，4－m），a－b＝（1，5），因为（a＋m·b）⊥（a－b），所以（a＋m·b）·（a－b）＝0，
即（3＋2m）×1＋（4－m）×5＝0，所以m＝。
四、精炼反馈
1．【答案】A
【解析】∵a－b＝（2，3）－（3，2）＝（－1，1），
∴|a－b|＝＝。故选A．
2．【答案】A
【解析】∵a·b＝|a|·|b|·cos ，
∴3x＋2＝××，
解得x＝1或x＝－4．
又∵3x＋2>0，∴x>－，故x＝1．
3．【答案】－
【解析】∵a ⊥ b，
∴a·b＝0.
即x＋2（x＋1）＝0.
解得x＝－．
4．【答案】（1）因为a＝（3，－1），b＝（1，－2），
所以a·b＝3×1＋（－1）×（－2）＝3＋2＝5．
（2）a＋b＝（3，－1）＋（1，－2）＝（4，－3），
所以（a＋b）2＝|a＋b|2＝42＋（－3）2＝25．
（3）a＋b＝（3，－1）＋（1，－2）＝（4，－3），
a－b＝（3，－1）－（1，－2）＝（2，1），
（a＋b）·（a－b）＝（4，－3）·（2，1）＝8－3＝5．
