两角和与差的余弦
教学目标
核心素养
1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。（难点）
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式。（重点）
3．能利用两角和与差的余弦公式化简、求值。（重点）
1．通过两角和与差余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养。
2．借助两角和与差余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
（1）我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出cos15°的值呢？
（2）一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出cos（α-β）的值？
二、新知探究
1．利用两角和与差的余弦公式化简求值
【例1】（1）cos 345°的值等于（ ）。
A． B．
C． D．－
（2）化简下列各式：
①cos（θ＋21°）cos（θ－24°）＋sin（θ＋21°）sin（θ－24°）；
②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°。
思路探究：利用诱导公式，两角差的余弦公式求解。
（1）C；[cos 345°＝cos（360°－15°）
＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝。]
（2）解：①原式＝cos[θ＋21°－（θ－24°）]
＝cos 45°＝，所以原式＝；
②原式＝－sin（180°－13°）sin（180°＋43°）＋sin（180°＋77°）·sin（360°－47°）
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos（13°－43°）＝cos（－30°）＝。
[教师小结]
（一）在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。
（二）在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：
（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值。
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值。
2．给值（式）求值
【例2】（1）已知cos α＝，α∈，则cosα－＝________。
（2）α，β为锐角，cos（α＋β）＝，cos（2α＋β）＝，求cos α的值。
思路探究：（1）可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos；
（2）可考虑拆角，即α＝（2α＋β）－（α＋β）来求cos α。
答案：（1）；[因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×＝。]
（2）解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π。
又因为cos（α＋β）＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π。
又因为cos（2α＋β）＝，所以0<2α＋β<，
所以sin（α＋β）＝，sin（2α＋β）＝，
所以cos α＝cos[（2α＋β）－（α＋β）]
＝cos（2α＋β）·cos（α＋β）＋sin（2α＋β）·sin（α＋β）
＝×＋×＝。
[教师小结]
给值求值的解题步骤：
(1(找角的差异。已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异。
(2(拆角与凑角。根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换。常见角的变换有：
α＝(α＋β(－β，α＝β－(β－α(，α＝(2α－β(－(α－β(，
α＝[(α＋β(＋(α－β(]，α＝[(β＋α(－(β－α(]等。
(3(求解。结合公式Cα±β求解便可。
3．已知三角函数值求角
【例3】已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值。
[探究：本题可先求出cos（α－β）的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值。
解：∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×
＝。
又sin α
∴0<α<β<，
∴－<α－β<0.
故α－β＝－。
[教师小结]
（一）这类问题的求解，关键环节有两点：
（1）求出所求角的某种三角函数值；（2）确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解。
（二）确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定。
4．利用角的变换求三角函数值
[探究问题]
（1）若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
提示：cos α＝cos[（α＋β）－β]
＝cos（α＋β）cos β＋sin（α＋β）sin β。
（2）利用α－（α－β）＝β可得cos β等于什么？
提示：cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）。
（3）若cos α－cos β＝a，sin α－sin β＝b，则cos（α－β）等于什么？
提示：cos（α－β）＝。
【例4】若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos的值为（ ）。
A． B．－
C． D．－
思路探究：利用角的交换求解，α＋＝－。
答案：C。[∵0<α<，－<β<0，
∴<α＋<，<－<，
又∵cos＝，cos＝，
∴sin＝，sin＝，
∴cos＝cos
＝cos·cos＋sin·sin
＝×＋×＝，故选C。]
[教师小结]巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角。主要针对已知某些角的三角函数值，求（或证明）另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察。常见的“变角”有：①单角变为和（差）角，如α＝(α－β(＋β，β＝－等；②倍角化为和（差）角，如2α＝(α＋β(＋(α－β(等等。
三、课堂总结
两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β。
Cα－β：cos（α－β）＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β。
对公式C（α－β）和C（α＋β）的三点说明
（1）公式的结构特点：公式的左边是差（和）角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和（差）式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”。
（2）公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β。
（3）公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用，而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如cos（α－β）－cos α·cos β＝sinα·sin β。
②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[（α＋β）－β]等。
四、课堂检测
1．下列式子中，正确的个数为（ ）。
①cos（α－β）＝cos α－cos β；②cos＝sin α；
③cos（α－β）＝cos αcos β－sin αsin β。
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：A。[由cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ＝－sin α，故②错误，故选A。]
2．已知锐角α，β满足cos α＝，cos（α＋β）＝－，则cos β等于（ ）。
A． B．－
C． D．－
答案：A。[因为α，β为锐角，cos α＝，cos（α＋β）＝－，所以sin α＝，sin（α＋β）＝，所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）·cos α＋sin（α＋β）·sin α＝－×＋×
＝，故选A。]
3．sin 75°＝________。
答案：[sin 75°＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝×＋×＝。]
4．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin（α＋β）＝，求cos β的值。
解：∵α，β都是锐角且cos α＝<，
∴<α<，
又sin（α＋β）＝>，
∴<α＋β<π，
∴cos（α＋β）＝－＝－， sin α＝＝，
∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－×＋×＝。
两角和与差的正弦、正切
【第一课时】
【教学目标】
1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．
2．能利用公式解决简单的化简求值问题．
【教学重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【教学过程】
一、问题导入
怎样借助30°，45°的三角函数值求出sin75°，sin15°的值？
二、新知探究
1．利用公式化简求值
【例1】（1）＝( )
A．－ B．－
C． D．
（2）求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；
（3）求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值．
[思路探究]（1）化简求值应注意公式的逆用．
（2）（3）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
（1）C [
＝
＝
＝＝sin 30°＝.]
（2）解：原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°
＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1．
（3）sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)·
cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
【教师小结】
（一）对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去，求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
（二）在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
2．给值(式)求值
【例2】设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
[思路探究]应用公式?注意角的范围?求出所给角的正弦值．
[解]因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
1．(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．
[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1．
2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？
[解] 因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝.
因为β为第三象限，所以cos β＝－.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0.
【教师小结】
（1）当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
（3）角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
3．辅助角公式的应用
[探究问题]
（1）函数y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？
[提示] 不对．因为sin x＋cos x
＝
＝＝sin，
所以函数的最大值为.
（2）函数y＝3sin x＋4cos x的最大值等于多少？
[提示] 因为y＝3sin x＋4cos x
＝5，
令cos φ＝，sin φ＝，
则y＝5(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝5sin(x＋φ)，
所以函数y的最大值为5．
（3）如何推导asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)公式？
[提示] asin x＋bcos x
＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则
asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定，或由sin φ＝和cos φ＝共同确定)．
【例3】设函数f(x)＝sin x＋sin.
（1）求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
（2）不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到．
[思路探究]辅助角公式?转化成“一角一函数”的形式?将所给函数展开与合并．
[解]（1）f(x)＝sin x＋sin xcos ＋cos xsin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x
＝＝sin ，
当sin ＝－1时，f(x)min＝－，
此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的最小值为－，x的集合为
.
（2）将y＝sin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图像；
然后将y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin的图像.
【母题探究】
(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？
[解] 由本例解析知函数可化为f(x)＝sin，
当2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数为增函数；
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数为减函数．
所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，
函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
三、课堂总结
1．两角和与差的正弦公式的结构特点
(1)公式中的α，β均为任意角．
(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．
(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
2．两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
3．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.
四、课堂检测
1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [∵cos α＝－，α为第三象限角，∴sin α＝－，由两角和的正弦公式得sin ＝sin αcos ＋cos α·sin ＝×＋×＝－.]
2．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．
C．[－1,1] D．
B [f(x)＝sin x－cos
＝sin x－cos x＋sin x
＝sin x－cos x＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
故选B．]
3．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________.
[原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝
sin(25°＋35°)＝sin 60°＝.]
4．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，∴α－β＝－.
【第二课时】
【教学目标】
1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．
【教学重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【教学过程】
一、问题导入
怎样借助30°，45°的三角函数值求出tan75°，tan15°的值？
二、新知探究
1．利用公式化简求值
【例1】求下列各式的值：
（1）tan 15°；（2）；
（3）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如（1）)及公式的逆用(如（2）)与活用(如（3）)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．
[解]（1）tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝＝2－.
（2）＝
＝
＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1．
（3）∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
【教师小结】
（1）公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
（2）一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
2．条件求值(角)问题
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
（1）求tan(α＋β)的值；（2）求α＋2β的值．
[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．
[解]由条件得
cos α＝，cos β＝，
∵α，β为锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴tan α＝7，tan β＝.
（1）tan(α＋β)＝＝＝－3．
（2）tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
【教师小结】
（一）通过先求角的某个三角函数值来求角．
（二）选取函数时，应遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
（三）给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
3．公式的变形应用
[探究问题]
（1）判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．
（2）在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？
[提示]根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C．
【例3】已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．
[思路探究]→→
→.
[解]由tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)
＝＝＝－.
而0°＜A＜180°，
∴A＝120°.
由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝，
而0°＜C＜180°，
∴C＝30°，
∴B＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－tan Btan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？
[解] 由tan A＝tan [π－(B＋C)]
＝－tan (B＋C)＝
＝＝.
又0°由tan C＝tan [π－(A＋B)]
＝＝＝.
又0°所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形．
【教师小结】
公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用
1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，
如＝tan ；
＝tan .
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
三、课堂总结
1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征
(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
2．两角和与差的正切公式的变形
变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；
tan α tan β＝1－等.
四、课堂检测
1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan＝( )
A． B．－
C．5 D．－5
A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝，故tan＝＝＝，选A．]
2．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于( )
A． B．1
C． D．
B [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1．]
3．计算＝________.
1 [＝
＝tan 45°＝1．]
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan的值．
[解] ∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝＝
＝.
倍角公式
教学目标
核心素养
1．理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系。（重点）
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。（难点）
1．通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养。
2．借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
前面我们已经学习了三角函数的和差公式，你能根据前面学过的内容，写出由α的三角函数值求出sin2α，cos2α，tan2α的一般公式吗？
二、新知探究
1．利用二倍角公式化简求值
【例1】化简求值。
（1）cos4 －sin4 ；
（2）sin ·cos ·cos ；
（3）1－2sin2 750°；
（4）tan 150°＋。
思路探究：灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得。
解：（1）cos4 －sin4
＝
＝cos α。
（2）原式＝cos
＝sin cos ＝
＝sin ＝，
∴原式＝。
（3）原式＝cos（2×750°）＝cos 1500°
＝cos（4×360°＋60°）＝cos 60°＝，
∴原式＝。
（4）原式＝
＝＝
＝＝
＝－＝－，
∴原式＝－。
[教师小结]二倍角公式的灵活运用：
（1）公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现。主要形式有：
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos α＝，cos2 α－sin2 α＝cos 2α，＝tan 2α。
（2）公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式。主要形式有：
1±sin 2α＝sin2 α＋cos2 α±2sin αcos α＝（sin α±cos α）2，1＋cos 2α＝2cos2 α，cos2 α＝，sin2 α＝。
2．利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】（1）已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为（ ）。
A．2 B．－2
C． D．－
（2）已知sin＝，则cos的值等于（ ）。
A． B．
C．－ D．－
（3）已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈。
①求sin 2α的值；②求cos（2α＋β）的值。
思路探究：（1）可先求tan α，再求tan 2α；
（2）可利用π－2α＝2求值；
（3）可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos（2α＋β）。
答案：（1）D；（2）C
[（1）因为sin α＝3cos α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝＝＝－。
（2）因为cos＝sin＝sin＝，
所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－。]
（3）解：①因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝。
②因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos 2α＝2cos2 α－1＝2×－1＝，
所以cos（2α＋β）＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－。
[教师小结]
直接应用二倍角公式求值的三种类型：
（1）sin α（或cos α）cos α（或sin α）sin 2α（或cos 2α）。
（2）sin α（或cos α）cos 2α＝1－2sin2 α（或2cos2 α－1）。
（3）sin α（或cos α）
3．利用二倍角公式证明
【例3】求证：＝sin 2α。
思路探究：可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边。
证明：法一：
左边＝
＝
＝
＝
＝sin ·cos ·cos α＝sin α·cos α＝sin 2α＝右边。
∴原式成立。
法二：左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边。
[教师小结]
证明问题的原则及一般步骤：
（1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想。
（2）证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的。
4．倍角公式的灵活运用
[探究问题]
（1）在化简＋时，如何灵活使用倍角公式？
提示：在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成的倍角，可能会有另一种思路，
原式＝＋＝＋＝＝。
（2）如何求函数f（x）＝2cos2x－1－2sin x·cos x（x∈R）的最小正周期？
提示：求函数f（x）的最小正周期，可由f（x）＝（2cos2x－1）－（2sin x·cos x）＝cos 2x－sin 2x＝2sin，知其最小正周期为π。
【例4】求函数f（x）＝5cos2x＋sin2x－4sin x·cos x，x∈的最小值，并求其单调减区间。
思路探究：→→
→
解：f（x）＝5·＋－2sin 2x
＝3＋2cos 2x－2sin 2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin，
∵≤x≤，∴≤2x－≤，
∴sin∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
f（x）取最小值为3－2。
因为y＝sin在上单调递增，
所以f（x）在上单调递减。
[教师小结]本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质。解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝A·sin(ωx＋φ(的形式，再利用函数的图像解决问题。
三、课堂总结
1．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sinα·cosα。
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
T2α：tan 2α＝。
2．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝（n ∈ N*）。
3．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛。常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2 α；②cos2 α＝；③1－cos 2α＝2sin2 α；④sin2α＝。
四、课堂检测
1．（2019·全国卷Ⅱ）已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝（ ）。
A．
B．
C．
D．
答案：B。[由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos2α。
∵α∈，∴2sin α＝cos α。又∵sin2 α＋cos2 α＝1，
∴sin2 α＝。又α∈，∴sin α＝。
故选B。]
2．的值为（ ）。
A．－ B．－
C． D．
答案：D。[原式＝cos2－sin2＝cos ＝。]
3．已知tan α＝－，则＝________。
答案：－。[＝
＝＝tan α－＝－。]
4．求下列各式的值：
（1）cos ·cos ；
（2）－cos2。
解：（1）原式＝＝＝＝＝。
（2）原式＝＝－＝－cos ＝－。
