首页
高中语文
高中数学
高中英语
高中物理
高中化学
高中历史
高中道德与法治(政治)
高中地理
高中生物
高中音乐
高中美术
高中体育
高中信息技术
高中通用技术
资源详情
高中数学
人教B版(2019)
必修 第三册
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.2 三角恒等变换
本节综合与测试
人教B版(2019)数学必修(第三册):8.2 三角恒等变换 学案(含答案)(4份打包)
文档属性
名称
人教B版(2019)数学必修(第三册):8.2 三角恒等变换 学案(含答案)(4份打包)
格式
zip
文件大小
96.4KB
资源类型
教案
版本资源
人教B版(2019)
科目
数学
更新时间
2020-02-20 19:24:06
点击下载
文档简介
两角和与差的余弦
学习目标
核心素养
1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。(难点)
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式。(重点)
3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值。(重点)
1.通过两角和与差余弦公式的推导,培养学生逻辑推理核心素养。
2.借助两角和与差余弦公式的应用,培养学生的数学运算核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1.cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°的值为( )。
A. B.
C. D.
2.化简cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β为( )。
A.sin(2α+β) B、Cos(2α-β)
C.cos α D.cos β
3.cos(-40°)cos20°-sin(-40°)sin(-20°)=________。
二、合作探究
类型一:利用两角和与差的余弦公式化简求值
【例1】(1)cos 345°的值等于( )。
A. B.
C. D.
(2)化简下列各式:
①cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);
②-sin 167°·sin 223°+sin 257°·sin 313°。
[思路探究]利用诱导公式,两角差的余弦公式求解。
类型二:给值(式)求值
【例2】(1)已知cos α=,α∈,则cosα-=________。
(2)α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,求cos α的值。
[思路探究](1)可先求得sin α,再用两角差的余弦公式求cos;
(2)可考虑拆角即α=(2α+β)-(α+β)来求cos α。
类型三:已知三角函数值求角
【例3】已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β的值。
[思路探究]本题可先求出cos(α-β)的值,结合α-β的范围,再求出α-β的值。
类型四:利用角的变换求三角函数值
[探究问题]
1.若已知α+β和β的三角函数值,如何求cos α的值?
【提示】cos α=cos【(α+β)-β】
=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β。
2.利用α-(α-β)=β可得cos β等于什么?
【提示】cos β=cos【α-(α-β)】=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)。
3.若cos α-cos β=a,sin α-sin β=b,则cos(α-β)等于什么?
【提示】cos(α-β)=。
【例4】若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos的值为( )
A. B.-
C. D.-
[思路探究]利用角的交换求解,α+=-。
三、学习小结
两角和与差的余弦公式
Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。
Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。
四、精炼反馈
1.下列式子中,正确的个数为( )。
①cos(α-β)=cos α-cos β;②cos =sin α;
③cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β。
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos β等于( )。
A. B.-
C. D.-
3.sin 75°=________。
4.设α,β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,求cos β的值。
答案解析
一、初试身手
1.【答案】A
【解析】原式=cos(22°+38°)=cos 60°=。]
2.【答案】C
【解析】原式=cos[(α+β)-β]=cos α。
3.【答案】
【解析】原式=cos(-40°)cos(-20°)-sin (-40°)sin(-20°)=cos[-40°+(-20°)]=cos(-60°)=cos60°=。
二、合作探究
例1.【答案】(1)C
(2)解:①原式=cos[θ+21°-(θ-24°)]
=cos 45°=,所以原式=;
②原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)·sin(360°-47°)=sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47°
=sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43°
=cos(13°-43°)=cos(-30°)=。
【解析】(1)cos 345°=cos(360°-15°)
=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
=。
例2.【答案】(1)
(2)解:因为α,β为锐角,所以0<α+β<π。
又因为cos(α+β)=,所以0<α+β<,所以0<2α+β<π。
又因为cos(2α+β)=,所以0<2α+β<,
所以sin(α+β)=,sin(2α+β)=,
所以cos α=cos[(2α+β)-(α+β)]
=cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β)·sin(α+β)
=×+×=。
【解析】(1)因为cos α=,α∈,
所以sin α=-,
所以cos=cos αcos +sin αsin
=×+×=。
例3.【答案】∵α,β均为锐角,cos α=,cos β=,
∴sin α=,sin β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=×+×
=。
又sin α
∴0<α<β<,
∴-<α-β<0.
故α-β=-。
例4.【答案】C
【解析】∵0<α<,-<β<0,
∴<α+<,<-<,
又∵cos=,cos=,
∴sin=,sin=,
∴cos=cos
=cos cos+sin sin
=×+×=。故选C.
四、精炼反馈
1.【答案】A
【解析】由cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β知①③错误,cos =-sin α,故②错误,故选A。
2.【答案】A
【解析】因为α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,
所以sin α=,sin(α+β)=,
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)·sin α
=-×+×=。故选A.
3.【答案】
【解析】sin 75°=cos 15°
=cos(45°-30°)
=cos 45°·cos 30°+sin 45°·sin 30°
=×+×
=。
4.【答案】∵α,β都是锐角且cos α=<,
∴<α<,
又sin(α+β)=>,
∴<α+β<π,
∴cos(α+β)=-=-,
sin α==,
∴cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×=。
两角和与差的正弦、正切
【第一学时】
【学习目标】
1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.
2.能利用公式解决简单的化简求值问题.
【学习重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【学习过程】
一、初试身手
1.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值为( )
A. B.
C. D.以上都不对
2.函数y=sin x-cos x的最小正周期是( )
A. B.π
C.2π D.4π
3.已知α为锐角,sin α=,β是第四象限角,cos(π+β)=-,则sin(α+β)=________.
二、合作探究
1.利用公式化简求值
【例1】(1)=( )
A.- B.-
C. D.
(2)求sin 157°cos 67°+cos 23°sin 67°的值;
(3)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值.
[思路探究](1)化简求值应注意公式的逆用.
(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.
(1)C [
=
=
==sin 30°=.]
(2)解:原式=sin(180°-23°)cos 67°+cos 23°sin 67°
=sin 23°cos 67°+cos 23°sin 67°=sin(23°+67°)=sin 90°=1.
(3)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)
=sin(θ+15°+60°)+cos(θ+15°+30°)-cos(θ+15°)
=sin(θ+15°)cos 60°+cos(θ+15°)sin 60°+cos(θ+15°)·
cos 30°-sin(θ+15°)sin 30°-cos(θ+15°)
=sin(θ+15°)+cos(θ+15°)+cos(θ+15°)-sin(θ+15°)-cos(θ+15°)=0.
2.给值(式)求值
【例2】设α∈,β∈,若cos α=-,sin β=-,求sin(α+β)的值.
[思路探究]应用公式?注意角的范围?求出所给角的正弦值.
[解]因为α∈,cos α=-,所以sin α=,因为β∈,sin β=-,所以cos β=.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
1.(变结论)若条件不变,试求sin(α-β)+cos(α-β)的值.
[解] sin(α-β)+cos(α-β)=sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=×-×+×+×=---=-1.
2.(变条件)若将角β的条件改为第三象限,其他条件不变,则结果如何?
[解] 因为α∈,cos α=-,所以sin α=.
因为β为第三象限,所以cos β=-.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=-+=0.
3.辅助角公式的应用
[探究问题]
(1)函数y=sin x+cos x(x∈Z)的最大值为2对吗?为什么?
[提示] 不对.因为sin x+cos x
=
==sin,
所以函数的最大值为.
(2)函数y=3sin x+4cos x的最大值等于多少?
[提示] 因为y=3sin x+4cos x
=5,
令cos φ=,sin φ=,
则y=5(sin xcos φ+cos xsin φ)=5sin(x+φ),
所以函数y的最大值为5.
(3)如何推导asin x+bcos x=sin(x+φ)公式?
[提示] asin x+bcos x
=,
令cos φ=,sin φ=,则
asin x+bcos x=(sin xcos φ+cos xsin φ)
=sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tan φ=确定,或由sin φ=和cos φ=共同确定).
【例3】设函数f(x)=sin x+sin.
(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;
(2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到.
[思路探究]辅助角公式?转化成“一角一函数”的形式?将所给函数展开与合并.
[解](1)f(x)=sin x+sin xcos +cos xsin =sin x+sin x+cos x=sin x+cos x
==sin ,
当sin =-1时,f(x)min=-,
此时x+=+2kπ(k∈Z),所以x=+2kπ(k∈Z).
所以f(x)的最小值为-,x的集合为
.
(2)将y=sin x的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得y=sin x的图象;
然后将y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得f(x)=sin的图象.
【母题探究】
(变结论)例题中的条件不变,试求函数f(x)的单调区间?
[解] 由本例解析知函数可化为f(x)=sin,
当2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
即2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z)时,函数为增函数;
当2kπ+≤x+≤2kπ+,
即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)时,函数为减函数.
所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z),
函数f(x)的单调减区间为(k∈Z).
【学习小结】
1.两角和与差的正弦公式
(1)Sα+β:sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β.
(2)Sα-β:sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β.
2.辅助角公式
y=asin x+bcos x=sin(x+θ)(a,b不同时为0),其中cos θ=,sin θ=.
【精炼反馈】
1.若cos α=-,α是第三象限的角,则sin=( )
A.- B.
C.- D.
A [∵cos α=-,α为第三象限角,∴sin α=-,由两角和的正弦公式得sin =sin αcos +cos α·sin =×+×=-.]
2.函数f(x)=sin x-cos的值域为( )
A.[-2,2] B.
C.[-1,1] D.
B [f(x)=sin x-cos
=sin x-cos x+sin x
=sin x-cos x=sin,
所以函数f(x)的值域为[-,].
故选B.]
3.sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=________.
[原式=sin 25°cos 35°+cos 25°sin 35°=
sin(25°+35°)=sin 60°=.]
4.已知α,β均为锐角,sin α=,cos β=,求α-β.
[解] ∵α,β均为锐角,sin α=,cos β=,
∴sin β=,cos α=.
∵sin α
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×=-,∴α-β=-.
【第二学时】
【学习目标】
1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用,能利用公式进行简单的求值、化简等.
【学习重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【学习过程】
一、初试身手
1.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°=( )
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
2.=( )
A.- B.
C.- D.
3.设tan α=,tan β=,且角α,β为锐角,则α+β的值是_________.
二、合作探究
1.利用公式化简求值
【例1】求下列各式的值:
(1)tan 15°;(2);
(3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3)),通过适当的变形变为可以使用公式的形式,从而达到化简或求值的目的.
[解](1)tan 15°=tan(45°-30°)
====2-.
(2)=
=
=tan(30°-75°)=tan(-45°)=-tan 45°=-1.
(3)∵tan(23°+37°)=tan 60°==,
∴tan 23°+tan 37°=(1-tan 23°tan 37°),
∴原式=(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°=.
2.条件求值(角)问题
【例2】如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.
[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α,cos β,再求sin α,sin β,从而求出tan α,tan β,然后利用Tα+β求tan(α+β),最后利用α+2β=(α+β)+β,求tan(α+2β)进而得到α+2β的值.
[解]由条件得
cos α=,cos β=,
∵α,β为锐角,
∴sin α=,sin β=,
∴tan α=7,tan β=.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]
===-1,
∵α,β为锐角,∴0<α+2β<,∴α+2β=.
3.公式的变形应用
[探究问题]
(1)判断三角形的形状时,都有哪些特殊三角形?
[提示]根据三角形的边角关系,常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等.
(2)在△ABC中,tan(A+B)与tan C有何关系?
[提示]根据三角形内角和定理可得A+B+C=π,
∴A+B=π-C,
∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C.
【例3】已知△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B+1=tan Atan B,判断△ABC的形状.
[思路探究]→→
→.
[解]由tan A=tan[π-(B+C)]
=-tan(B+C)
===-.
而0°<A<180°,
∴A=120°.
由tan C=tan[π-(A+B)]=
==,
而0°<C<180°,
∴C=30°,
∴B=30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
(变条件)例题中把条件改为“tan B+tan C-tan Btan C=-,且tan A+tan B+1=tan Atan B”,结果如何?
[解] 由tan A=tan [π-(B+C)]
=-tan (B+C)=
==.
又0°
由tan C=tan [π-(A+B)]
===.
又0°
所以C=60°,所以B=60°.
所以△ABC是等边三角形.
【学习小结】
1.两角和的正切公式
Tα+β:tan(α+β)= .
2.两角差的正切公式
Tα-β:tan(α-β)= .
【精炼反馈】
1.设角θ的终边过点(2,3),则tan=( )
A. B.-
C.5 D.-5
A [由于角θ的终边过点(2,3),因此tan θ=,故tan===,选A.]
2.tan 10°tan 20°+(tan 10°+tan 20°)等于( )
A. B.1
C. D.
B [原式=tan 10°tan 20°+tan 30°(1-tan 10°tan 20°)=tan 10°tan 20°+1-tan 10°tan 20°=1.]
3.计算=________.
1 [=
=tan 45°=1.]
4.已知tan(α+β)=,tan=,求tan的值.
[解] ∵α+=(α+β)-,
∴tan=tan
==
=.
倍角公式
学习目标
核心素养
1.理解二倍角公式的推导过程,知道倍角公式与和角公式之间的内在联系。(重点)
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换。(难点)
1.通过倍角公式的推导,培养学生的逻辑推理核心素养。
2.借助倍角公式的应用,提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1.sin 15°sin 75°的值为( )。
A. B.
C. D.
2.计算1-2sin222.5°的结果为( )。
A. B.
C. D.
3.已知cos α=,则cos 2α等于________。
二、合作探究
【例1】化简求值。
(1)cos4 -sin4 ;
(2)sin ·cos ·cos ;
(3)1-2sin2 750°;
(4)tan 150°+。
[思路探究]灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项,然后求得。
类型二:利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】(1)已知sin α=3cos α,那么tan 2α的值为( )。
A.2 B.-2
C. D.-
(2)已知sin=,则cos的值等于( )。
A. B.
C.- D.-
(3)已知cos α=-,sin β=,α是第三象限角,β∈。
①求sin 2α的值;②求cos(2α+β)的值。
[思路探究](1)可先求tan α,再求tan 2α;
(2)可利用π-2α=2求值;
(3)可先求sin 2α,cos 2α,cos β,再利用两角和的余弦公式求cos(2α+β)。
类型三:利用二倍角公式证明
【例3】求证:=sin 2α。
[思路探究]可先化简左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边。
类型四:倍角公式的灵活运用
[探究问题]
1.在化简+时,如何灵活使用倍角公式?、
【提示】在化简时,如果只是从α的关系去整理,化简可能感觉无从下手,但如果将α看成的倍角,可能会有另一种思路,
原式=+
=+==。
2.如何求函数f(x)=2cos2x-1-2sin xcos x(x∈R)的最小正周期?
【提示】求函数f(x)的最小正周期,可由f(x)=(2cos2x-1)-(2sin xcos x)=cos 2x-sin 2x=2sin,知其最小正周期为π。
【例4】求函数f(x)=5cos2x+sin2x-4sin xcos x,x∈的最小值,并求其单调减区间。
[思路探究]→
→→
三、学习小结
二倍角公式
S2α:sin 2α=2sin_αcos_α 。
C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 。
T2α:tan 2α= 。
四、精炼反馈
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )。
A.
B.
C.
D.
2.的值为( )。
A.- B.-
C. D.
3.已知tan α=-,则=________。
4.求下列各式的值:
(1)cos cos ;
(2)-cos2。
答案解析
一、初试身手
1.【答案】B
【解析】原式=sin 15°cos 15°=sin 30°=。
2.【答案】B
【解析】1-2sin222.5°=cos 45°=。
3.【答案】-
【解析】由cos α=,得cos 2α=2cos2α-1=2×2-1=-。
二、合作探究
例1.【答案】(1)cos4 -sin4
=
=cos α。
(2)原式=cos
=sin cos =
=sin =,
∴原式=。
(3)原式=cos(2×750°)=cos 1500°
=cos(4×360°+60°)=cos 60°=,
∴原式=。
(4)原式=
==
==
=-=-,
∴原式=-。
例2.【答案】(1)D
(2)C
【解析】(1)因为sin α=3cos α,
所以tan α=3,
所以tan 2α===-。
(2)因为cos=sin=sin=,
所以cos=2cos2-1=2×-1=-。]
(3)解:①因为α是第三象限角,cos α=-,
所以sin α=-=-,
所以sin 2α=2sin αcos α
=2××=。
②因为β∈,sin β=,
所以cos β=-=-,
cos 2α=2cos2 α-1=2×-1=,
所以cos(2α+β)=cos 2αcos β-sin 2αsin β=×-×=-。
例3.【答案】证明:法一:左边==
==
=sin cos cos α=sin αcos α=sin 2α=右边。
∴原式成立。
法二:左边==cos2α·=
cos2α·tan α=cos αsin α=sin 2α=右边。
例4.【答案】f(x)=5·+-2sin 2x
=3+2cos 2x-2sin 2x
=3+4
=3+4
=3+4sin=3-4sin,
∵≤x≤,∴≤2x-≤,
∴sin∈,
所以当2x-=,即x=时,
f(x)取最小值为3-2。
因为y=sin在上单调递增,
所以f(x)在上单调递减。
四、精炼反馈
1.【答案】B
【解析】由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin α·cos α=2cos2α。
∵α∈,∴2sin α=cos α。又∵sin2 α+cos2 α=1,
∴sin2 α=。又α∈,∴sin α=。
故选B.
2.【答案】D
【解析】原式=cos2-sin2=cos =。
3.【答案】-
【解析】=
==tan α-=-。
4.【答案】(1)原式=
====。
(2)原式==-=-cos =-。
点击下载
同课章节目录
第七章 三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制
7.2 任意角的三角函数
7.3 三角函数的性质与图像
7.4 数学建模活动:周期现象的描述
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积
8.2 三角恒等变换
点击下载
VIP下载