1.3.2 线段的垂直平分线课件

(共15张PPT)
数学北师大版

八年级
1.3线段的垂直平分线第二课时
例：证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.
求证：O点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AO，BO，CO．
∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线 段两个端点的距离相等)．
同理OB=OC．∴OA=OC．
∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O









C

B

A

O




定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).






A
B
C
P







a
b
c

文字语言
这是一个证明三条直线交于一点的证明根据。
议一议
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
已知：三角形的一条边a和这边上的高h
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h
这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．











1

A

D

C

B

A

a

h









( )

D

C

B

A

a

h

1

A










D

C

B

A

a

h

1

A
议一议
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?











例2已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC 于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形




N

M

D


C

B

a

h

A

解：如图，连接AD. ∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴AD＝BD. 设BD＝x，则AD＝x，CD＝4－x. 在Rt△ACD中，∵AC＝3，CD＝4－x，AD＝x， ∴AC2＋CD2＝AD2，即32＋(4－x)2＝x2，
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，求BD的长．
解得x＝ ，

即BD＝
练习














2．如图，已知AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是15 cm，求AB和AC的长．










3．在△ABC中，∠BAC＝140°，BC＝12，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，求∠EAF的度数和△AEF的周长．
解：∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F， ∴AE＝BE，AF＝CF， ∴△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝BE＋EF＋CF＝BC＝12. ∵△ABC中，∠BAC＝140°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝40°. ∵AE＝BE，AF＝CF，∴∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C， ∴∠BAE＋∠CAF＝∠B＋∠C＝40°， ∴∠EAF＝∠BAC－(∠BAE＋∠CAF)＝100°.
















定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
本节小结
1.已知:如图,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.
求证: ∠CAF= ∠B.




A
B
C
D
E
F
?
1
2
3
4
证明:∵ EF垂直平分AD(已知)
∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理)
∴∠1+ ∠2= ∠4(等边对等角)
又∵∠4=∠B+∠3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∵ AD平分∠BAC(已知) ∴∠ 2=∠3(角平分线的定义)
∴∠1+ ∠2=∠B+∠3
∴∠1=∠B
∴∠CAF= ∠B.
课外作业
2. 如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P，PD⊥AB于点D.
(1)过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE；
(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长．
解：(1)∵PQ是BC边的垂直平分线，∴PB＝PC，∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠DAP＝∠EAP，∠PDA＝∠PEA＝90°，AP＝AP，∴△PAD≌△PAE(AAS)，∴PD＝PE，在Rt△BPD和Rt△CPE中，PD＝PE，PB＝PC，∴Rt△BPD≌Rt△CPE(HL)，∴BD＝CE (2)由(1)知△PAD≌△PAE，∴AD＝AE，∴AD＋6＝10－AD，解得AD＝2 cm




















3. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC
于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交
于点O，△ADE的周长为6 cm.
(1)求BC的长；
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16 cm，求OA的长．
解：(1)∵l1，l2分别是线段AB，AC的垂直平分线，∴AD＝BD，AE＝CE，∴AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC，∵△ADE的周长为6 cm，即AD＋DE＋AE＝6 cm，∴BC＝6 cm
(2)∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA＝OC＝OB，∵△OBC的周长为16 cm，即OC＋OB＋BC＝16，∴OC＋OB＝16－6＝10(cm)，∴OC＝5 cm，∴OA＝OC＝OB＝5 cm

















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