人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理中的数学思想专题学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理中的数学思想专题学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 346.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-20 14:18:30 | ||
图片预览
文档简介
人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理中的数学思想
《勾股定理》是欧氏几何中的瑰宝。在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。下面举例说明。
1. 整体思想
例1 如图1，已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
图1
分析：若要直接求出a与b的值，要用二次方程求解较繁。但由联想到运用整体思想（将ab视为一个整体），问题便可顺利获解。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
即
又由已知得
所以
解得
所以
2. 转换思想
例2 有一立方体礼盒如图2所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
图2
（1）试确定壁虎所走的最短路线；
（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）
分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
解：（1）若把礼盒的上底面A’B’C’D’竖立起来，如图3所示，使它与立方体的正面（ABB’A’）在同一平面内，然后连结AC’，根据“两点间线段最短”知，线段AC’就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
图3
（2）由（1）得，△ABC’是直角三角形，且
。根据勾股定理，得
壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
3. 分类思想
例3 在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高线AD=12。试求BC的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC的长可以从以下两方面考虑：
（1）如图4，当BC边上的高线在△ABC内部时，由勾股定理，得
图4
所以
（2）如图5，当BC边上的高线在△ABC外部时，同理可得
图5
此时
综上所述，BC的长为25或7。
4. 方程思想
例4 如图6，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，且AB=10，BC=8，求CD的长。
图6
分析：在Rt△ABC中，由勾股定理容易求出AC的长，再根据三角形的面积关系构造方程，则问题便水到渠成。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
因为△ABC的面积
即
所以
5. 数形结合思想
例5 某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
分析：本题情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定挑战性。如何将实际问题转化为数学模型（数形结合）是解决问题的关键。
解：构造数学模型，如图7所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC。
图7
在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km
所以AD=150km<200km
即A城受到这次风暴的影响。
如图7，设AB=AC=200km
在Rt△ABD中，应用勾股定理，得
所以，A城遭受风暴影响的时间（小时）。
针对性练习
1、如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为
5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短
距离是( )
图1
A．5 B．25 C．+5 D．35
2、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
3、某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为，面积为，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 m．
4、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
参考答案
1、解析：将立体图形转化为平面图形，就可以得到一个直角三角形，其直角边分别为15和20，其斜边就是需要爬行的最短距离，答案为25，选B.
2、解析：本题是利用图形来验证勾股定理，
只要先拼出图形，再利用面积不变性即可得到结论.
（1）如图3（1）和（2）；（2）证明：
如图3（1），大正方形的面积表示为
,大正方形的面积也可表示
为,
，
，． 图3（1） 图3（2）
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
或：如图3（2），大正方形的面积表示为，又可以表示为,
，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
3、 解析：本题考查分类讨论思想的应用.有些考生受思维定势的影响，只作出了图4来求解：做AD⊥BC于D，BC=20m，又S△ABC=160m2，可得AD=16m.又AB=AC，可得AC= =2 ，故AB+AC+BC=20+4 m.其实不仅底边可以为20m，腰也可以为20m，此时如图5，AB=AC=20m，BD=16m，由勾股定理可求得AD=12m，从而CD=8m，BC= =8 m，故AB+AC+BC=20+20+8=40+8（m）.如果我们注意到三角形的高可以在形内、形上、形外，则可发现还是漏了一解：如图6，AB=AC=20m，高BD在形外，BD=16m，此时可求得AD=12m，则CD=32m，从而BC= =16 ，故AB+AC+BC=40+16（m）.因此本题的正确答案为20+4 或40+8或40+16.对于如此复杂的情况，不掌握分类的思想方法，是难免犯以偏概全的错误的.
4、解析：本题既考查分类思想，又考查方程思想.在中，由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况：①如图7，当时，可求,得的周长为32m．②如图8，当时，可求,由勾股定理得：,得的周长为③如图9，当为底时，设则由勾股定理得：,得的周长为
a
b
c
c
c
c
b
b
b
a
a
a
a
b
c
A
D
C
B
A
D
B
C
A
D
B
C
图7
图8
图9
PAGE
《勾股定理》是欧氏几何中的瑰宝。在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。下面举例说明。
1. 整体思想
例1 如图1，已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
图1
分析：若要直接求出a与b的值，要用二次方程求解较繁。但由联想到运用整体思想（将ab视为一个整体），问题便可顺利获解。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
即
又由已知得
所以
解得
所以
2. 转换思想
例2 有一立方体礼盒如图2所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
图2
（1）试确定壁虎所走的最短路线；
（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）
分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
解：（1）若把礼盒的上底面A’B’C’D’竖立起来，如图3所示，使它与立方体的正面（ABB’A’）在同一平面内，然后连结AC’，根据“两点间线段最短”知，线段AC’就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
图3
（2）由（1）得，△ABC’是直角三角形，且
。根据勾股定理，得
壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
3. 分类思想
例3 在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高线AD=12。试求BC的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC的长可以从以下两方面考虑：
（1）如图4，当BC边上的高线在△ABC内部时，由勾股定理，得
图4
所以
（2）如图5，当BC边上的高线在△ABC外部时，同理可得
图5
此时
综上所述，BC的长为25或7。
4. 方程思想
例4 如图6，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，且AB=10，BC=8，求CD的长。
图6
分析：在Rt△ABC中，由勾股定理容易求出AC的长，再根据三角形的面积关系构造方程，则问题便水到渠成。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
因为△ABC的面积
即
所以
5. 数形结合思想
例5 某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
分析：本题情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定挑战性。如何将实际问题转化为数学模型（数形结合）是解决问题的关键。
解：构造数学模型，如图7所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC。
图7
在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km
所以AD=150km<200km
即A城受到这次风暴的影响。
如图7，设AB=AC=200km
在Rt△ABD中，应用勾股定理，得
所以，A城遭受风暴影响的时间（小时）。
针对性练习
1、如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为
5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短
距离是( )
图1
A．5 B．25 C．+5 D．35
2、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
3、某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为，面积为，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 m．
4、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
参考答案
1、解析：将立体图形转化为平面图形，就可以得到一个直角三角形，其直角边分别为15和20，其斜边就是需要爬行的最短距离，答案为25，选B.
2、解析：本题是利用图形来验证勾股定理，
只要先拼出图形，再利用面积不变性即可得到结论.
（1）如图3（1）和（2）；（2）证明：
如图3（1），大正方形的面积表示为
,大正方形的面积也可表示
为,
，
，． 图3（1） 图3（2）
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
或：如图3（2），大正方形的面积表示为，又可以表示为,
，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
3、 解析：本题考查分类讨论思想的应用.有些考生受思维定势的影响，只作出了图4来求解：做AD⊥BC于D，BC=20m，又S△ABC=160m2，可得AD=16m.又AB=AC，可得AC= =2 ，故AB+AC+BC=20+4 m.其实不仅底边可以为20m，腰也可以为20m，此时如图5，AB=AC=20m，BD=16m，由勾股定理可求得AD=12m，从而CD=8m，BC= =8 m，故AB+AC+BC=20+20+8=40+8（m）.如果我们注意到三角形的高可以在形内、形上、形外，则可发现还是漏了一解：如图6，AB=AC=20m，高BD在形外，BD=16m，此时可求得AD=12m，则CD=32m，从而BC= =16 ，故AB+AC+BC=40+16（m）.因此本题的正确答案为20+4 或40+8或40+16.对于如此复杂的情况，不掌握分类的思想方法，是难免犯以偏概全的错误的.
4、解析：本题既考查分类思想，又考查方程思想.在中，由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况：①如图7，当时，可求,得的周长为32m．②如图8，当时，可求,由勾股定理得：,得的周长为③如图9，当为底时，设则由勾股定理得：,得的周长为
a
b
c
c
c
c
b
b
b
a
a
a
a
b
c
A
D
C
B
A
D
B
C
A
D
B
C
图7
图8
图9
PAGE