人教版数学八年级下册第17.1勾股定理教案（共3课时）

第17章 勾股定理 教学设计
教学设计思想：
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。对于勾股定理的逆定理，教学中通过相应的画图验证，使该定理成为学生经历探索活动后的必然结果。然后给出例题，引导学生先自己研究，然后同学相互交流、研讨，最后师生一起规范作答。最后通过练习加强学生对逆定理的理解。
教学目标：
1．掌握勾股定理及其逆定理
2．经历探索和验证勾股定理的过程，发展对图形性质或数量关系猜想及检验的能力，体会拼图验证的合理性。
3．体会勾股定理逆定理的探究和证明过程。
4．能够运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题。
教具准备：
多媒体，纸，剪刀
课时安排
3课时
教学过程：
第一课时：
教学重难点：
重点：勾股定理准确
难点：勾股定理的验证
教学环节：
一、创设问题的情境，激发兴趣引入课题
通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期的数学家）在勾股定理方面的贡献。激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题．
二、一起探究
（出示投影），观察书中图17—3—1（1）答：
1．以AC为边的正方形中有_______个小方格，面积为______个单位。
以BC正方形中有_______个小方格，面积为______个单位。
以AB正方形中有_______个小方格，面积为______个单位。
这三个正方形的面积之间有怎样的关系?
2．图17—3—1（2）中，分别以AC、BC、AB为边的三个正方形的面积之间有怎样的关系？
3．你能说出正方形面积之间的等量关系反映了Rt△ABC三边之间怎样的关系吗？把它写出来。
学生讨论、交流形成共识后，教师总结：
以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c。
那么。
这就是著名的“勾股定理”。
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
练一练：分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13），满足勾股定理吗？
三、做一做
1．该图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。

（1）请你用四个如图所示的直角三角形拼出上图所示的图形。
（2）借助你所拼出的图形的面积之间的关系，验证勾股定理

学生活动：亲自动手，完成拼图，再通过面积关系，推演出勾股定理的结论。
2．做一做，验证勾股定理
四、巩固练习
1．课后练习拼接并验证勾股定理。
2．求图所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0.1mm）．

3．错例辨析：△ABC的两边为3和4，求第三边
解：由于三角形的两边为3、4
所以它的第三边的c应满足=25
即：c=5
辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题△ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。
（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足，题目中并为交待C 是斜边。
综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。
五、作业
课本习题152页1，2，3
六、板书
勾股定理 一起探究 勾股定理 做一做 练习 图
第二课时：
教学目标：
知识与技能：
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。
过程与方法：
在解决实际问题的过程中，进一步培养从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，发展转化、推理能力。
情感态度价值观：
通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发爱国热情和学习数学的兴趣。
教学重难点：
重点：利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.准确
难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
教学方法：
探究学习、合作学习
教学用具
多媒体
教学过程：
一、创设问题情境，引入新课
师：我们学习了勾股定理和直角三角形的判别条件（即勾股定理逆定理）.一起回忆一下.
生：勾股定理：如果直角三角形两直角边是a，b，斜边为c，则a2+b2=c2.
直角三角形判别条件（即勾股定理逆定理）：a，b，c是一个三角形的三条边，如果a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形.
师：我们知道这两个定理非常重要.而之所以重要是因为它们是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数和形.由直角三角形的“形”，可得到三边关系的“数”；反过来，由三角形三边关系这个“数”，也可得到直角三角形这个“形”.更为重要的是，用它们能解决生活中的实际问题.
例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？

所以至少需13米长的梯子.
师：显而易见，勾股定理及其逆定理，应用十分广泛.下面我们再来看一个例子.
二、讲授新课
例1 如图所示，为了测得湖两岸点A和点C间的距离，一个观测者在点B设立了一根标杆，使∠ACB=90°。测得AB=200m，BC=160m。根据测量结果，求点A、C间的距离。

分析：它对应的数学问题是什么？
例2 登山运动员在山顶一平坦处竖立起一面会旗，旗杆被系在A处的三条等长的铁索拉近紧，并分别固定在地面的C，D，E处，如图所示。如果∠ABC=∠ABD=∠ABE=90°，那么BC，BD，BE这三条线段的长度有怎样的关系？

分析：（1）线段BC，BD，BE分别在哪些三角形中？这些三角形是直角三角形吗？
（2）这些直角三角形的边之间有怎样的关系？
（3）能由已知推出BC，BD，BE长度之间的关系吗？
三、一起探究
工人在制作铝合金窗框时，为保证窗框的四个角都是直角，有时采用如下的方法：
如图，先亮出框AB，BC的长，再量出两点A，C的距离，由此判断∠B是否直角。

1．判断∠B是否直角的依据是什么？
2．如果AB=1.2m，BC=0.9m，那么，只有当点A，C的距离为多少时，∠B才是直角呢？
引导学生思考：（1）这个实际问题可以归结为一个什么样的数学问题？
（2）你想怎样解决这个数学问题？
（3）由数学问题的解决如何解释实际问题？
四、试一试
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

（这是一道我国古代数学著作中记载的一个有趣的问题，让学生在全班对这个问题进行讨论，从中进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智）
师生共析：我们可以将这个实际问题转化成数学模型.
解：如图，
设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股定理可求得
（x+1）2=x2+52，x2+2x+1=x2+25
解得x=12
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺。
五、小结
这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型。
六、练习
1．课后习题
2．举出生活中的一些实例，并用勾股定理解决它.
3．收集勾股定理的历史.
七、作业
习题153页 1，2，3
八、板书设计
勾股定理的应用例1 一起探究 试一试 例2 方位、路程问题用勾股定理能解决的数学问题. 勾股定理的灵活应用.
第三课时：
教学重难点：
重点：探索并掌握勾股定理的逆定理。
难点：用勾股定理的逆定理识别直角三角形。
教学环节：
一、引入
回答：什么是勾股定理？
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
那么反过来，我们就会想，在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形吗？

二、一起探究
1．小活动：以四人为小组，拿出准备好的12根火柴棒，任意摆出一个三角形，看你能摆出几种不同性质的三角形。
学生动手操作，共摆出3种，边长分别是：2，5，5；3，4，5；4，4，4

思考：如果火柴的长度为1，那么
（1）图中哪个三角形的三边具有“两边的平方和等于第三边的平方”的关系？
（2）其中哪个三角形是直角三角形？
（3）请你用量角器进行度量，验证你的判断。
2．小活动：
（1）画一个三角形，使它的边长分别为5cm，12cm，13cm。
（2）边长5，12，13之间有怎样的关系？（）
（2）用量角器度量这个三角形内角，它是什么三角形？（直角三角形）
思考：通过以上我们的试验，我们可否知道怎样由边的关系识别一个三角形为直角三角形呢？
结论：如果三角形的三边长 a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。如3，4，5；5，12，13
大家可以想这样的勾股数是很多的。
三、例题讲解
例 如图，是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标。现测得AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，AD=13cm，∠ABC=90°，根据这些条件，能否知道∠ACD等于90°？


四、巩固练习
1．课后练习1，2
2．△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以BC为边的正方形面积为
3．三条线段m、n、p满足m2一 n2＝ p2，以这三条线段为边组成的三角形为
4．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
五、小结
如何识别直角三角形？
六、作业
习题157 2，3，4
七、板书设计
由边的数量关系识别直角三角形活动1 定理 例题 练习 活动2