2018-2019学年山东省淄博市沂源县七年级下册期末数学试卷（五四学制）解析版

2018-2019学年七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题4分，共48分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分.
1．（4分）下面列出的不等式中，正确的是（　　）
A．m与4的差是负数，可表示成m﹣4＜0
B．x与2的和是非负数，可表示成x+2＞0
C．a不是负数，可表示成a＞0
D．x不大于3，可表示成x＜3
2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0
B．直角都相等
C．同位角相等，两直线平行
D．若a＝b，则|a|＝|b|
3．（4分）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）
A．10° B．20° C．25° D．30°
4．（4分）某商店举办有奖销售活动，活动规则如下：凡购满100元者得奖券一张，每1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个．那么，买100元商品的中奖概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）下列命题中，真命题的个数是（　　）
①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2＜＜﹣1；
②若﹣1≤x≤2，则1＜x2＜4；
③凸多边形的外角和为360°；
④三角形的两角∠A+∠B＝90°，则第三个角为直角．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（4分）观察下列图象，可以得出不等式组的解集是（　　）
A．x＜ B．﹣＜x＜0 C．0＜x＜2 D．﹣＜x＜2
7．（4分）从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是p1，摸到红球的概率是p2，则（　　）
A．p1＝1，p2＝1 B．p1＝0，p2＝1 C．p1＝0，p2＝ D．p1＝p2＝
8．（4分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．太阳从西方升起
B．若a＜0，则|a|＝﹣a
C．打开电视正在播放动画片《喜羊羊与灰太狼》
D．某运动员投篮时连续3次全中
9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（4分）4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
11．（4分）若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
12．（4分）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（　　）
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果.
13．（4分）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是　 　．
14．（4分）如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是　 　．
15．（4分）一个口袋里有25个球，其中红球、黑球、黄球若干个，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有　 　个．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为　 　（度）．
17．（4分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于　 　．
18．（4分）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为　 　．
三、解答题：本大题共8小题，共78分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（7分）解不等式组
20．（8分）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．
21．（10分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．
22．（10分）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，试证明∠ACD＝140°．
23．（10分）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
品名
西红柿
豆角
批发价（单位：元/kg）
1.2
1.5
零售价（单位：元/kg）
2.0
2.8
问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
24．（11分）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD．
求证：AD＝CE．
25．（11分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
26．（11分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE＝DN．

参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题4分，共48分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分.
1．（4分）下面列出的不等式中，正确的是（　　）
A．m与4的差是负数，可表示成m﹣4＜0
B．x与2的和是非负数，可表示成x+2＞0
C．a不是负数，可表示成a＞0
D．x不大于3，可表示成x＜3
【分析】直接根据题意分别得出不等式进而判断得出答案．
【解答】解：A、m与4的差是负数，可表示成m﹣4＜0，正确；
B、x与2的和是非负数，可表示成x+2≥0，故此选项错误；
C、a不是负数，可表示成a≥0，故此选项错误；
D、x不大于3，可表示成x≤3，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解非负数、不大于的意义是解题关键．
2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0
B．直角都相等
C．同位角相等，两直线平行
D．若a＝b，则|a|＝|b|
【分析】利用不等式的性质、直角的定义、平行线的性质及绝对值的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、若a＞0，b＞0，则a+b＞0的逆命题为若a+b＞0，则a＞0，b＞0，错误，为假命题；
B、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题；
C、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，为真命题；
D、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题为若|a|＝|b|，则a＝b，错误，为假命题，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、直角的定义、平行线的性质及绝对值的意义，难度不大．
3．（4分）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）
A．10° B．20° C．25° D．30°
【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠1＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝25°，
∵GH∥EF，
∴∠2＝∠AEC＝25°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
4．（4分）某商店举办有奖销售活动，活动规则如下：凡购满100元者得奖券一张，每1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个．那么，买100元商品的中奖概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】购满100元者得奖券一张，可以抽一次，而每1000张奖券有151个可以中奖，根据概率公式得到中奖的概率＝．
【解答】解：买100元商品的中奖的概率＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．P（必然事件）＝1；P（不可能事件）＝0．
5．（4分）下列命题中，真命题的个数是（　　）
①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2＜＜﹣1；
②若﹣1≤x≤2，则1＜x2＜4；
③凸多边形的外角和为360°；
④三角形的两角∠A+∠B＝90°，则第三个角为直角．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用不等式的性质，多边形的外角和定理及直角三角形的判定分别判定后即可确定正确的选项．
【解答】解：①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2＜＜﹣1，正确；
②若﹣1≤x≤2，则1＜x2＜4，错误；
③凸多边形的外角和为360°，正确；
④三角形的两角∠A+∠B＝90°，则第三个角为直角，正确，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，多边形的外角和定理及直角三角形的判定等知识，难度不大．
6．（4分）观察下列图象，可以得出不等式组的解集是（　　）
A．x＜ B．﹣＜x＜0 C．0＜x＜2 D．﹣＜x＜2
【分析】3x+1＞0的解集即为y＝3x+1的函数值大于0的对应的x的取值范围，第二个不等式的即为直线y＝﹣0.5﹣1的函数值大于0的对应的x的取值范围，求出它们的公共解集即可．
【解答】解：根据图象得到，3x+1＞0的解集是：x＞﹣，
第二个不等式的解集是x＜2，
∴不等式组的解集是﹣＜x＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形．
7．（4分）从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是p1，摸到红球的概率是p2，则（　　）
A．p1＝1，p2＝1 B．p1＝0，p2＝1 C．p1＝0，p2＝ D．p1＝p2＝
【分析】必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1．
不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0．
【解答】解：因为袋中没有白球，所以摸到白球是不可能发生的事件，因而p1＝0，
袋中只有红球，所以摸到红球是必然发生的事件，因而p2＝1．
故选：B．
【点评】必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1．
8．（4分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．太阳从西方升起
B．若a＜0，则|a|＝﹣a
C．打开电视正在播放动画片《喜羊羊与灰太狼》
D．某运动员投篮时连续3次全中
【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可做出判断．
【解答】解：A、是不可能事件，选项错误；
B、是必然事件，选项正确；
C、是随机事件，选项错误；
D、是随机事件，选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由角平分线的作法可知AD是BAC的平分线，由直角三角形两锐角互余可知∠CAB＝60°，从而可知∠BAD＝30°，由此可将∠BAD＝∠B＝30°，从而得到AD＝DB，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可判断③；由三角形的外角的性质可知∠ADC＝∠B+∠BAD可判断．
【解答】解：由角平分线的作法可知①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝30°．
∴∠BAD＝∠B＝30°．
∴AD＝DB．
∴点D在AB的垂直平分线上．
∴③正确．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝30°+30°＝60°．
故②正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是基本作图、线段垂直平分线的判定、直角三角形的性质，掌握五种基本作图是解题的关键．
10．（4分）4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【分析】此题中的等量关系为：
①4辆板车运货量+5辆卡车运货量＝27吨；②10辆板车运货量+3辆卡车运货量＝20吨．
根据相等关系就可设未知数列出方程．
【解答】解：根据4辆板车运货量+5辆卡车运货量＝27吨，得方程4x+5y＝27；
根据10辆板车运货量+3辆卡车运货量＝20吨，得方程10x+3y＝20．
可列方程组为．
故选：C．
【点评】由关键性词语“4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货”，“10辆板车和3车卡车一次能运货20吨”，找到等量关系是解决本题的关键．
11．（4分）若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【解答】解：由（1）得，x＜m，
由（2）得，x≥3，
故原不等式组的解集为：3≤x＜m，
∵不等式的正整数解有4个，
∴其整数解应为：3、4、5、6，
∴m的取值范围是6＜m≤7．
故选：D．
【点评】本题是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．
12．（4分）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（　　）
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
【分析】缺少质量和进价，应设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ay元，但在售出时，只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a×（1+x）y元，根据公式×100%＝利润率可列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：
×100%≥20%，
解得：x≥≈33.4%，
经检验，x≥是原不等式的解．
∵超市要想至少获得20%的利润，
∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，表示出售价，售货款，进货款，利润．注意在解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果.
13．（4分）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是　a＞3　．
【分析】分三种情况考虑：当2a﹣6大于0，2a﹣6等于0，与2a﹣6小于0时，利用绝对值的代数意义化简，即可求出a的范围．
【解答】解：当2a﹣6＞0，即a＞3时，不等式变形为2a﹣6＞6﹣2a，
解得：a＞3；
当2a﹣6＝0，即a＝3时，不等式不成立；
当2a﹣6＜0，即a＜3时，不等式不成立，
综上，实数a的范围为a＞3．
故答案为：a＞3．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及绝对值的代数意义，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的而关键．
14．（4分）如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是　　．
【分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．
【解答】解：设一次函数的解析式为：y＝kx+b（k≠0）．
①∵直线l1经过（2，3）、（0，﹣1），
∴，
解得，，
∴函数l1解析式为y＝2x﹣1，即2x﹣y＝1；
②∵直线l1经过（2，3）、（0，1），
∴，
解得，，
∴函数l1解析式为y＝x+1，即x﹣y＝﹣1；
因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
15．（4分）一个口袋里有25个球，其中红球、黑球、黄球若干个，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有　15　个．
【分析】先求出试验200次摸到黄球的频率，再乘以总球的个数即可．
【解答】解：∵口袋里有25个球，试验200次，其中有120次摸到黄球，
∴摸到黄球的频率为：＝，∴袋中的黄球有25×＝15个．
故估计袋中的黄球有15个．
【点评】用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为　45　（度）．
【分析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，
解得x＝45°，
∴∠DCE＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
17．（4分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于　5　．
【分析】过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF＝DE，则可求得△BCE的面积．
【解答】解：
过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴BE＝DE＝5，
∴S△BCE＝BC?EF＝×5×1＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
18．（4分）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为　120°　．
【分析】先证明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH＝∠DCH＝60°即可解决问题．
【解答】解：如图：AC与BD交于点H．
∵△ACD，△BCE都是等边三角形，
∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中，
，
∴△DCB≌△ACE，
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠DCH+∠CHD+∠BDC＝180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，
∴∠AOH＝∠DCH＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOH＝120°．
故答案为120°
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．
三、解答题：本大题共8小题，共78分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（7分）解不等式组
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可．
【解答】解：
由①得：x＞1，
由②得：x≥2，
则不等式组的解集为x≥2．
【点评】此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．（8分）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．
【分析】根据AD∥BC，可求证∠ADB＝∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD＝∠ADB，然后即可得出结论．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题很简单，属于基础题．
21．（10分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可．
【解答】解：，
①+②得：3（x+y）＝﹣3m+6，即x+y＝﹣m+2，
代入不等式得：﹣m+2＞﹣，
解得：m＜，
则满足条件m的正整数值为1，2，3．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（10分）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，试证明∠ACD＝140°．
【分析】延长AC交EF于点G，首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形外角的性质求出∠ACD即可解决问题．
【解答】证明：如图，延长AC交EF于点G，
∵AB∥EF，
∴∠DGC＝∠BAC＝50°，
∵CD⊥EF，
∴∠CDG＝90°，
∴∠ACD＝90°+50°＝140°．
【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点来分析、判断、解答．
23．（10分）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
品名
西红柿
豆角
批发价（单位：元/kg）
1.2
1.5
零售价（单位：元/kg）
2.0
2.8
问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
【分析】通过理解题意可知本题的两个等量关系，西红柿的重量+豆角的重量＝40，1.2×西红柿的重量+1.5×豆角的重量＝60，根据这两个等量关系可列出方程组．
【解答】解：设西红柿的重量是xkg，豆角的重量是ykg，
依题意有，
解得，
40×（2.8﹣1.5）＝52（元），
答：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚52元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，栽设出未知数，列出方程组．
24．（11分）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD．
求证：AD＝CE．
【分析】作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD＝CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD＝GD，即可得出结论．
【解答】证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：
则∠DGF＝∠ECF，
在△DFG和△EFC中，，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，
∴∠A＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝GD，
∴AD＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25．（11分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）假设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；
（2）结合（1）的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案．
【解答】解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得：
80x+60（17﹣x ）＝1220，
解得：x＝10，
∴17﹣x＝7，
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
（2）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，
根据题意得：
17﹣x＜x，
解得：x＞，
购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17﹣x）＝20x+1020，
因为A种树苗贵，则费用最省需x取最小整数9，
此时17﹣x＝8，
这时所需费用为20×9+1020＝1200（元）．
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1200元．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键．
26．（11分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE＝DN．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝45°，再求出∠ACF＝45°，从而得到∠B＝∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE＝∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE＝BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝HE，然后求出HE＝HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；
②求出∠CAE＝∠CEA＝67.5°，根据等角对等边可得AC＝CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM＝∠ECM＝22.5°，从而求出∠DAE＝∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，
∠CAF+∠CAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF；
（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE＝BH，∠BEH＝45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE＝HE，
∴DE＝BH＝HE，
∵BM＝2DE，
∴HE＝HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH＝45°，
∴∠BEM＝45°+45°＝90°，
∴ME⊥BC；
②由题意得，∠CAE＝45°+×45°＝67.5°，
∴∠CEA＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，
∴AC＝CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
，，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），
∴∠ACM＝∠ECM＝×45°＝22.5°，
又∵∠DAE＝×45°＝22.5°，
∴∠DAE＝∠ECM，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝CD＝BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN（ASA），
∴DE＝DN．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．