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备考2020 高考一轮复习 专题模块
几何概型的概率 专项跟踪训练测试题原卷版
一、选择题(每小题5分)
1．在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为
A. B. C. D.
2．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是
A. B．π C．2π D．3π
3．(2018·合肥、阜阳调研)若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于
A. B. C. D.
4．已知定义在区间[－3，3]上的单调函数f(x)满足：对任意的x∈[－3，3]，都有f(f(x)－2x)＝6，则在[－3，3]上随机取一个实数x，使得f(x)的值不小于4的概率为
A. B. C. D.
5．(2019·临汾模拟)在长为2的线段AB上任意取一点C，则以线段AC为半径的圆的面积小于π的概率为
A. B. C. D.
6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分)
7．记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
8．已知Ω＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，A是曲线y＝x2与y＝x围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．
9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
A. B. C．1－ D．1－
10．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到则等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率为
A. B. C. D.
11．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为
A. B. C．1－ D．1－
12．在区域内任意取一点P(x，y)，则x2＋y2>1的概率是
A. B. C. D.
13．(5分)如图，正四棱锥S－ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．
14．(5分)(2019·新乡模拟)若x是从区间[0，3]内任意选取的一个实数，y也是从区间[0，3]内任意选取的一个实数，则x2＋y2<1的概率为________．
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几何概型的概率 专项跟踪训练测试题解析版
1．
解析 由log0.5(4x－3)≥0，得0<4x－3≤1，
解得答案 D
2．
解析 设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得＝，则S＝3π.
答案 D
3．
解析 设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN(不包括M，N)上时 ，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM＋CN＝2，所以AE的长度大于5的概率等于＝，故选D.
答案 D
4．
解析 由题意设对任意的x∈[－3，3]，都有f(x)－2x＝a，其中a为常数，且a∈[－3，3]，则f(a)＝6，f(a)－2a＝a，∴6－2a＝a，得a＝2，故f(x)＝2x＋2，由f(x)≥4得x≥1，
因此所求概率为＝.
答案 C
5．
解析 设AC＝x，因为以AC为半径的圆的面积小于π，故πx2<π，所以0答案 B
6．
解析 由题图可知VF－AMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADF－BCE＝a3，
所以它飞入几何体F－AMCD内的概率为＝.
答案 D
二、填空题(每小题5分)
7．解析 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝.
答案
8．解析 如图，曲线y＝x2与y＝x围成的区域面积为
(x－x2)dx＝＝.
而集合Ω对应的面积为4，故由几何概型计算公式可知点P落入区域A的概率为＝.
答案
9．
解析 如图，直角三角形的斜边长为＝17，设其内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3，∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率
P＝1－＝1－.
答案 D
10．
解析 以6点作为计算时间的起点，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则基本事件空间是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件对应的平面区域的面积S＝1，设满足条件的事件对应的平面区域是A，则A＝，其对应的区域如图中阴影部分所示，则B，D，C(0，1)，则事件A对应的平面区域的面积是1－××－×1×1＝，
根据几何概型的概率计算公式得P＝＝.
答案 A
11．
解析 正方形的面积为82＝64，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为64－8π，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率P＝＝1－，故选C.
答案 C
12．
解析 根据题意画出图形，符合题意的点P在阴影部分内，由几何概型的概率公式得所求概率为＝，故选B.
答案 B
13．
解析 设球的半径为R，则所求的概率为
P＝＝＝.
答案
14．解析 如图，不等式组表示的平面区域是正方形区域，面积为3×3＝9，其中满足x2＋y2<1的平面区域为阴影区域，其面积为π·12＝，故所求的概率
P＝＝.
答案
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