人教A版高中数学必修2第一章单元测试题（含详细解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修2第一章单元测试题（含详细解析) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-22 08:11:45 | ||
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文档简介
人教A版高中数学必修2第一章单元测试题（含解析)
第I卷（选择题)
一、单选题
1．如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且，是正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．2
2．边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的体积为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，,三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ）
A． B． C． D．
5．某三棱锥的三视图如图所示，此三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为
A． B． C． D．
7．三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图，其中侧视图为半圆，则该几何体的表面积为
A． B． C． D．
10．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则
A．2 B．4 C．1 D．3
11．如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（ ）
A． B． C． D．
12．已知四面体 中，平面， ，，BC=，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图,三棱锥中,是中点,在上,且,若三棱锥的体积是2,则四棱锥的体积为____．
14．已知正方体的棱长为1，点E是棱的中点，则三棱锥的体积为______．
15．如图，第一排的图形绕虚线旋转一周能形成第二排中的某个几何体．请写出第一排、第二排中相应的图形的对应关系________.
A． B． C． D．
16．如图，正方体的棱长为2，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．
①当时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当时，S与的交点R满足；④当时，S为五边形；⑤当时，S的面积为．
三、解答题
17．如图,正三棱柱底面三角形的周长为6,侧棱长长为3.
(1)求正三棱柱的体积；
(2)求异面直线与AB所成角的大小.
18．如图，直三棱柱，点M是棱，上不同于的动点．
(I)证明：；
(Ⅱ)若，判断点M的位置并求出此时平面把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比．
19．如图，已知点是圆心为半径为的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，点是圆心为半径为的半圆弧的中点，、分别是两个半圆的直径，，直线与两个半圆所在的平面均垂直，直线、共面.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与所成角的余弦值.
20．（1）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，求该几何体的表面积．
（2）圆台的较小底面半径为，母线长为，一条母线和底面的一条半径有交点且成，求圆台的侧面积．
21．如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
该几何体是一个直三棱柱截去两个四棱锥，先计算出三棱柱的底面积和高，得到其体积，再计算出四棱锥的体积，相减即为该多面体的体积．
【详解】
将多面体补齐为一个直三棱柱，
则该直三棱柱的底面三角形的底为
因为为正三角形，且边长为，
所以其高为，
故可得底面三角形的高为，
所以直三棱柱的体积为.
割去的一个四棱锥的体积为：，
所以，所求的几何体的体积为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查空间想象能力，割补法求几何体的体积，求棱柱和棱锥的体积，属于简单题.
2．B
【解析】
【分析】
根据外接球的性质先找到球心位置，再由球和圆的性质用勾股定理求出半径，即可求出外接球体积.
【详解】
如图所示：为三角形过中心且垂直平面的直线，
为三角形过中心且垂直平面的直线，与相交于点.
由球的性质知：四面体的外接球球心为点.
因为，为的中心，所以.
因为，所以.
又因为，所以.
故外接球的体积为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查多面体的外接球，利用外接球球心到多面体顶点的距离相等的性质找到球心是解决本题的关键，属于难题.
3．C
【解析】
【分析】
由已知可得三角形为直角三角形，斜边的中点就是的外接圆圆心，利用三棱锥的体积，求出到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．
【详解】
在中，∵，，得，
则斜边的中点就是的外接圆的圆心，
∵三棱锥的体积为，
，解得，，
球的表面积为．
故选C．
【点睛】
本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
先求得圆锥原来的体积，再求得变换后圆锥的体积，由此求得新圆锥体积和原来体积的关系，从而得出正确选项.
【详解】
设一个圆锥的底面半径为，高为，则其体积；
圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为，高为，
体积为.∴.∴它的体积是原来体积的.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查圆锥体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
通过三视图还原几何体的直观图是有相邻两个侧面互相垂直的三棱锥，找出这两个面的外心，利用勾股定理构造出关于外接球半径的方程.
【详解】
根据几何体的三视图，还原几何体的直观图为三棱锥，
设为三棱锥外接球的球心，为的外心，为的外心，为中点，
则四边形为矩形，因为，
所以，所以的外接圆半径为，
因为是边长为2的正三角形，所以，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积.
【点睛】
三棱锥与球的切接问题，找到球心是解题的关键，其步骤是，一找两相邻面的外心，二是假设球心为O，三是连结得到这两个面的垂线，再从中寻找直角三角形，构造关于球半径的方程.
6．B
【解析】
【分析】
根据已知计算出圆锥的母线长和底面半径，可得答案．
【详解】
圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，
则圆锥的母线l满足：
故圆锥的母线长为3，
又由
可得圆锥的底面半径为，
故该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为．故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征，是解答的关键．
7．B
【解析】
【分析】
由题意求得，则且， 又由平面平面，可得平面，即三棱锥的高，在中，利用基本不等式求得面积的最大值，进而可得三棱锥体积的最大值，得到答案.
【详解】
由题意知，三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，若是等边三角形，
如图所示，可得，则且，
又由平面平面，所以平面，即三棱锥的高，
又由在中，，设，则,
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为3，
所以三棱锥体积的最大值为，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了有关球的内接组合体的性质，以及三棱锥的体积的计算问题，其中解答中充分认识组合体的结构特征，合理计算三棱锥的高和底面面积的最大值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
8．C
【解析】
【分析】
由三视图知，该几何体的直观图为多面体，其中四边形是边长为4的正方形，四边形和为全等的直角梯形，四边形是菱形，其对角线长分别为和，分别计算得出各个面的面积，即可求解其表面积，得到答案.
【详解】
由三视图知，该几何体的直观图为多面体，如图所示
其中四边形是边长为4的正方形，所以，
四边形和为全等的直角梯形，
所以，，
四边形是菱形，其对角线长分别为和，
所以，
所以该几何体的表面积为，故选C.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
9．A
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是半圆柱体，
结合图中数据计算该几何体的表面积即可．
【详解】
根据三视图知，该几何体是半圆柱体，
画出图形如图所示；
结合图中数据，计算该几何体的表面积为：
S＝2π?122π?1?3+2×3＝4π+6．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．
10．A
【解析】
【分析】
由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，利用几何体的体积求出r，再求出该几何体的表面积．
【详解】
由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，
该几何体的体积为，．
故选：A．
【点睛】
本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．
11．B
【解析】
【分析】
三视图是对一个物体从一个三个不同的侧面进行正投影得到的，三个视图间存在长对正，高平齐，宽相等的对应关系，在三视图中不可见的轮廓用虚线表示.
【详解】
根据题意以及已知图形：由主视图得出主视方向，左视图应该是从实物图的左边进行正投影，右边的轮廓为不可见轮廓，所以要用虚线表示，故B正确.
故选:B.
【点睛】
考查正投影，以及三视图的作图知识，本题属于中档题.
12．A
【解析】
【分析】
先求得三角形外接圆的半径，然后则球的半径，由此求得球的表面积.
【详解】
由于平面，故三角形和三角形为直角三角形，所以，所以三角形为等边三角形，在等边三角形中，由正弦定理得，其中为三角形外接圆的半径，则.又由于平面，球心在三角形外接圆圆心的正上方，则球的半径，故外接球的表面积为.
【点睛】
本小题主要考查几何体的外接球半径的求解方法，考查球的表面积公式和正弦定理的应用，属于中档题.
13．10
【解析】
【分析】
根据题中条件先求出三棱锥与三棱锥的体积比，进而得到三棱锥的体积，利用两个三棱锥的体积之差可得四棱锥的体积．
【详解】
设的面积为，
∵，
∴的面积为．
设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，
则有，
∴，
∴四棱锥的体积为．
故答案为：
【点睛】
解答本题的关键是由题意得到三棱锥与三棱锥的体积比，考查锥体体积的求法和转化思想方法的运用，同时也考查计算能力，属于中档题．
14．
【解析】
【分析】
由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积＝三棱锥D﹣B1AE的体积，即可得出结论．
【详解】
由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积＝三棱锥D﹣B1AE的体积
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三棱锥体积的求法，正确转换底面是关键，属于基础题．
15．（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A
【解析】
【分析】
根据旋转体的几何性质，判断出对应关系.
【详解】
对于（1），旋转所得是半球，对应C；对于（2）旋转所得是两个圆锥，对应B；对于（3）旋转所得是一个圆锥和一个圆柱，对应D；对于（4）旋转所得是圆锥，对应A.
故填：（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A.
【点睛】
本小题主要考查旋转体的几何性质，考查空间想象能力，属于基础题.
16．①②④
【解析】
【分析】
利用空间几何元素的位置关系和截面的性质逐一分析推理判断每一个命题的真假得解.
【详解】
对于①，由图1知，
当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜1，只需在DD1上取点M，且满足AM∥PQ，
则截面图形为四边形APQM，∴①正确；
对于②，当CQ=1时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，
可得截面APQD1为等腰梯形，∴②正确；
对于③，当CQ=时，如图2所示，
延长DD1至N，使D1N=1，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，可得C1R=，D1R=，∴③错误；
对于④，当时，只需点Q上移，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，是五边形，④正确；
对于⑤，当CQ=2时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，
可知截面为APC1F为菱形，且面积为AC1?PF=2，⑤错误；
综上可得：正确命题的序号为①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
本题主要考查空间几何体的性质和截面的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知求得三棱柱底面边长，得到底面积，再由棱柱体积公式求解；
（2）以C为坐标原点，以过C且垂直于AB的直线为x轴，以过C且平行于AB的直线为y轴，以CC1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．
【详解】
解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1底面三角形的周长为6，∴边长为2，
则AB边上的高为，
∴，
又侧棱长AA1长为3，
则正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝；
（2）以C为坐标原点，以过C且垂直于AB的直线为x轴，以过C且平行于AB的直线为y轴，
以CC1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A，B，A1，
，
∴cos＝＝．
∴异面直线A1C与AB所成角的大小为．
【点睛】
本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）1:1.
【解析】
【分析】
（I）证明BC⊥平面ABB1A1，即可得出BC⊥B1M；
（II）求出棱锥C﹣ABB1M和棱柱的体积即可得出结论．
【详解】
（Ⅰ）在中，,
,
又,
平面,又面,
.
（Ⅱ）当时，设，
,
则在中，，
同理：,
据，
整理得，
故M为的中点
此时平面把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥和四棱锥
由（Ⅰ）知四棱锥的高为BC=2，
,
,又，
,
故两部分几何体的体积之比为1:1.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意得出，可得出为等边三角形，由此求出、的长度，并计算出的面积，易知三棱锥的高等于，再由锥体体积公式可得出三棱锥的体积；
（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出与所成角的余弦值，从而可得出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
（1）由于点是圆心为半径为的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，
则，是边长为的等边三角形，，且，
是以为直径的半圆上的一点，则，，
的面积为，
易知三棱锥的高等于，
则三棱锥的体积为；
（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，则、、、.
于是，.
由于，
因此，直线与所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查锥体体积和异面直线所成角的余弦值的计算，在求解异面直线所成角的余弦值时，可利用建立空间直角坐标系的方法，转化为空间向量来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
20．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三视图可复原几何体，该几何体为半个圆柱中挖去半个圆柱，根据公式可算计算其表面积.
（2）在圆台的轴截面中，可计算出底面半径，根据公式可求其侧面积.
【详解】
（1）三视图对应的几何体如图所示：
其表面积为.
（2）圆台的轴截面如图所示：
由题设可知：，过作的垂线，垂足为，则
，故，故底面的半径为，
故圆台的侧面积为.
【点睛】
本题（1）考查三视图及其几何体的复原，注意根据复原前后对应的点、线、面的位置关系，（2）考查圆台的基本量的计算，注意利用轴截面来实现各基本量关系的转化.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）在平面中找的平行线；（2）转化为平面；（3）以四边形为底面，与中点的连线为高求体积.
【详解】
（1）证明：取的中点，连结，
∵中，分别为的中点，
∴，，
∵分别为的中点，
∴ ，，
∴ ，，
∴ 为平行四边形，
∴ ，
∵ 平面，平面，
∴ 平面；
（2）证明：∵ 平面平面，，平面平面，
∴ 平面，
∵ 平面
∴平面平面
（3）取中点，连结，
∵平面平面及为等腰直角三角形，∴平面，
即为四棱锥的高，
∵，∴，
∴.
【点睛】
本题考查线面平行和面面垂直的证明；以及锥体体积的计算.
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页
第I卷（选择题)
一、单选题
1．如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且，是正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．2
2．边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的体积为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，,三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ）
A． B． C． D．
5．某三棱锥的三视图如图所示，此三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为
A． B． C． D．
7．三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图，其中侧视图为半圆，则该几何体的表面积为
A． B． C． D．
10．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则
A．2 B．4 C．1 D．3
11．如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（ ）
A． B． C． D．
12．已知四面体 中，平面， ，，BC=，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图,三棱锥中,是中点,在上,且,若三棱锥的体积是2,则四棱锥的体积为____．
14．已知正方体的棱长为1，点E是棱的中点，则三棱锥的体积为______．
15．如图，第一排的图形绕虚线旋转一周能形成第二排中的某个几何体．请写出第一排、第二排中相应的图形的对应关系________.
A． B． C． D．
16．如图，正方体的棱长为2，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．
①当时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当时，S与的交点R满足；④当时，S为五边形；⑤当时，S的面积为．
三、解答题
17．如图,正三棱柱底面三角形的周长为6,侧棱长长为3.
(1)求正三棱柱的体积；
(2)求异面直线与AB所成角的大小.
18．如图，直三棱柱，点M是棱，上不同于的动点．
(I)证明：；
(Ⅱ)若，判断点M的位置并求出此时平面把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比．
19．如图，已知点是圆心为半径为的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，点是圆心为半径为的半圆弧的中点，、分别是两个半圆的直径，，直线与两个半圆所在的平面均垂直，直线、共面.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与所成角的余弦值.
20．（1）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，求该几何体的表面积．
（2）圆台的较小底面半径为，母线长为，一条母线和底面的一条半径有交点且成，求圆台的侧面积．
21．如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第1页，总3页
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参考答案
1．B
【解析】
【分析】
该几何体是一个直三棱柱截去两个四棱锥，先计算出三棱柱的底面积和高，得到其体积，再计算出四棱锥的体积，相减即为该多面体的体积．
【详解】
将多面体补齐为一个直三棱柱，
则该直三棱柱的底面三角形的底为
因为为正三角形，且边长为，
所以其高为，
故可得底面三角形的高为，
所以直三棱柱的体积为.
割去的一个四棱锥的体积为：，
所以，所求的几何体的体积为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查空间想象能力，割补法求几何体的体积，求棱柱和棱锥的体积，属于简单题.
2．B
【解析】
【分析】
根据外接球的性质先找到球心位置，再由球和圆的性质用勾股定理求出半径，即可求出外接球体积.
【详解】
如图所示：为三角形过中心且垂直平面的直线，
为三角形过中心且垂直平面的直线，与相交于点.
由球的性质知：四面体的外接球球心为点.
因为，为的中心，所以.
因为，所以.
又因为，所以.
故外接球的体积为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查多面体的外接球，利用外接球球心到多面体顶点的距离相等的性质找到球心是解决本题的关键，属于难题.
3．C
【解析】
【分析】
由已知可得三角形为直角三角形，斜边的中点就是的外接圆圆心，利用三棱锥的体积，求出到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．
【详解】
在中，∵，，得，
则斜边的中点就是的外接圆的圆心，
∵三棱锥的体积为，
，解得，，
球的表面积为．
故选C．
【点睛】
本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
先求得圆锥原来的体积，再求得变换后圆锥的体积，由此求得新圆锥体积和原来体积的关系，从而得出正确选项.
【详解】
设一个圆锥的底面半径为，高为，则其体积；
圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为，高为，
体积为.∴.∴它的体积是原来体积的.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查圆锥体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
通过三视图还原几何体的直观图是有相邻两个侧面互相垂直的三棱锥，找出这两个面的外心，利用勾股定理构造出关于外接球半径的方程.
【详解】
根据几何体的三视图，还原几何体的直观图为三棱锥，
设为三棱锥外接球的球心，为的外心，为的外心，为中点，
则四边形为矩形，因为，
所以，所以的外接圆半径为，
因为是边长为2的正三角形，所以，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积.
【点睛】
三棱锥与球的切接问题，找到球心是解题的关键，其步骤是，一找两相邻面的外心，二是假设球心为O，三是连结得到这两个面的垂线，再从中寻找直角三角形，构造关于球半径的方程.
6．B
【解析】
【分析】
根据已知计算出圆锥的母线长和底面半径，可得答案．
【详解】
圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，
则圆锥的母线l满足：
故圆锥的母线长为3，
又由
可得圆锥的底面半径为，
故该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为．故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征，是解答的关键．
7．B
【解析】
【分析】
由题意求得，则且， 又由平面平面，可得平面，即三棱锥的高，在中，利用基本不等式求得面积的最大值，进而可得三棱锥体积的最大值，得到答案.
【详解】
由题意知，三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，若是等边三角形，
如图所示，可得，则且，
又由平面平面，所以平面，即三棱锥的高，
又由在中，，设，则,
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为3，
所以三棱锥体积的最大值为，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了有关球的内接组合体的性质，以及三棱锥的体积的计算问题，其中解答中充分认识组合体的结构特征，合理计算三棱锥的高和底面面积的最大值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
8．C
【解析】
【分析】
由三视图知，该几何体的直观图为多面体，其中四边形是边长为4的正方形，四边形和为全等的直角梯形，四边形是菱形，其对角线长分别为和，分别计算得出各个面的面积，即可求解其表面积，得到答案.
【详解】
由三视图知，该几何体的直观图为多面体，如图所示
其中四边形是边长为4的正方形，所以，
四边形和为全等的直角梯形，
所以，，
四边形是菱形，其对角线长分别为和，
所以，
所以该几何体的表面积为，故选C.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
9．A
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是半圆柱体，
结合图中数据计算该几何体的表面积即可．
【详解】
根据三视图知，该几何体是半圆柱体，
画出图形如图所示；
结合图中数据，计算该几何体的表面积为：
S＝2π?122π?1?3+2×3＝4π+6．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．
10．A
【解析】
【分析】
由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，利用几何体的体积求出r，再求出该几何体的表面积．
【详解】
由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，
该几何体的体积为，．
故选：A．
【点睛】
本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．
11．B
【解析】
【分析】
三视图是对一个物体从一个三个不同的侧面进行正投影得到的，三个视图间存在长对正，高平齐，宽相等的对应关系，在三视图中不可见的轮廓用虚线表示.
【详解】
根据题意以及已知图形：由主视图得出主视方向，左视图应该是从实物图的左边进行正投影，右边的轮廓为不可见轮廓，所以要用虚线表示，故B正确.
故选:B.
【点睛】
考查正投影，以及三视图的作图知识，本题属于中档题.
12．A
【解析】
【分析】
先求得三角形外接圆的半径，然后则球的半径，由此求得球的表面积.
【详解】
由于平面，故三角形和三角形为直角三角形，所以，所以三角形为等边三角形，在等边三角形中，由正弦定理得，其中为三角形外接圆的半径，则.又由于平面，球心在三角形外接圆圆心的正上方，则球的半径，故外接球的表面积为.
【点睛】
本小题主要考查几何体的外接球半径的求解方法，考查球的表面积公式和正弦定理的应用，属于中档题.
13．10
【解析】
【分析】
根据题中条件先求出三棱锥与三棱锥的体积比，进而得到三棱锥的体积，利用两个三棱锥的体积之差可得四棱锥的体积．
【详解】
设的面积为，
∵，
∴的面积为．
设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，
则有，
∴，
∴四棱锥的体积为．
故答案为：
【点睛】
解答本题的关键是由题意得到三棱锥与三棱锥的体积比，考查锥体体积的求法和转化思想方法的运用，同时也考查计算能力，属于中档题．
14．
【解析】
【分析】
由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积＝三棱锥D﹣B1AE的体积，即可得出结论．
【详解】
由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积＝三棱锥D﹣B1AE的体积
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三棱锥体积的求法，正确转换底面是关键，属于基础题．
15．（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A
【解析】
【分析】
根据旋转体的几何性质，判断出对应关系.
【详解】
对于（1），旋转所得是半球，对应C；对于（2）旋转所得是两个圆锥，对应B；对于（3）旋转所得是一个圆锥和一个圆柱，对应D；对于（4）旋转所得是圆锥，对应A.
故填：（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A.
【点睛】
本小题主要考查旋转体的几何性质，考查空间想象能力，属于基础题.
16．①②④
【解析】
【分析】
利用空间几何元素的位置关系和截面的性质逐一分析推理判断每一个命题的真假得解.
【详解】
对于①，由图1知，
当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜1，只需在DD1上取点M，且满足AM∥PQ，
则截面图形为四边形APQM，∴①正确；
对于②，当CQ=1时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，
可得截面APQD1为等腰梯形，∴②正确；
对于③，当CQ=时，如图2所示，
延长DD1至N，使D1N=1，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，可得C1R=，D1R=，∴③错误；
对于④，当时，只需点Q上移，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，是五边形，④正确；
对于⑤，当CQ=2时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，
可知截面为APC1F为菱形，且面积为AC1?PF=2，⑤错误；
综上可得：正确命题的序号为①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
本题主要考查空间几何体的性质和截面的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知求得三棱柱底面边长，得到底面积，再由棱柱体积公式求解；
（2）以C为坐标原点，以过C且垂直于AB的直线为x轴，以过C且平行于AB的直线为y轴，以CC1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．
【详解】
解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1底面三角形的周长为6，∴边长为2，
则AB边上的高为，
∴，
又侧棱长AA1长为3，
则正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝；
（2）以C为坐标原点，以过C且垂直于AB的直线为x轴，以过C且平行于AB的直线为y轴，
以CC1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A，B，A1，
，
∴cos＝＝．
∴异面直线A1C与AB所成角的大小为．
【点睛】
本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）1:1.
【解析】
【分析】
（I）证明BC⊥平面ABB1A1，即可得出BC⊥B1M；
（II）求出棱锥C﹣ABB1M和棱柱的体积即可得出结论．
【详解】
（Ⅰ）在中，,
,
又,
平面,又面,
.
（Ⅱ）当时，设，
,
则在中，，
同理：,
据，
整理得，
故M为的中点
此时平面把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥和四棱锥
由（Ⅰ）知四棱锥的高为BC=2，
,
,又，
,
故两部分几何体的体积之比为1:1.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意得出，可得出为等边三角形，由此求出、的长度，并计算出的面积，易知三棱锥的高等于，再由锥体体积公式可得出三棱锥的体积；
（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出与所成角的余弦值，从而可得出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
（1）由于点是圆心为半径为的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，
则，是边长为的等边三角形，，且，
是以为直径的半圆上的一点，则，，
的面积为，
易知三棱锥的高等于，
则三棱锥的体积为；
（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，则、、、.
于是，.
由于，
因此，直线与所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查锥体体积和异面直线所成角的余弦值的计算，在求解异面直线所成角的余弦值时，可利用建立空间直角坐标系的方法，转化为空间向量来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
20．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三视图可复原几何体，该几何体为半个圆柱中挖去半个圆柱，根据公式可算计算其表面积.
（2）在圆台的轴截面中，可计算出底面半径，根据公式可求其侧面积.
【详解】
（1）三视图对应的几何体如图所示：
其表面积为.
（2）圆台的轴截面如图所示：
由题设可知：，过作的垂线，垂足为，则
，故，故底面的半径为，
故圆台的侧面积为.
【点睛】
本题（1）考查三视图及其几何体的复原，注意根据复原前后对应的点、线、面的位置关系，（2）考查圆台的基本量的计算，注意利用轴截面来实现各基本量关系的转化.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）在平面中找的平行线；（2）转化为平面；（3）以四边形为底面，与中点的连线为高求体积.
【详解】
（1）证明：取的中点，连结，
∵中，分别为的中点，
∴，，
∵分别为的中点，
∴ ，，
∴ ，，
∴ 为平行四边形，
∴ ，
∵ 平面，平面，
∴ 平面；
（2）证明：∵ 平面平面，，平面平面，
∴ 平面，
∵ 平面
∴平面平面
（3）取中点，连结，
∵平面平面及为等腰直角三角形，∴平面，
即为四棱锥的高，
∵，∴，
∴.
【点睛】
本题考查线面平行和面面垂直的证明；以及锥体体积的计算.
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