2020人教版高中物理必修二5.4圆周运动

第八讲：匀速圆周运动
【学习目标】
理解圆周运动的线速度、角速度和周期
掌握圆周运动的特点
掌握角速度和线速度的关系和应用

【学习过程】

知识点一、线速度
1．圆周运动．
物体沿着________的运动称为圆周运动．圆周运动的轨迹为一圆弧，故圆周运动为曲线运动，所以一定是______运动．
2．线速度的概念．
做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的______叫做线速度．
3．线速度的特点．
(1)意义．
线速度是描述物体做圆周运动________的物理量，其物理意义与瞬时速度的相同．
(2)大小．
线速度的大小用公式v＝________来计算，Δs是在时间Δt内通过的弧长，线速度的单位是________．
(3)方向．
线速度是矢量，线速度的方向就是圆周上该点的________．
4．匀速圆周运动．
(1)定义．
如果物体沿着圆周运动，并且_____________处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动．
(2)运动性质．
由于匀速圆周运动的线速度方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动是一种________运动．

考点二、角速度、周期(频率)
1．角速度．
(1)定义：在匀速圆周运动中，连接物体与圆心的半径所转过的________与所用________的比值．
(2)物理含义：描述质点转过________的快慢．
(3)大小：ω＝，单位：______(rad/s或rad·s－1)．
(4)匀速圆周运动是角速度________的运动．
2．周期和频率．
(1)周期：做圆周运动的物体运动________所用的时间．
(2)频率：做圆周运动的物体在1秒钟内运动的________．
(3)频率与周期的关系：f＝________．
3．转速．
物体单位时间内转过的________．通常用n表示．单位：转每秒(r/s)
4．线速度、角速度和周期的关系．
(1)线速度和周期的关系：v＝________．
(2)角速度和周期的关系：ω＝________．
(3)线速度和角速度的关系：v＝________．
(4)转速与角速度关系：n= .






【问题探究】
问题一、比较线速度和角速度

v、ω、r中有一个不变时，其他两个变量的变化关系：
(1)当r一定时，v∝ω.如转动飞轮边缘质点的运动，当飞轮转速n增大时，角速度ω＝2πn也增大，故线速度v＝ωr也相应增大，反之亦然．
(2)当ω一定时，v∝r.如地球自转时，不同纬度的地面质点做圆周运动的半径不同，但地面各质点随地球自转的角速度ω均相等，则线速度大小不等．质点做圆周运动所在圆的半径越大，线速度也越大．反之亦然．
(3)当v一定时，ω∝.如皮带传动装置中，两轮边缘质点线速度大小相同，则大轮的角速度小，而小轮的角速度大．
名师提示：线速度和角速度都是描述物体做匀速圆周运动快慢的物理量，线速度侧重于描述物体通过弧长快慢的程度，而角速度侧重于描述物体转过圆心角的快慢程度．它们都有一定的局限性，其中任何一个物理量(v或ω)都无法全面准确地反映做匀速圆周运动的物体的运动状态．

【针对训练】
1．关于匀速圆周运动，下列说法不正确的是(　　)
A．匀速圆周运动是变速运动
B．匀速圆周运动的速率不变
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．任意相等时间内通过的路程相等
答案：C
2．[多选](2016·宜兴月考)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是(　　)
A．因为v＝ωR，所以线速度v与轨道半径R成正比
B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径R成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
解析：选CD　ω一定时，线速度v与轨道半径R成正比，A错误；v一定时，角速度ω与轨道半径R成反比，B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，C、D正确。

问题二、传动问题中v、ω、T与r的关系是怎样的？
1.同轴传动．
如图所示，A点和B点在同轴的一个“圆盘”上，所以角速度相同．但因A、B两点与轴的距离不同，即转动半径不同，所以线速度不同，设半径分别为r和R，且r
2．皮带传动．
如图所示，A点和B点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑，所以它们的线速度必然相同，但是因为半径不同，所以角速度不同．线速度、角速度、周期之间存在的定量关系为：vA＝vB，＝，＝.

3．齿轮传动．
如图所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合．两个轮子在同一时间内转过的齿数相等，或者说A、B两点的线速度相等，但它们的转动方向恰好相反，即当A顺时针转动时，B逆时针转动．线速度、角速度、周期之间存在的定量关系为：vA＝vB，＝＝，＝＝，式中n1、n2分别表示齿轮的齿数．

名师提示：“皮带带动”、“齿轮啮合”、“链条传动”三种传动的共同特点是传动过程中若皮带、齿轮、链条不打滑，则皮带上各点及两轮边缘上的每一点，线速度的大小相等．





【针对训练】
3.如图所示的装置中，已知大齿轮的半径是小齿轮半径的3倍，A点和B点分别在两轮边缘，C点离大轮轴距等于小轮半径．如果不打滑，则它们的线速度之比vA：vB：vC为(　　)

A．1∶3∶3 B．1∶3∶1
C．3∶3∶1 D．3∶1∶3
答案：C
4．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮(轮齿未画出)，如图所示，三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为(　　)

A. B.
C. D.
解析：选A　本题中的三个轮组成的是齿轮传动模型，则三个轮边缘的线速度相等，由线速度、角速度关系v＝ωr得ω＝，那么丙轮的角速度ω3＝＝＝。

题型一、描述圆周运动的物理量
例1、如图所示，圆环以直径AB为轴匀速转动．已知其半径为0.5 m，周期为4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度.

解析：P点和Q点的角速度相同，ω＝≈1.57 rad/s.P点和Q点绕AB轴做圆周运动，其轨迹的圆心不同，P点和Q点的圆半径分别为rP＝R·sin 30°＝R，rQ＝R·sin 60°＝R.故其线速度分别为vP＝ωrP≈0.39 m/s，vQ＝ωrQ≈0.68 m/s.

变式练习 1．（多选）质点做匀速圆周运动，则(　　)
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
答案：BD

题型二、传动装置中各物理量间的关系
例2、如右图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径的关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘的a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．

答案：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，即
va＝vb或vavb＝1：1①
由v＝ωr得ωaωb＝rBrA＝1：2②
B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮上各点的角速度相同，即
ωb＝ωc或ωb ωc＝1：1③
由v＝ωr得vbvc＝rBrC＝1：2④
由②③两式得ωaωbωc＝1：2：2
由①④两式得vavbvc＝1：1：2
ωaωbωc＝1：2：2　vavbvc＝1：1：2

变式练习2．如图所示皮带传动装置，皮带轮O1和O2上的三点A、B和C，O1A＝O2C＝r，O2B＝2r，则皮带轮转动时(皮带传动时不打滑)，关于A、B、C三质点的运动情况是(　　)

A．vA＝vB，vB>vC　　　 B．ωA＝ωB，vB>vC
C．vA＝vB，ωB>ωC D．ωC<ωB，vB>vC
答案：A
名师归纳：解决这类问题时要注意抓住传动装置的特点：同轴转动时两轮的角速度相等，皮带传动(不打滑)时两轮边缘的线速度大小相等，求解时注意运用v＝ωr找出联系

题型三、与其他运动相结合
例3 、如右图所示，直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴O匀速转动(图示为截面)．从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上留下a、b两个弹孔．已知aO与bO夹角为θ，求子弹的速度．

解析：设子弹速度为v，则子弹穿过圆筒的时间t＝.此时间内圆筒转过的角度α＝π－θ.据α＝ωt，得π－θ＝ω.则子弹的速度v＝.





变式练习3.如右图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动．则力F多大可使A和B两物体的速度相同？

解析：因为物体B在力F作用下沿水平面向右做匀加速运动，速度方向水平向右，要使A与B速度相同，则只有当A运动到圆轨道的最低点时，才有可能．设A、B运动时间t后两者速度相同(大小相等、方向相同)．对B有：F＝ma，a＝，vB＝at＝t，对A有：t＝T＋nT＝(n＋)·(n＝0，1，2，…)，vA＝ωr，令vA＝vB，得(n＋)·＝ωr(n＝0，1，2，…)，解得F＝(n＝0，1，2，…)．


名师归纳：有些题目会涉及圆周运动、直线运动和平抛运动等不同的运动，不同运动规律在解决同一问题时，必然有一个物理量起桥梁作用，将两种不同运动联系起来，这一物理量常常是“时间”．通常会涉及由圆周运动引起的多解问题．





课堂练习

1．（多选）关于匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
答案：BD
2．关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法正确的是(　　)
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
答案：D

3.关于匀速圆周运动的线速度v、角速度ω和半径r，下列说法正确的是(　　)
A．若r一定，则v与ω成正比
B．若r一定，则v与ω成反比
C．若ω一定，则v与r成反比
D．若v一定，则ω与r成正比[
解析：根据v＝ωr知，若r一定，则v与ω成正比；若ω一定，则v与r成正比；若v一定，则ω与r成反比．只有选项A正确．
答案：A
4.甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则(　　)
A．ω1>ω2，v1>v2
B．ω1<ω2，v1C．ω1＝ω2，v1D．ω1＝ω2，v1＝v2
解析：由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝，v2＝，v1答案：C
5．在一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着地梢，根据树梢的运动情况就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤，从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是(　　)
A．树木倒下时，树梢的角速度较大，易于判断
B．树木倒下时，树梢的线速度较大，易于判断
C．树木倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D．伐木工人的经验没有科学依据
解析：整个大树的角速度和周期相同，是树梢的线速度大.
答案：B
6．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示，当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设小球1、2做圆周运动的半径分别为r1、r2，则v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2，又因r1＋r2＝L，所以小球2到转轴O的距离r2＝，B正确．
答案：B
7．（多选）对于做匀速圆周运动的物体，下面说法正确的是(　　)
A．相等时间里线速度的变化相等
B．相等的时间里通过的弧长相等[来
C．相等的时间里发生的位移相等
D．相等的时间里转过的角度相等学
解析：匀速圆周运动的线速度变化大小处处相等，但方向不同，A错；根据v＝可知Δs＝v·Δt，相等时间内通过的弧长相等，进一步分析可知，相等时间内通过的路程等于弧长，即也相等，相等时间内通过的位移大小等于相应的弦长，大小相等，但方向不同，B正确，C错误．根据ω＝可知Δθ＝ω·Δt，D正确．
答案：BD[科§网Z§X§X§K]:Z.xx.k.Com]Z。xx。
8．（多选）关于质点做圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．半径一定，角速度大小和线速度大小成反比
B．半径一定，线速度大小和角速度大小成正比
C．线速度大小一定，角速度大小与半径成反比
D．角速度一定，线速度大小与半径成反比
解析：由表达式v＝ωr可知，B、C是正确．
答案：BC
9．（多选）一般转动机械上都标有“×××r/min”，该数值是转动机械正常工作时的转速，不同的转动机械上标有的转速一般是不同的．下列有关转速的说法正确的是(　　)
A．转速越大，说明该转动机械正常工作时的线速度一定越大
B．转速越大，说明该转动机械正常工作时的角速度一定越大
C．转速越大，说明该转动机械正常工作时的周期一定越大
D．转速越大，说明该转动机械正常工作时的周期一定越小
答案：BD
10．（多选）一辆卡车在水平路面上行驶，已知该车轮胎半径为R，轮胎转动的角速度为ω，关于各点的线速度大小下列说法正确的是(　　)
A．相对于地面，轮胎与地面的接触点的速度为ωR
B．相对于地面，车轴的速度大小为ωR
C．相对于地面，轮胎上缘的速度大小为ωR
D．相对于地面，轮胎上缘的速度大小为2ωR
解析：因为轮胎不打滑，相对于地面，轮胎与地面接触处保持相对静止，该点相当于转动轴，它的速度为零，车轴的速度为ωR.而轮胎上缘的速度大小为2ωR.故选项B、D正确．
答案：BD
11．（多选）自行车的传动装置如图所示，A、B、C分别为大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的一点，则在此传动装置中(　　)
A．B、C两点的线速度大小相等
B．A、B两点的线速度大小相等
C．A、B两点的角速度与对应的半径成正比
D．B、C两点的线速度与对应的半径成正比
解析：大齿轮与小齿轮间是皮带传动，A、B两点的线速度相同，角速度与对应的半径成反比，B正确、C错误．小齿轮与后轮是同轴转动，B、C两点的角速度相同，线速度与对应的半径成正比，A错误、D正确．
答案：BD
12．机械手表的分针与秒针从第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为(　　)
A. min B．1 min
C. min D. min
答案：C
13．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若男运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7 m/s，求：


(1)女运动员做圆周运动的角速度；
(2)女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径。
解析：男运动员与女运动员转速相同，即
n女＝n男＝0.5 r/s
(1)女运动员的角速度
ω＝2πn女＝2π×0.5 rad/s＝3.14 rad/s
(2)由v＝ωr得r＝＝ m≈1.5 m
答案：(1)3.14 rad/s　(2)1.5 m





14.(2016·长治高一检测)如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方h处沿半径OB方向水平抛出一小球与圆盘只碰一次，且落点恰好为圆盘边缘上的B点，求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω的大小(重力加速度为g)。

[解析]　小球做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，则运动时间t＝
又因为其水平方向的位移为R，所以小球的初速度
v＝＝R
设在时间t内，圆盘转过了n周，则转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3，……)

又因为θ＝ωt
故圆盘转动的角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2，3，……)
[答案]　R　　2nπ(n＝1,2,3，……)