华师大版 八年级数学下册16.4 零指数幂与负整数指数幂的应用举例教案（习题含答案）

16.4 零指数幂与负整数指数幂的应用举例
一、课标要求
理解零指数幂与负整数指数幂的意义；
会用同底数幂的除法法则进行计算；
会用科学记数法表示绝对值较小的数；
二、本节总述：
课本16.4主要讲了零指数幂与负整指数幂．对此我们主要掌握以下两点：（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1；（2）任何不等于零的数的-n (n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数．并且要清楚在引进了零指数幂和负整指数幂之后，指数的范围已经扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立．即有：① am·an=am+n;②(a·b)m=ambm;③(am)n=amn(这里的m、n是整数)
另外，由于引进了零指数幂与负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示．
三、知识梳理：
16.4的内容是零指数幂、负整指数幂和科学记数法．随着零指数和负整指数幂的引入，指数由正整数推广到整数指数．以前学过的有关正整数指数幂的运算法则对其都适用,运算律也适用．具体知识如下：
幂
四、重点难点解读
重点：同底数幂的运算法则及应用．
难点：理解零指数幂的含义及负整指数幂的运算．
中考指向：
中考对本节内容的考查一是零指数幂与负整指数幂的运算；二是会用科学记数法表示数．
例1、青藏高原是世界上最高的高原，它的面积约为2500000平方千米，将2500000用科学记数法表示为（ ）
A、0.25×107 B、2.5×107 C、2.5×106 D、25×105
点拨：本题考查了科学记数法表示一个大数的能力．2500000=2.5×106．故排除ABD选项，选C．
例2、已知地球距离月球表面约为384000千米．那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ）
A、3.84×104千米B、3.84×105千米C、3.84×106千米D、38.4×104千米
点拨：由科学记数法的要求及有效数字的意义知B选项正确．
五、解题技巧点拨：
应用零指数幂和负整指数幂进行运算时，千万不要漏掉底数不为零这个条件．
根据需要可以将一个绝对值较小的数表示成a×10n(1≤＜10,n为负整数＝的形式．其规律如下：为该数第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零）．如0.0031=3.1×10-3. 是一个只有一位整数的数．
六、典题探究：
知识点1、零指数幂的意义
一起探究：用同底数幂的除法公式和除法意义计算，并观察能得出怎样的结论．
52÷52,103÷103,a5÷a5.

52÷52=52-2=50
52÷52==1 由此启发：规定50=1
103÷103=103-3=100
103÷103==1 由此启发：规定100=1
a5÷a5=a5-5=50
a5÷a5==1 由此启发：规定a0=1(a≠0)
结论：任何不等于零的数的零次幂都等于1, a0=1(a≠0)
温馨提示:
对于意义的理解注意两点：(1)规定a0=1的意义是一个由特殊到一般的归纳过程，当除数和被除数相等时，商是1，而当m=n时，有am÷an=am-n=a0，为了在数学中讲得通，故a0=1这里a≠0条件很重要，不可忽视．如(-3)0=1,(x-3)0=1(x≠3),(2)a0能否等于1，由底数a决定，当a≠0时,a0=1;当a=0时，a0无意义．
例3、在下列计算中，正确的是（ ）
A、（ab2）3=ab6； B、(3xy)3=9x3y3
C、(-2a2)2=-4a4； D、(-2)-2=
思路诱导：根据积的乘方运算性质，可知（ab2）3=a3b2×3,(3xy)3=33x3y3≠9x3y3,(-2a2)2=(-2)2a2×2=4a4,所以A、B、C都不对；由负整指数幂的性质，可知（-2）-2=
答案：D
知识点2、负整指数幂
在am÷an 中，当m=n时，产生零次幂，即 a0=1（a≠0）,那么当m52÷55=52-5=5-3
52÷55== 由此启发：规定5-3=
103÷107=103-7=10-4
103÷107= 由此启发：规定10-4=
结论：规定a-n=(a≠0,n是正整数)
即任何不等于零的数的-n次幂(n为正整数),等于这个数的n次幂的倒数.
温馨提示:
对于这个规定要注意以下几点：
（1）对于负整指数幂和零指数幂一样要明确它的由来．
（2）两个幂的意义中，底数都不为0，即a≠0.
(3)规定了零指数和负整指数的意义后，正整数指数幂的运算性质就可推广到整数指数幂了．如：a2·a-3=a2+(-3)=a-1=
例4、若aa-3=1,则a等于（ ）
A、1，0 B、1，3 C、1，-1 D、1，-1，3
思路诱导：此体貌似简单，实际上要想解对并非易事，应该对可能出现的各种情况都考虑到，故采用分类讨论思想．
因为任何一个不等于零的数的0次幂都等于1，所以当a≠0,并且a-3=0时，aa-3=1能成立，解得 a=3;
因为1的任何次幂都不等于1，所以当a=1时，aa-3=1能成立；
因为-1的偶数次幂等于1，所以当a=-1时，a-3=-1-3= -4,则aa-3=1也能成立.
综合以上三种情况，可知a=3,1或-1
答案：D
知识点3、科学记数法
对于一些绝对值较小的数，我们可以仿照绝对值较大数的记法，用10的负整数次幂来表示其绝对值较小的数，即将原数写成a×10-n的形式，其中n为正整数，1≤＜10，这也称为科学记数法．
例5、用科学记数法表示下列各数：
30820000；
0.00003082；
-0.03082
思路诱导：用科学记数法记数时，要注意以下规律：
1==10-1；
01==10-2；
……

例如，0.000125=1.25×0.0001=1.25×10-4
解：（1）30820000=3.082×107
（2）0.00003082=3.082×10-5；
（3）-0.03082=-3.082×10-2
例6、我国自行研制的“神舟五号”载人飞船于2003年10月15日成功发射，并环绕地球飞行590520km，这一数字用科学记数法表示为 km．（要求保留一位有效数字）
6×105
拓展：
例7、（趣味题）已知S=1+2-1+2-2+2-3+……+2-2018，请你计算右边的算式并求出S值（提示：在等式两边都乘以2）你发现了什么？
解：等式可变形为S=1+ ①
①式两边都乘以2，得2S=2+1+ ②
②-①得S=2-
方法技巧总结：（1）原式的右边显然不能直接运算，本题采用了比较、类比、发现法使问题得以解决，当在原式两边都乘以2时，等号右边的数的排列仍按原来的规律，最后以“消元解方程组”的办法得到了最简结果．（2）启示：有些题目“巧学妙思”会得到事半功倍的效果．
错例剖析：
误区1、对零指数幂、负整指数幂的计算，易忽略a≠0的条件
例1、(x-3)0 =1
错因分析：∵(x-3)0=(x-3)m÷(x-3)m,∴x-3≠0.∴ 当x-3≠0（x-3）0=1；当x-3=0时，（x-3）0无意义．
例2、计算：
错解：=
正解：=22=4
点拨：．
误区2、用科学记数法表示数时出错
例3、用科学记数法表示0.0001003
错解：0.0001003=1.003×10-3；
错因分析：10的指数的绝对值等于1前面0个数．
正解：0.0001003=1.003×10-4


　牛刀小试
1．判断：
（1）. 3-3表示-3个3相乘.（ ）
（2）. a-m(a0，m是正整数)表示m个a相乘的积的倒数.（ ）
（3）（m-1）0等于1.（ ）
2．用小数或分数表示下列各数：
（1）.4-2；（2）.-4-2； （3）.3.1410-3；（4）.（-0.1）010-2；（5）. -3
3．把下列小数或分数写成幂的形式：
（1）- ；（2）0.0001 ； （3）
4. 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.0004；（2）－0.0023；（3）0.00000002103；（4）535000．
答案：1、（1）错；（2）对；（3）错．
2、（1）；（2）；（3）0.00314；（4）0.01；（5）8．
3.（1）；（2）；（3）8-2或4-3或2-6
4、（1）；；（2）；（3）；（4）