华师大版 八年级数学下册16.3 分式方程的解法与技巧应用举例学案（习题含答案）

16.3 分式方程的解法与技巧应用举例

解分式方程的一般方法是通分去分母化为整式方程，而有些特殊的分式方程，如果千篇一律地采用通分去分母，则往往次数增高，复杂繁琐，甚至难以求解，若能根据分式方程的具体结构特点，灵活选用适当的解法和技巧，不仅能使问题化繁为简，化难为易，迎刃而解，收到事半功倍的奇效，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高同学们的观察问题、分析问题和解决问题的能力．现就几类常见技巧略举几例解析如下，供参考：
一、分组通分
解方程
解析：这道题若整个分式方程通分去分母，势必出现一个高次方程，给方程的求解带来困难，而方程两边分组通分则显得方法独特，别出心裁，可使问题化繁为简，迎刃而解．
两边分别通分得： 当分子为零，即 时，解得 ；当分子不为零，而分母相等时，即
解得 ， 经检验：， 均是原方程的解
简析：当两个分式相等，分子相等但为含未知数的代数式时，要按①分子为零②分子不为零，分母相等来分别求解，否则会导致失根
二、分离整数
例2、解方程
解析：同样整体通分，次数增高，难以求解，而方程中各分式分母的数次等于分子的次数，可将各分式分离整数，再分组通分求解，会使问题化难为易，迅捷获解，可谓匠心别具．方法巧妙．
方程中各分式分离整数，得 ：
即 ，移项，整理得：
两边分别通分．得，两个分式相等，分子相等且为常数，则分母必相等，从而得到：
去括号、移项、合并同类项，得，， 解得：
经检验， 是原方程的根．
三、 巧添常数
例3、解方程
解析：同样若整体通分，次数增高，运算复杂，求解困难，而方程中每个分式的分子和分母都是相同两数的差与和，可在每个分式中添加常数“1”，会使问题柳暗花明，迅捷可解，可谓别有洞天．
，即：
∴ 或 ， 解得：
经检验， 都是原方程的根．
四、巧换元
例4、解方程
解析：解决此类问题要有敏锐的观察力和丰富的想象力，由于方程的两个分式互为倒数，可用换元法，设为，则原方程变形为
再联想到方程 的解是 ，
可得 或 解得 令人茅塞顿开，拍案叫绝．
经检验，都是原方程的根．
五、巧取倒数
例5、解方程
解析：分式方程中分母的次数高于分子的次数，去分母次数增高，求解困难，若巧取倒数，则会化难为易，简捷明快．
将方程两边取倒数，得： 即 解得
经检验，是原方程的根．
六、拆项化简、相互抵消
例6、解方程
解析：这道题通分去分母，则会出现二次方程，目前不会解，但若将第二项拆项、裂项，则更显得方法巧妙，十分简捷．
原方程拆项变形为
裂项为 ， 即 ， 易得
经检验：是原方程的解
七、化积为差、裂项相消
解方程 …
解析：这道题如果想整个分式方程通分去分母，化为整式方程求解，令人望而生畏，
即使大费周折，也难以如愿，若根据分式方程的结构特点，依据公式“”化积为差，裂项相消，则会化难为易，迅捷获解，真可谓构思巧妙，方法独特．．
原方程裂项为：…
去括号整理得 即 解得，经检验：是原方程的解
从以上几例可以看出，有些分式方程通分去分母，难以求解，以致“山穷水尽疑无路”，而根据方程的结构特点，灵活选用适当的方法和技巧，就能使问题化难为易，化繁为简，迎刃而解，收到事半功倍的奇效，真可谓“柳暗花明又一村”．
下面几道练习题，同学们不妨试一试：
解方程：①
②
③
④
⑤
参考答案：①； ②； ③；
④； ⑤

八、一题多解 意在创新
题目：供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修．技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果同时到达．已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度．（华东师大版数学八年级下习题17.3第2题）
解题思路一：寻求时间上的相等关系建立方程
【解法1】：设摩托车的速度为千米/时，则抢修车的速度为千米/时．根据题意得：

解得
经检验，是原方程的根．
所以，
答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时．
【解法2】：未知数的设法如同解法1，根据摩托车行千米与抢修车行30千米所行的时间相同，得：
．
（请同学们自己完成解题过程，下同）
【解法3】：未知数的设法如同解法1，根据摩托车行30千米与抢修车行（=
）千米所用的时间相同，得：
．
【解法4】：未知数的设法如同解法1，从而每行1千米，抢修车比摩托车少用小时，根据题意得：
．
【解法5】：设摩托车在15分钟内行驶千米，则摩托车的速度为千米/时，从而抢修车的速度为千米/时．由解法1的相等关系得：
．
【温馨提示】：若依解法5的未知数的设法，以及解法2、3、4的相等关系，则又可列出三个不同形式的方程，作为练习，强同学们自己列出．
解题思路二：寻求速度之间的相等关系建立方程
【解法6】：设摩托车行30千米所用的时间为小时，则抢修车所用的时间为小时，根据“抢修车的速度是摩托车的1.5倍”得：
．
解题思路三：寻求路程之间的相等关系建立方程
【解法7】：设摩托车行30千米所用的时间为小时，则知抢修车行驶30千米所用的时间为小时，摩托车的速度为千米/时，抢修车的速度为（）千米/时，
根据“抢修车的速度抢修车的时间=总路程30千米”得：
．
【解法8】：设摩托车的速度为千米/时，则抢修车的速度为千米/时，抢修车行30千米所用的时间为（）小时，根据解法7的相等关系得：

【解法9】：设摩托车的速度为千米/时，则抢修车的速度为千米/时，摩托车15分钟行驶千米，而摩托车在与抢修车同时在路上行驶的这段路程可表示为：千米，根据“部分之和等于总体”得：
+ = 30．
解题思路四：由比例关系建立方程
原理如下：设 ，
当时，则 或；
（2） 当时，则 或；
（3） 当时， 则 或．
此题摩托车与抢修车所行的路程相同，由原理（1）有以下两种解法：
【解法10】：设摩托车的速度为千米/时，则抢修车的速度为千米/时，摩托车行
驶30千米所用时间为：小时，抢修车行驶30千米所用时间为（）小时．于是：
．
【解法11】：设摩托车行30千米所用的时间为小时，则知抢修车行驶30千米所用的时间为小时，摩托车的速度为千米/时，抢修车的速度为（）千米/时．
于是得方程：
．
【温馨提示】：以上各解法中，均设摩托车的相关量为未知数，抢修车的相关量则用含的代数式表示．若是设抢修车的相关量为，摩托车的相关量用含的代数式表示，依上面各解法中的相等关系，则还可列出不同形式的方程，在此，不再赘述．请读者作为练习，自己列出．
解题思路五：列方程组解答
【解法12】：设摩托车与抢修车每小时分别行驶千米、千米，根据题意得方程组：

【温馨提示】：题中含有多种关系时，列方程组可降低思维难度．前面的各种解法中，若把所推出的代数式用新的未知数替换，则都能写成方程组的形式．